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2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理)


2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理)
一.选择题: 10i ?( 1.复数 1 ? 2i A. ?4 ? 2i
A ) B. 4 ? 2i C. 2 ? 4i D. 2 ? 4i )

2.“ ? = 0 ”是“函数 f ( x) = sin( x + A. 充分而不必要条件

? ) 为奇函数”的( A

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( C A. 3 B. ?6 C. 10 D. ?15



4.已知函数 f (x)= ln x ,则函数 g (x)=f (x) ? f '( x ) 的零 的区间是( B ) A. 0,1) ( 5. ( x ? 2)(
2

点所在

B.(1,2)

C.(2,3) D

D. (3,4) ) D.3

1 ? 1)5 的展开式的常数项是( 2 x
B.-2 C.2

A.-3

6.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a , b, c ,若 a ? b ? 2c ,则 cos C 的最小值为( C
2 2 2



A.

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

7.如图,边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A , D 分别在 x 轴、 y 轴正半轴上移动,则 OB ? OC 的最大值是 ( A ) A. 2 B. 1 ? 2 C. ? D.4

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 .双曲线 2 a b 2 以这四个交点为顶点的四边 x2 ? y 2 ? 1的渐近线与椭圆 C 有四个交点, 面积为 16,则椭圆 C 的方程为( D )
8. 已 知 椭 圆 C :

形 的

x2 y 2 ? ?1 A. 8 2
二.填空题:

x2 y 2 ? ?1 B. 12 6

x2 y 2 ? ?1 C. 16 4
84 ;若

x2 y 2 ? ?1 D. 20 5
甲 乙
从甲、 平均

9.在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数是

0 7 9 乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后, 两组数据的 5 4 5 5 1 8 4 4 6 4 7 数中较大的一组是 乙 组. m 9 3

3 10.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积与体积分别为_____7+ 2, 2

______

B

11.如图, AC 为⊙ O 的 直径, OB ? AC ,弦 BN 交 AC 于 点 M .若 OC ? 3 , OM ? 1 ,则 MN ? ___ 1 __.
C M O N A

12.在平面直角坐标系中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知抛物线 C 的极坐标方程为

?x= 3t, ρcos2θ=4sin θ(ρ≥0),直线 l 的参数方程为? (t 为参数),设直线 l 与抛物线 C 的两交点为 A,B, ?y=1+t 16 点 F 为 抛物线 C 的焦点,则|AF|+|BF|=___ _______. 3
? 13.已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b (a , ? R) 的值域为 [0 , ?) ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的解集为 b (m , ? 6) ,则实数 c 的值为 m
9 .

14.已知函数 y ? mx 的图像与函数 y ?

x ?1 x ?1

的图像没有公共点,则实数 m 的取值范围是

? 1 ? m ? ?3 ? 2 2

三.解答题:
15.已知函数

f ( x) ?

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1. sin x

(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [ , ] 上的最值. 解:(Ⅰ)由 sin x ? 0 得 x ? k π ( k ? Z), 故 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k π, k ? Z}.???????2 分 因为 f ( x) ?

? ? 4 2

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1 sin x

? (2 3 sin x ? 2cos x ) ? cos x ? 1

? 3 sin 2 x ? cos 2 x
π ? 2sin(2 x ? ) ,????????????6 分 6

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? (II)由 x 挝 , ], 2 x [ 当 2x ? 当 2x ?

2π ? π .???????7 分 2

? ? 4 2

? ? ? 5? [ , ?], 2 x [ , ], ????..9 分 2 6 3 6

? 5? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最小值1 ,?????.11 分 6 6 2 ? ? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最大值2 .??????.13 分 6 2 3

16.为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国大学 生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预 赛,选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. (Ⅰ)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率; (Ⅱ)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 解:(Ⅰ)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件 A ,则

P ? A? ?

2 ? 3! 1 ? . 5! 10 1 .???????3 分 10

所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为 (Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 0, 1, 2, 3 .

2 ? 4! 2 ? , 5! 5 3 ? 2 ? 3! 3 P ? X ? 1? ? ? , 5! 10 2 ? 2!? 3 ? 2! 1 P ? X ? 2? ? ? , 5! 5 P ? X ? 0? ?

P ? X ? 3? ?

2 ? 3! 1 ? . ?????.11 分 5! 10

随机变量 X 的分布列为:

2 3 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 , 5 10 5 10 所以 随机变量 X 的数学期望为 1 .?????.13 分
因为 EX ? 0 ?

17.在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB ? BC ? 1 ,AA1 ? 2 ,E 为 BB1 (Ⅰ)证明: AC ? D1 E ; (Ⅱ)求 DE 与平面 AD1 E 所成角的正弦值; 棱 AD 上是否存在一点 P ,使得 BP ∥平面 AD1 E ?若存在,求 DP 的 存在,说明理由. (Ⅰ)证明:连接 BD ∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体,∴ D1 D ? 平面
A A1

D1

C1

中 点 . (Ⅲ) 在

B1

E

长; 若不
C

D B

z D1

C1

ABCD , 又 AC ? 平面 ABCD ∴ D1 D ? AC
在长方形 ABCD 中, AB ? BC ∴ BD ? AC

??1 分
A1 B1

????2 分
E

又 BD ? D1 D ? D ∴ AC ? 平面 BB1 D1 D , ????3 分 而 D1 E ? 平面 BB1 D1 D ∴ AC ? D1 E ???4 分
A x D B

C y

(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系 Dxyz ,则

??? ? ???? ? ???? A(1, 0, 0), D1 (0, 0, 2), E (1,1,1), B(1,1, 0) , AE ? (0,1,1), AD1 ? (?1, 0, 2), DE ? (1,1,1) ???5 分 ? ???? ? ?n?AD1 ? 0 ? ?? x ? 2 z ? 0 ? 设 平 面 AD1 E 的 法 向 量 为 n ? ( x, y, z ) , 则 ? ? ??? 令 z ?1 , 则 ? ? ?y ? z ? 0 ?n?AE ? 0 ? ? ???? ? ? ???? n?DE 2 ?1 ?1 2 ????8 分 n ? (2, ?1,1) ???7 分 cos ? n, DE ?? ? ???? ? ? 3 3? 6 n ?DE

所以 DE 与平面 AD1 E 所成角的正弦值为

2 3

??????9 分

(Ⅲ)假设在棱 AD 上存在一点 P ,使得 BP ∥平面 AD1 E . 设 P 的坐标为 (t ,0,0) (0 ? t 所以

??? ? ? 1) ,则 BP ? (t ? 1, ?1,0) 因为 BP ∥平面 AD1 E
??????12 分

??? ? ? ??? ? ? 1 BP ? n , 即 BP?n ? 0 , 2(t ? 1) ? 1 ? 0 ,解得 t ? , 2

所以

在棱 AD 上存在一点 P ,使得 BP ∥平面 AD1 E ,此时 DP 的长

1 .??13 分 2

18.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , an?1 ? 3Sn ? 1 , n ? N? . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;(Ⅱ)记 Tn 为数列 ?nan ? 的前 n 项和,求 Tn . 解:(Ⅰ)由题意, an?1 ? 3Sn ? 1 ,则当 n ? 2 时, an ? 3Sn?1 ? 1 . 两式相减,得 an?1 ? 4an ( n ? 2 ). 又因为 a1 ? 1 , a2 ? 4 , ?????????????????2 分

a2 ? 4 ,?????????????????4 分 a1

所以数列 ?an ? 是以首项为 1 ,公比为 4 的等比数列,????????5 分 所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 4
n ?1

( n ? N? ).

????????????6 分
2 n?1

(Ⅱ)因为 Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ?? nan ? 1 ? 2 ? 4 ? 3? 4 ? ?? n ? 4 所以 4Tn ? 4 ?1 ? 2 ? 4 ? 3? 4 ? ?? (n ?1) ? 4
2 3 n?1



? n ? 4n , ????????8 分
1 ? 4n ? n ? 4n , ???11 分 1? 4

两式相减得, ?3Tn ? 1 ? 4 ? 42 ? ? ? 4n ?1 ? n ? 4n ? 整理得, Tn ?

3n ? 1 n 1 ? 4 ? ( n ? N? ). 9 9

????????????13 分

19.已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l 过点 A(4, 0) , B(0, 2) ,且与椭圆 C 相切于 2 2 a b

点 P .(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在过点 A(4, 0) 的直线 m 与椭圆 C 相交于不同的两点 M 、N , 使得 36 AP ? 35 AM ? AN ?若存在,试求出直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.
2

(Ⅰ)由题得过两点 A(4, 0) , B (0, 2) 直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 .

因为

x2 y2 c 1 ? ,所以 a ? 2c , b ? 3c . 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,???2 分 a 2 4c 3c

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 2 2 由 ? x2 消去 x 得, 4 y ?12 y ? 12 ? 3c ? 0 .又因为直线 l 与椭圆 C 相切,所以 y2 ? 2 ? 2 ? 1, ? 4c 3c
???4 分

???6 分

???8 分

又直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 与椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 相切, 4 3

? x ? 2 y ? 4 ? 0, 3 3 ? 由 ? x2 y 2 解得 x ? 1, y ? ,所以 P (1, ) ????10 分 2 2 ? ? 1, ? 3 ? 4
则 AP 又
2

?

45 36 45 81 ? ? . . 所以 AM ? AN ? 4 35 4 7

AM ? AN ? (4 ? x1 ) 2 ? y12 ? (4 ? x2 ) 2 ? y2 2

? (4 ? x1 ) 2 ? k 2 (4 ? x1 ) 2 ? (4 ? x2 ) 2 ? k 2 (4 ? x2 ) 2 ? (k 2 ?1)(4 ? x1 )(4 ? x2 )

? (k ?1)( x1x2 ? 4( x1 ? x2 ) ?16) ? (k 2 ? 1)(
2

64k 2 ? 12 32k 2 ? 4? ? 16) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? ( k 2 ? 1)

36 36 81 2 . 所以 (k 2 ? 1) ? ,解得 k ? ? .经检验成立. 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 7 4

所以直线 m 的方程为 y ? ?

2 ( x ? 4) .???14 分 4

20.已知函数 f ? x ? ? ln ? x ? a ? ? x ? x 在 x ? 0 处取得极值.
2

(1)求实数 a 的值;

5 x ? b 在区间 ?0, 2? 上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的取值范围; 2 3 4 n ?1 (3)证明:对任意的正整数 n ,不等式 2 ? ? ? ? ? 2 ? ln ? n ? 1? 都成立. 4 9 n 1 ' ? 2 x ? 1, 解:(1) f ? x ? ? ????1 分 x?a
(2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? ?

? x ? 0 时, f ? x ? 取得极值, ? f ' ? 0? ? 0,


????2 分

1 ? 2 ? 0 ? 1 ? 0, 解得 a ? 1. 经检验 a ? 1 符合题意. ????3 分 0?a 5 3 2 2 (2)由 a ? 1 知 f ? x ? ? ln ? x ?1? ? x ? x, 由 f ? x ? ? ? x ? b ,得 ln ? x ? 1? ? x ? x ? b ? 0, 2 2 3 5 2 令 ? ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x ? b, 则 f ? x ? ? ? x ? b 在 区 间 ? 0, 2? 上 恰 有 两 个 不 同 的 实 数 根 等 价 于 2 2

? ? x ? ? 0 在区间 ?0, 2? 上恰有两个不同的实数根.
'

?' ? x? ?

1 3 ? ? 4 x ? 5?? x ? 1? ? 2x ? ? , x ?1 2 2 ? x ? 1?

当 x ??0,1? 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增; 当 x ? ?1, 2? 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?1, 2? 上单调递减.????6 分
'

?? ? 0 ? ? ?b ? 0 ? 3 ? 依题意有 ?? ?1? ? ln ?1 ? 1? ? 1 ? ? b ? 0 , 2 ? ?? ? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? ? 4 ? 3 ? b ? 0 ? 1 解得, ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ? . ????9 分 2
(3) f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x 的定义域为 x x ? ?1 ,由(1)知 f ' ? x ? ?
2

?

?

? x ? 2 x ? 3? , ? x ? 1?

令f

'

? x? ? 0 得, x ? 0 或 x ? ? 2 (舍去),
'

3

? 当 ?1 ? x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增;

当 x ? 0 时, f

? x? ? 0 , f ? x ? 单调递减.

? f ? 0? 为 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上的最大值. ?11 分

? f ? x ? ? f ? 0? ,故 ln ? x ?1? ? x2 ? x ? 0 (当且仅当 x ? 0 时,等号成立)
对任意正整数 n ,取 x ? 故2?

1 ?1 ? 1 1 ? 0 得, ln ? ? 1? ? ? 2 , n ?n ? n n

????12 分? ln ?

? n ?1 ? n ?1 ?? 2 ? n ? n

3 4 n ?1 3 4 n ?1 ? ? ? ? 2 ? ln 2 ? ln ? ln ? ? ? ln ? ln ? n ? 1? . ????14 分 4 9 n 2 3 n

(方法二)数学归纳法证明:

1?1 ? 2 ,右边 ? ln(1 ? 1) ? ln 2 ,显然 2 ? ln 2 ,不等式成立. 12 3 4 k ?1 * 假设 n ? k ? k ? N , k ? 1? 时, 2 ? ? ? ? ? 2 ? ln ? k ? 1? 成立, 4 9 k
当 n ? 1 时,左边 ? 则 n ? k ?1 时 , 有 2 ?

3 4 k ?1 k ? 2 k ?2 ? ??? 2 ? ? ? ln ? k ? 1? . 做 差 比 较 : 2 2 4 9 k k ? 1? k ? 1? ? ?

ln ? k ? 2 ? ? ln ? k ? 1? ?

k ?2

? k ? 1?

2

? ln

k ?2 k ?2 1 ? ? 1 1 ? ? ? ? ln ?1 ? ? ??? 2 2 ? k ? 1 ? k ? 1? ? k ? 1 ? ? k ? 1 (k ? 1) ?

构建函数 F ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? x ? x , x ? ? 0,1? ,则 F ? ? x ? ?
2

? x ? 2 x ? 3? ?0, x ?1

? F ? x ? 在? 0,1? 单调递减,? F ? x ? ? F ? 0? ? 0 .
取x?

1 1 ? k ? 1, k ? N * ? , ln ?1 ? k 1 1 ? ? ? k 1 1 ? (k ? 1)2 ? ? F ? 0? ? 0 ? ? ? ? k ?1 ? ? ? ? ? ?

即 ln ? k ? 2 ? ? ln ? k ? 1? ?

k ?2

? k ? 1?

2

? 0 ,亦即

k ?2

? k ? 1?

2

? ln ? k ? 1? ? ln ? k ? 2 ? ,

故 n ? k ? 1 时,有 2 ?

3 4 k ?1 k ? 2 k ?2 ? ??? 2 ? ? ? ln ? k ? 1? ? ln ? k ? 2 ? ,不等式成立. 2 2 4 9 k ? k ? 1? ? k ? 1?
3 4 n ?1 ? ? ? ? 2 ? ln ? n ? 1? 都成立. 4 9 n

综上可知,对任意的正整数 n ,不等式 2 ?


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