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江苏省南通中学2014-2015学年高一数学上学期期中试题


江苏省南通中学 2014-2015 学年高一数学上学期期中试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.已知集合 A ? ??1, 0,1? , B ? ?1, 2? ,则 A ? B ? 2.下列四个图像中,是函数图像的是 ▲ . ▲ .

3.设集合 A={(x,y)|x-y=0},B={(x,y)|x+y+4=0}

,则 A∩B= ▲ . 4.函数 y ? a
x?1

? 1? a ? 0, a ? 1? 过定点 ▲ .

5.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 1 ,且 f (?a) =6,则 f ( a ) = ▲ . 6.若 f ? 2 x ? 1? ? 4 x2 ? 4 x ,则 f ? x ? 的解析式为 ▲ . 7.设函数 f ( x) ? ?

?2? x , x ? 0 ?log 2 x, x?0

,若 f (a) ? 4 ,则实数 a ?
x





?1? 8. 已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? ,当 x ? 0 时有 f ? x ? ? ? ? ? x3 ,则当 x ? 0 时 f ? x ? ? ?2?
▲ . 9.如果二次函数 y=3x +2(a-1)x+b 在区间 ? ??,1? 上是减函数,在区间 ?1, ??? 上是增函数,
2

那么 a 的取值集合是 ▲ . 10.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 的值域为 [1, 2] ,则 y ? f ( x ? 1) ? 2 的值 域为 ▲ . 11 .若函数 f ( x) ? ▲ . 12.函数 f ? x ? ? x ? 2x ? a ? 1 存在零点 x0 ? ? , 2? ,则实数 a 的取 2
2

3x ? 1 的定义域为 R ,则实数 a 的取值范围是 x ? 5ax ? 4
2

?1 ?

? ?

值范围是 ▲ . 13.定义在区间 ??2, 2? 上的奇函数 f ?x ? ,它在 ? 0, 2? 上的图象是一条 如图所示线段(不含点 ? 0,1? ), 则不等式 f ? x ? ? f ? ? x ? ? x 的解集为 ▲ .

-1-

14.若函数 f ( x) ? ?

?2, x ? [0,1] ,则使 f [ f ( x )] ? 2 成立的实数 x 的集合为 ▲ . ? x, x ? [0,1]

二.计算题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 已知集合 A= x | y ? (1)求 A , B ; (2)求 A ? B , A ? ?R B .

?

2 x 2 ? x , B ? y y ? x ? x ? 1, x ? R .

?

?

?

16. (本题满分 14 分) 已知函数 h( x) ? m ? 5m ? 1 x (1)求 m 的值; (2)求函数 g ( x) ? h( x) ? 1 ? 2h( x) 在 x ? ?0, ? 的值域. 2

?

2

?

m ?1

为幂函数,且为奇函数.

? 1? ? ?

17. (本题满分 14 分)

?lg x, ( x ? 10) ? 函数 g ( x) ? ? a (4 ? ) x ? 1, ( x ? 10) ? ? 2
(1)若 g (10000) ? g (1) ,求 a 的值; (2)若 g ( x) 是 R 上的增函数,求实数 a 的取值范围.

18. (本题满分 16 分) 在经济学中,函数 f ( x ) 的边际函数 Mf ( x) 定义为 Mf ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,某公司每月 最多生产 100 台报警系统装置,生产 x( x ? N )台的收入函数为 R( x) ? 3000 x ? 20 x2 (单 位:元) ,其成本函数为 C ( x) ? 500 x ? 4000 (单位:元) ,利润是收入与成本之差. (1)求利润函数 P ( x ) 及边际利润函数 MP( x) ; (2)利润函数 P ( x ) 与边际利润函数 MP( x) 是否具有相同的最大值?说明理由.
*

-2-

19. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ?

( x ? 1)( x ? a ) 为偶函数. x2
2

(1)求实数 a 的值; (2)记集合 E ? {y y ? f ( x), x ?{?1,1,2}}, ? ? lg 2 ? lg 2 lg 5 ? lg 5 ? 的关系; (3)令 h( x) ? x2 f ( x) ? ax ? b ,若集合 A ? x x ? h ( x ) ,集合 B ? x x ? h ? ? h ? x ?? ? ,若
A ? ? ,求集合 B .

1 ,判断 ? 与 E 4

?

?

?

?

-3-

高一数学期中考试 参考答案 (考试时间 120 分钟,满分 160 分)

3.设集合 A={(x,y)|x-y=0},B={(x,y)|x+y+4=0},则 A∩B= ▲ . 4.函数 y ? a x?1 ? 1? a ? 0, a ? 1? 过定点 ▲ . ?1, 2 ? 5.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 1 ,且 f (?a) =6,则 f ( a ) = ▲ . ?4 6.若 f ? 2 x ? 1? ? 4 x2 ? 4 x ,则 f ? x ? 的解析式为 ▲ . f ( x) ? x ?1
2

???2, ?2??

?2? x , x ? 0 7.设函数 f ( x) ? ? ,若 f (a) ? 4 ,则实数 a ? ▲ . ?2 或 16 ?log 2 x, x ? 0
?1? 8. 已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? ,当 x ? 0 时有 f ? x ? ? ? ? ? x3 ,则当 x ? 0 时 f ? x ? ? ?2?
▲ . f ( x) ? ?2 x ? x3 9.如果二次函数 y=3x +2(a-1)x+b 在区间 ? ??,1? 上是减函数,在区间 ?1, ??? 上是增函数,
2

x

那么 a 的取值集合是 ▲ . ??2? 10.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 的值域为 [1, 2] ,则 y ? f ( x ? 1) ? 2 的值域为 ▲ .
[?1, 0]

11.若函数 f ( x) ?

3x ? 1 ? 4 4? 的定义域为 R ,则实数 a 的取值范围是 ▲ . ? ? , ? x ? 5ax ? 4 ? 5 5?
2

-4-

12.函数 f ? x ? ? x2 ? 2x ? a ? 1 存在零点 x0 ? ? , 2? ,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 2

?1 ?

? ?

?0, 2?
13.定义在区间 ??2, 2? 上的奇函数 f ?x ? ,它在 ? 0, 2? 上的图象是一条 如图所示线段(不含点 ? 0,1? ), 则不等 式 f ? x ? ? f ? ? x ? ? x 的解 集为 ▲ . [?2, ?1) ? (0,1) 14.若函数 f ( x) ? ? 为

?2, x ? [0,1] ,则使 f [ f ( x )] ? 2 成立的实数 x 的集合 ? x, x ? [0,1]

▲ . x 0 ? x ? 1或x ? 2

?

?

二.计算题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 已知集合 A= x | y ? (1)求 A , B ; (2)求 A ? B , A ? ?R B . 解 (1)由 x(x-1) ? 0,解得 x ? 0 或 x ? 1 ,所以 A ? (??, 0] ? [1, ??) .

?

2 x 2 ? x , B ? y y ? x ? x ? 1, x ? R .

?

?

?

? 1?2 3 3 ?3 ? 2 由 y=x +x+1=?x+ ? + ≥ ,得 B=? ,+∞?.……………………………7 分 ? 2? 4 4 ?4 ?
3? ? (2)因为?RB=?-∞, ?, 4? ?

3 所以 A∪B= ( ??, 0] ? [ , ?? ) ,A∩(?RB)= A ? ( ??, 0] .………14 分 4
16. (本题满分 14 分) 已知函数 h( x) ? m ? 5m ? 1 x (1)求 m 的值; (2)求函数 g ( x) ? h( x) ? 1 ? 2h( x) 在 x ? ?0, ? 的值域. 2

?

2

?

m ?1

为幂函数,且为奇函数.

? 1? ? ?



(1) m ? 0 ……………………………………………………………6 分

?1 ? (2) ? ,1? …………………………………………………………………14 分 ?2 ?

-5-

17. (本题满分 14 分)

?lg x, ( x ? 10) ? 函数 g ( x) ? ? a (4 ? ) x ? 1, ( x ? 10) ? ? 2
(1)若 g (10000) ? g (1) ,求 a 的值; (2)若 g ( x) 是 R 上的增函数,求实数 a 的取值范围. 解 (1) a ? ?2 ……………………………………………………………6 分 (2) a 的取值范围为 ?

? 38 ? , 8 ? ………………………………………………14 分 ?5 ?

18. (本题满分 16 分) 在经济学中,函数 f ( x ) 的边际函数 Mf ( x) 定义为 Mf ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,某公司每月 最多生产 100 台报警系统装置,生产 x( x ? N )台的收入函数为 R( x) ? 3000 x ? 20 x2 (单 位:元) ,其成本函数为 C ( x) ? 500 x ? 4000 (单位:元) ,利润是收入与成本之差. (1)求利润函数 P ( x ) 及边际利润函数 MP( x) ; (2)利润函数 P ( x ) 与边际利润函数 MP( x) 是否具有相同的最大值?说明理由.
*

-6-

……8 分

……16 分 19. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ?

( x ? 1)( x ? a ) 为偶函数. x2
2

(1)求实数 a 的值; (2)记集合 E ? {y y ? f ( x), x ?{?1,1,2}}, ? ? lg 2 ? lg 2 lg 5 ? lg 5 ? 的关系; (3)令 h( x) ? x2 f ( x) ? ax ? b ,若集合 A ? x x ? h ( x ) ,集合 B ? x x ? h ? ? h ? x ?? ? ,若
A ? ? ,求集合 B .

1 ,判断 ? 与 E 4

?

?

?

?

解: (Ⅰ)? f ( x) 为偶函数

(Ⅲ) h( x) ? ( x ?1) ? ax ? b ? x ? ax ? b ?1
2 2

-7-

若存在 x ,使 h( x) ? x ,则由 h( x) ? x2 ? ax ? b ?1 ( a, b?R )开口向上,因此存在 x ,使
h( x) ? x ,于是 f ( x) ? x 有实根

∵A??

∴ h( x ) ? x

∴h? ?h ? x ?? ? ? h ? x ? ? x ,于是 h ? ?h ? x ?? ? ? x 无实数根 即 B ? ? .………………………………………………………………16 分 20. (本题满分 16 分) n 函数 f(x)=x +bx+c(n∈N+,b,c∈R). ?1 ? (1)设 n≥2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间? ,1?内存在唯一零点; ?2 ? (2)设 n=2,若对任意 x1,x2∈[-1,1]有|f(x1)-f(x2)|≤4,求 b 的取值范围. n 解:(1)当 b=1,c=-1,n≥2 时,f(x)=x +x-1. ?1? ? 1 1? ?1 ? ∵f? ?f(1)=? n- ?×1<0.∴f(x)在? ,1?内存在零点.……………………3 分 ?2? ?2 2? ?2 ? 又任取

1 2

? x1 ? x2 ? 1 ,
n n

?? x ?n ? ∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? x1 ? 1? ? ? x2 ? x2 ? 1? ? x2 ?? 1 ? ? 1? ? ( x1 ? x2 ) ? 0 x ? ? ?? 2 ? ?
n

?1 ? ∴f(x)在? ,1?上是单调递增的, ?2 ? ?1 ? ∴f(x)在? ,1?内存在唯一零点.………………………………………………8 分 ?2 ? 2 (2)当 n=2 时,f(x)=x +bx+c. 对任意 x1,x2∈[-1,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤4 等价于 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之差 M≤4. ………………………10 分 据此分类讨论如下:
①当? ?>1,即|b|>2 时,M=|f(1)-f(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾. ?2? ②当-1≤- <0,即 0<b≤2 时, 2

?b?

b

? b? ?b ? M=f(1)-f?- ?=? +1?2≤4 恒成立. ? 2? ?2 ?
③当 0≤- ≤1,即-2≤b≤0 时, 2

b

? b? ?b ? M=f(-1)-f?- ?=? -1?2≤4 恒成立.

? 2? ?2 ? 综上可知,-2≤b≤2. ……………………………………………………………16 分 注:②,③也可合并证明如下: 用 max{a,b}表示 a,b 中的较大者.

-8-

-9-


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