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1.2空间几何体的三视图和直观图


1.2

空间几何体的三视 图和直观图

1.2.1

中心投影与平行投影

投影
我们知道,光线是直线传播的,由于光的照射, 在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影 子,这种现象叫做投影。 其中,我们称光线叫投影线,把留下物体的屏 幕叫做投影面

投影线 投影面

中心投影
定义 把光由一点向外散射形成的投影,叫做中心 投影. 一个点光源把一个图形照射到一个平面上、 这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影. 中心投影后的图形与原 图形相比虽然改变较多、但 直观性强、看起来与人的视 觉效果一致、最像原来的物 体、所以在绘画时、经常使 用这种方法.

平行投影
定义 我们把一束平行 光线照射下形成的投 影,叫做平行投影. 平行投影的投影 线是平行的. 投影面 在平行投影中, 投影线正对着投影面 时,叫做正投影,否 则叫做斜投影. 光线
斜投影

投影线斜对 着投影面

正投影

对比三种投影
平行投影

(a)中心投影 (b)斜投影 (c)正投影

探究
问题1:一个三角形ABC在中心投影下,得到 三角形A’B’C’, 问这两个三角形是否相似?为什 么?

问题2:一个三角形ABC在平行投影投影下, 得到三角形A’B’C’, 问这两个三角形是否全等? 为什么?

小结
? 投影 ? 中心投影

? 平行投影

1.2.2
空间几何体的三视图

三视图概念
三个互相垂直的投影面
从前向后方 向的投影线 从左向右方 向的投影线

从上到下方 向的投影线

“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得 到的投影图.

三视图的形成 光线从几何体的前面向后面正投影 所得的投影图称为“正视图” 侧视图 光线从几何 体的左面向 右面正投影 所得的投影 图称为“侧 视图”

正视图

俯视图

光线从几何体的上面向下面正投影所得的投 影图称为“俯视图”.

三视图的平面位置
正视图、侧视图、俯视图在平面图中的一般位置
正视图 侧视图

俯视图 正视图、侧视图、俯视图统称为三视图

三视图的关系
定义:长、宽、高 长:左、右方向的长度 宽:前、后方向的长度 高:上、下方向的长度
结论:


正视图

侧视图 高平齐 宽 相 等


1.一个几何体的正视图和侧视图 的高度一样,
2.正视图与俯视图的长度一样

长对正

3.侧视图与俯视图宽度一样

俯视图

举例画出三视图

正视图

侧视图

圆锥

俯视图

举例画出三视图

正视图

侧视图

正三棱锥
俯视图

举例画出三视图

正视图

侧视图

六棱柱
俯视图

举例画出三视图

根据三视图想象其表示的几何体

根据三视图想象它们表示的几何体的结构特征

正视图

侧视图

圆台
俯视图

根据三视图想象它们表示的几何体的结构特征

正视图

侧视图

正四棱台 俯视图

简单组合体的三视图

知识小结

小结
? 三视图的概念
? 三视图的形成

? 三视图的平面位置
? 三视图的关系

? 三视图的举例
? 简单组合体的三视图

1.2.3 空间几何体的直观图

斜二测画法
观察正方体的平面图

问:正方体的每个面都是正方形,但在 平面图中有几个面画成正方形?平行四边形?

水平直观图
正方形的水平直观图
y y

0 0

x

x

1. 水平方向线段长度不变;
变化 规则

2. 竖直方向的线段向右倾斜450,长度减半;
3. 平行线段仍然平行.

水平直观图
正三角形的水平直观图

C C A
0

y B x

B

A

o

M

水平直观图
直角梯形的水平直观图
y

D

C D′

y′ C′ B′ x′

A

B x
0

A′

1 ?x?o?y? ? 45 , A?D? ? AD , A?B? ? AB 2

水平直观图
正六边形的水平直观图的画法
y

F

M

E F′ M A′ D
x

y′ E′ D′ C′ x′

A

o′ B′

N

B

N

C

斜二测画法
定义:上述画水平放置的平面图形的直观图的
方法叫做斜二测画法,有如下步骤和规则
(1)在原图形中建立平面直角坐标系xoy,同 时建立直观图坐标系 x?o?y ?,确定水平面,?x?o?y? ? 450 (2)与坐标轴平行的线段保持平行; (3)水平线段等长,竖直线段减半.
y y' 0 x o

x'

空间几何体的直观图
例1.画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长 方体ABCD-A′B′C′D′的直观图?
D′ A′ D Q z y B′ C x B A

C′
A′

D′
B′ D B

C′

C

o
A P

水平方向的矩形画成平行四边形的直观 图竖直方向(z轴)的线段长度不变

斜二测画法
由几何体的三视图可以得到几何体的直观图
z
y′

正视图

侧视图

A′ o′

B′ y B x′

俯视图

A

o

x

反思提高
思考题:如图ΔA’B’C’是水平放置的ΔABC的直 观图,则在ΔABC的三边及中线AD中,最长的线段 是( AC )

小结
? 正方形的水平直观图 ? 正三角形的水平直观图

? 直角梯形的水平直观图
? 正六边形的水平直观图

? 斜二测画法
? 长方体的直观图


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