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2013年四川省成都市高考数学一模试卷(理科)


2013 年四川省成都市高考数学一模试卷 (理科)

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2013 年四川省成都市高考数学一模试卷 (理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 分)不等式 (5 的解集是( ) D.(﹣3,2]

A.(﹣∞,﹣8)∪ (﹣B.(﹣∞,﹣8]∪ [﹣3,C.[﹣3,2] 3,+∞) +∞) 2. 分) (5 (2005?天津)若复数 A.﹣2 B.4

(a∈R,i 为虚数单位位)是纯虚数,则实数 a 的值为( C.﹣6 D.6



3. 分)列 a1, (5 A.﹣32



,…, B.32

,…是首项为 1,公比为﹣ C.﹣64

的等比数列,则 a5 等于( D.64



4. 分)已知平面向量 , 满足 (5 “ ”的( )

, 与 的夹角为 60°,则“m=1”是

A.充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. 分)关于命题 p:A∪ (5 ?=?,命题 q:A∪ ?=A,则下列说法正确的是( ) A.(¬p)∨ 为假 q B.(¬p)∧(¬q)为 C.(¬p)∨ (¬q)为 D.(¬p)∧q 为真 真 假 6. 分) (5 (2005?江西)设函数 f(x)=sin3x+|sin3x|,则 f(x)为( ) A. B. 周期函数,最小正周期为 周期函数,最小正周期为 C. 周期函数,数小正周期为 2π D.非周期函数

7. 分)设集合 A=[0, ) (5 ,B=[ ,1],函数 f(x)= 则 x0 的取值范围是( )
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,若 f[f(x0)]∈A,

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www.jyeoo.com A. (0, ] B. ( ] C. ( ) D. [ , ]

8. 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,底面是边长为 2 的正三角形,侧 (5 棱长为 3,则 BB1 与平面 AB1C1 所成的角是( )

A.

B.

C.

D.

9. 分)将 4 个相同的白球和 5 个相同的黑球全部 放入 3 个不同的盒子中,每个盒子既要有白 (5 球,又要有黑球,且每个盒子中都不能同时只 放入 2 个白球和 2 个黑球,则所有不同的放法种数 为( ) A.3 B.6 C.12 D.18 10. 分)若函数 f (5 (x)在给定区间 M 上,存在正数 t,使得对于任意 x∈M, x+t∈M,且 f 有 (x+t) ≥f(x) ,则称 f(x)为 M 上的 t 级类增函数,则以下命题正确的是( ) A. 函数 上的 1 级类增函数 B. 函数 f(x)=|log2(x﹣1)|是(1,+∞)上的 1 级类增函数 C. 若函数 上的 级类增函数,则实数 a 的最小值为 2 D.若函数 f(x)=x ﹣3x 为[1,+∞)上的 t 级类增函数,则实数 t 的取值范围为[1,+∞) 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 分)若 x=log43, ﹣2 ) = _________ . (5 (2 12. 分)某程序的框图如图所示,若执行该程序,则输出的 i 值为 _________ . (5
x
﹣x

2

2

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13. 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N、P、Q 分别是 AB、AA1、C1D1、CC1 的中点, (5 给出以下四个结论:① 1⊥ AC MN; ② 1∥ AC 平面 MNPQ; ③ 1 与 PM 相交; ④ 1 与 PM 异面.其 AC NC 中正确结论的序号是 _________ . 14. 分)已知函数 f(x)=|x﹣3|﹣2|x﹣1|,则其最大值为 _________ . (5 15. 分)设两个向量 =(λ+2,λ ﹣cox α)和 =(m, +sinα) (5 ,其中 λ,m,α 为实数.若 =2 , 则 的取值范围是 _________ .
2 2

三、解答题(第 16-第 19 题每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分.共 75 分) 16. (12 分)已知向量 =( (1)若 f(x)=1,求 cos(x+ sin ,1) =(cos ,cos , )的值;
2

) ,f(x)= ? .

(2)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 且满足 acosC+ c=b,求函数 f(B)的取值 范围. 17. (12 分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本,得 到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表如下: 分组 频数 频率 0.25 [10,15) 5 n [15,20) 12 p [20,25) m 0.05 [25,30) 1
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www.jyeoo.com M 合计 1 (1)求出表中 m、p 的值; (2)若该校高一学生有 360 人,试估计他们参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数; (3)学校决定对参加社区服务的学生进行表彰,对参加活动次数在[25,30)区间的学生发放价 值 80 元的学习用品,对参加活动次数在[25,30)区间的学生发放价值 60 元的学习用品,对参加 活动次数在[15,20)区间的学生发放价值 40 元的学习用品,对参加活动次数在[10,15)区间的 学生发放价值 20 元的学习用品,在所取样本中,任意取出 2 人,并设 X 为此二人所获得用品价值 之差的绝对值,求 X 的分布列与数学期望 E(X) . 18. (12 分)一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中 M、N 分别是 AB、AC 的中点,G 是 DF 上的一动点 (1)求证:GN⊥ AC; (2)当 FG=GD 时,在棱 AD 上确定一点 P,使得 GP∥ 平面 FMC.并给出证明.

19. (12 分)某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元,若用 x 表示该厂生产这种产品的总件 数,则电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元,又该厂职工工资固定支出 12500 元. (1)把每件产品的成本费 P(x) (元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最低成本费; (2)如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件,且产品能全部销售,根据市场调查:每 件产品的销售价 Q(x)与产品件数 x 有如下关系:Q(x)=170﹣0.05x,试问生产多少件产品, 总利润最高?(总利润=总销售额﹣总的成本) 20. (13 分)已知一非零向量列{an}满足:a1=(1,1) n=(xn,yn) ,a = (1)证明:{|an|}是等比数列; (2)设 θn=<a n﹣1,an>(n≥2) n=2nθn﹣1,Sn=b1+b2+…+bn,求 Sn; ,b (3)设 cn=|an|log2|an|,问数列{cn}中是否存在最小项?若存在,求出最小项;若不存在,请说明 理由. 21. (14 分)设函数 f(x)=x +bln(x+1) . (Ⅰ )若函数 y=f(x)在定义域上是单调函数,求 b 的取值范围; (Ⅱ )若 b=﹣1,证明对于任意的 n∈N+,不等式 .
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2013 年四川省成都市高考数学一模试卷 (理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 分)不等式 (5 的解集是( ) D.(﹣3,2]

A.(﹣∞,﹣8)∪ (﹣B.(﹣∞,﹣8]∪ [﹣3,C.[﹣3,2] 3,+∞) +∞)

考点:其他不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:把 2 移到左边后通分,再把分式不等式转化为整式不等式,进而即可求出其解集. 解答: 解:∵ 不等式 ,∴ ,化为(x+3) (x+8)≥0,且 x≠﹣3,解得
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x>﹣3 或 x≤﹣8. ∴ 原不等式的解集为{x|x≤﹣8 或 x>﹣3}. 故无答案. 点评:正确把分式不等式转化为整式不等式是解题的关键.注意,若利用去分母的方法去解,则 必须就 x+3 的正负讨论,否则可能会出错. 2. 分) (5 (2005?天津)若复数 A.﹣2 B.4 (a∈R,i 为虚数单位位)是纯虚数,则实数 a 的值为( C.﹣6 D.6 )

考点:复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 分析:化简复数为 a+bi(a、b∈R)的形式,让其实部为 0,虚部不为 0,可得结论. 解答: 解:复数 = ,它是纯虚数,则 a=﹣6.
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故选 C. 点评:本题考查复数代数形式的乘除运算,复数的分类,是基础题.

3. 分)列 a1, (5 A.﹣32



,…, B.32

,…是首项为 1,公比为﹣ C.﹣64

的等比数列,则 a5 等于( D.64



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www.jyeoo.com 考点:等比数列的通项公式. 专题:计算题. 分析: 由题意,a5=a1× × ×
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×

,利用 a1,



,…,

,…是首项为 1,公比为﹣

的等比数列,即可求得 a5 的值. 解答: 解:由题意,a5=a1× × × ×

∵1, a



,…,

,…是首项为 1,公比为﹣

的等比数列,

∴5= a =32 故选 B. 点评:本题考查等比数列的定义,考查叠乘法,确定等比数列中的各项是解题的关键.

4. 分)已知平面向量 , 满足 (5 “ ”的( )

, 与 的夹角为 60°,则“m=1”是

A.充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题:证明题. 分析: 由已知中平面向量 , 满足 , 与 的夹角为 60°,分别判断 “m=1”?“ 可得到结论. 解答: 解:∵ 向量 , 满足 ∴ =1, ? =1 当 m=1 时, 故 当 故 m=1
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”与“

”?“m=1”的真假,根据充要条件的定义即

, 与 的夹角为 60°,

=

=

﹣ ? =0

时,

﹣m ? =1﹣m=0,

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故选 C 点评:本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断,数量积判断两个平面向量的 垂直关系,其中根据已知条件判断“m=1”?“ “ ”?“m=1”的真假,是解答本题的关键. ”与

5. 分)关于命题 p:A∪ (5 ?=?,命题 q:A∪ ?=A,则下列说法正确的是( ) A.(¬p)∨ 为假 q B.(¬p)∧(¬q)为 C.(¬p)∨ (¬q)为 D.(¬p)∧q 为真 真 假 考点:复合命题的真假. 专题:计算题. 分析:利用集合知识,先判断出命题 p:A∩ ?=?是真命题,命题 q:A∪ ?=A 是真命题,再判断复 合命题的真假. 解答:解:∵ 命题 p:A∩ ?=?是真命题, 命题 q:A∪ ?=A 是真命题, ∴ (¬p)∨ 为真命题, q (¬p)∧(¬q)为假命题, (¬p)∨ (¬q)为假命题, (¬p)∧q 为假命题, 故选 C. 点评:本题考查复合命题的真假判断,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. [“命题 p:A∩=? ? ,命题 q:A∪ ?=A”应该更正为:“命题 p:A∩ ?=?,命题 q:A∪ ?=A”]
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6. 分) (5 (2005?江西)设函数 f(x)=sin3x+|sin3x|,则 f(x)为( ) A. B. 周期函数,最小正周期为 周期函数,最小正周期为 C. 周期函数,数小正周期为 2π D.非周期函数

考点:三角函数的周期性及其求法. 专题:计算题. 分析:可把四个选项中的最小正周期代入 f(x+T)=f(x)检验,即可得到答案. 解答: 解:先将周期最小的选项 A 和 C 的周期 T= 和 2π 代入 f(x+ )=﹣sin3x+|sin3x|≠f(x) ,
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f(x+2π)=﹣sin3x+|sin3x|≠f(x) ,故排除 A 和 C; 再检验(B)f(x+ 故选 B
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)=sinx+|sin3x|=f(x) ,成立,可推断函数为周期函数排除 D.

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www.jyeoo.com 点评:本题主要考查了三角函数的周期性及其求法.对于选择题可用逆向法,把选项中的值代入 题设条件中逐一检验获得答案.有时也能收到事半功倍的效果.

7. 分)设集合 A=[0, ) (5 ,B=[ ,1],函数 f(x)= 则 x0 的取值范围是( A. (0, ] ) B. (

,若 f[f(x0)]∈A,

]

C.





D. [ , ]

考点:分段函数的应用;函数的值域. 专题:函数的性质及应用. 分析:这是一个分段函数,从 f[f(x0)]∈A 入手,通过分类讨论依次表达出里层的解析式,最后 得到关于 x0 的不等式,解不等式得到结果. 解答: 解:① x0∈A 时,即 0≤x0< , 当
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所以 f(x0)=x0+ , ≤x0+ <1, 即 ≤f(x0)<1,即 f(x0)∈B,所以 f[f(x0)]=2[1﹣f(x0)]=1﹣2x0∈A, 即 0≤1﹣2x0< , 解得: <x0≤1,又由 0≤x0< , 所以 <x0< . ② x0∈B 时,即 ≤x0≤1, 当 所以 f(x0)=2(1﹣x0) ,0≤1﹣x0≤ , 即 0≤f(x0)≤1, (i)当 ≤x0<1 时,有 0≤f(x0)< ,即 f(x0)∈A, 所以 f[f(x0)]=f(x0)+ =2(1﹣x0)+ ∈A, 即 0≤2(1﹣x0)+ < , 解得:1<x0≤ ,又由 ≤x0<1, 所以 x0∈?.

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www.jyeoo.com (ii)当 ≤x0≤ 时,有 ≤f(x0)≤1 时,即 f(x0)∈B, 所以 f[f(x0)]=2[1﹣f(x0)]=2[1﹣2(1﹣x0)]∈A, 即 0≤2[1﹣2(1﹣x0)]< , 解得: ≤x0< ,又由 ≤x0≤ , 所以 ≤x0< . 综上①,则 x0 的取值范围是: ② ( ) .

故选 C. 点评:本题考查元素与集合间的关系,考查分段函数,解题的关键是看清自变量的范围,代入适 合的代数式. 8. 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,底面是边长为 2 的正三角形,侧 (5 棱长为 3,则 BB1 与平面 AB1C1 所成的角是( )

A.

B.

C.

D.

考点:直线与平面所成的角. 专题:计算题. 分析:以 B 为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用
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与平面 AB1C1 所的一个法向量 的夹角,

求出则 BB1 与平面 AB1C1 所成的角. 解答:解:以 B 为坐标原点,以与 BC 垂直的直线为 x 轴,BC 为 y 轴,建立空间直角坐标系, 则 A( 2,0) , ,1,0) 1(0,0,3) 1(0,2,3) ,B ,C , =(0,0,3) . =(﹣ ,﹣1,3) , =(0,

设平面 AB1C1 所的一个法向量为 =(x,y,z)

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www.jyeoo.com 则 即 ,取 z=1,则得 =(﹣ ,0,1) ,

∵ cos<

, >=

=

= ,

∴ 1 与平面 AB1C1 所成的角的正弦值为 , BB ∴ 1 与平面 AB1C1 所成的角为 BB 故选 A.

点评:本题考查线面角的计算,利用了空间向量的方法.要注意相关点和向量坐标的准确性,及 转化时角的相等或互余关系. 9. 分)将 4 个相同的白球和 5 个相同的黑球全部 放入 3 个不同的盒子中,每个盒子既要有白 (5 球,又要有黑球,且每个盒子中都不能同时只 放入 2 个白球和 2 个黑球,则所有不同的放法种数 为( ) A.3 B.6 C.12 D.18 考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:计算题. 分析:根据题意,用间接法,首先用挡板法计算全部的每个盒子既有白球,又有黑球的情况,再 计算不合题意的即一个盒子中只放入 2 个白球和 2 个黑球的情况数目,由事件之间的关系 计算可得答案. 解答:解:首先把四个白球排列,用 2 块挡板隔开分成 3 份,共有 C32=3 种结果, 2 再把五个黑球用 2 块挡板分开,共有 C4 =6 种结果, 根据分步计数原理知共有 3×6=18 种结果, 其中同时一个盒子中只放入 2 个白球和 2 个黑球的情况有 3×2=6 种情况; 则满足题意的有 18﹣6=12 种;
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www.jyeoo.com 故选 C. 点评:本题考查排列组合的运用,解题的关键是明确同色的小球都相同,在计算全部情况时只要 用挡板法分成三份就可以,这里有两种颜色的小球要分开两次. 10. 分)若函数 f (5 (x)在给定区间 M 上,存在正数 t,使得对于任意 x∈M, x+t∈M,且 f 有 (x+t) ≥f(x) ,则称 f(x)为 M 上的 t 级类增函数,则以下命题正确的是( ) A. 函数 上的 1 级类增函数 B. 函数 f(x)=|log2(x﹣1)|是(1,+∞)上的 1 级类增函数 C. 若函数 上的 级类增函数,则实数 a 的最小值为 2 D.若函数 f(x)=x ﹣3x 为[1,+∞)上的 t 级类增函数,则实数 t 的取值范围为[1,+∞) 考点:命题的真假判断与应用. 专题:新定义. 分析: 在 A 中,f(x+1)﹣f(x)=
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2

=

≥0 在(1,+∞)上不成立;在

B 中,f(x+1)﹣f(x)=|log2x|﹣|log2(x﹣1)|≥0 在(1,+∞)上不成立;在 C 中,函数 f(x)=sinx+ax 为[ ,+∞)上的 级类增函数,故
2

+

≥ sinx,所以实数 a 的

最小值不为 2;在 D 中,由 f(x)=x ﹣3x 为[1,+∞)上的 t 级类增函数,能导出实数 t 的 取值范围为[1,+∞) . 解答: 解:∵ f(x)= , ∴ f(x+1)﹣f(x)= = ≥0 在(1,+∞)上不成立,

故 A 不正确; ∵ f(x)=|log2(x﹣1)|, ∴ f(x+1)﹣f(x)=|log2x|﹣|log2(x﹣1)|≥0 在(1,+∞)上不成立, 故 B 不正确; ∵ 函数 f(x)=sinx+ax 为[ ∴ sin(x+ ∴ sinxcos ∴ )+a(x+ +cosxsin + ,+∞)上的 级类增函数,

)≥sinx+ax, +ax+ a≥sinx+ax,

≥ sinx,

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www.jyeoo.com 当 x= 时, ≥ ,a≥ ,

∴ 实数 a 的最小值不为 2,故 C 不正确; 2 ∵ f(x)=x ﹣3x 为[1,+∞)上的 t 级类增函数, 2 2 ∴ (x+t) ﹣3(x+t)≥x ﹣3x, 2 ∴ 2tx+t ﹣3t≥0, t≥3﹣2x∈[1,+∞) , 故 D 成立. 故选 D. 点评:本题考查命题的真假判断,是中档题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等 价转化. 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 分)若 x=log43, ﹣2 ) = (5 (2
x
﹣x

2



考点:有理数指数幂的化简求值. 专题:计算题. 分析:根据题目给出的 x 的值,首先化为以 2 为底数的对数,然后代入要求的式子,运用公式
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计算. 解答: 解:因为 所以 = 故答案为 . 点评: 本题考查了有理指数幂的化简求值,解答此题的关键是熟记公式 ,是基础题. . ,

12. 分)某程序的框图如图所示,若执行该程序,则输出的 i 值为 7 . (5

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考点:循环结构. 专题:计算题. n﹣1 分析:根据题意, 该算法流程图是要我们求出等比数列{2 }的前 n 项和, 并且找到使这个和大于 100 的最小正整数 n 的值,由此再结合等比数列的求和公式,不难得到本题的答案. 解答:解:根据题意,列出如下表格
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该算法流程图的作用是计算 1+2 +2 +…+2 的值
1 2 n﹣1 n 6

1

2

n﹣1

的和,并且求出使这个和大于 2012 的最小 n

∵ +2 +…+2 =2 ﹣1,且 2 ﹣1=63,2 ﹣1=127 1+2 1 2 n﹣1 ∴ S=1+2 +2 +…+2 ,使 S>100 的最小正整数 n 的值为 7. 故答案为:7 点评:本题以循环结构的算法流程图为载体, 求满足条件的最小正整数 n, 着重考查了等比数列的 求和公式和循环结构等知识,属于基础题. 13. 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N、P、Q 分别是 AB、AA1、C1D1、CC1 的中点, (5 给出以下四个结论:① 1⊥ AC MN; ② 1∥ AC 平面 MNPQ; ③ 1 与 PM 相交; ④ 1 与 PM 异面.其 AC NC 中正确结论的序号是 ①④ . ③ 考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:① 要证 A1C⊥ MN,由于 AD1∥ MN,则只需证 A1C⊥ 1,即只需证 AD1⊥ A1CD 即可; AD 面 ② 由于 A1C 与 MP 交于一点,则 A1C 与平面 MNPQ 相交; ③判定空间中直线与直线之间的位置关系,要紧扣定义来完成. ④
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www.jyeoo.com 解答:解:在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,∴ 1D⊥ 1, A AD ∵ 面 AA1D1D,AD1?面 AA1D1D, CD⊥ ∴ AD1, CD⊥ ∴ 1⊥ A1CD,∴ 1C⊥ 1∵ AD 面 A AD M,N 分别是 AA1,A1D1 的中点,∴ 1∥ AD MN,即 A1C⊥ MN, 故① 正确; 由于 M,N,P,Q 分别是 AA1,A1D1,CC1,BC 的中点, 则 A1C 与 PM 相交,故② 不正确,③ 正确; ∵ N?面 ACC1A1,而 M,P,C∈面 ACC1A1,∴ 与 PM 异面,故④ NC 正确; 故答案为:①④ ③.

点评:本题考查的知识点是,判断命题真假,同时考查了空间中直线与直线,直线与平面的位置 关系,我们可以根据空间几何中的定义,定理及常用结论对四个结论逐一进行判断,可以 得到正确的结果. 14. 分)已知函数 f(x)=|x﹣3|﹣2|x﹣1|,则其最大值为 2 . (5 考点:带绝对值的函数. 专题:不等式的解法及应用. 分析:通过去掉绝对值符号得出函数解析式,进而画出图象,即可得出最大值. 解答:
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解:∵ 函数 f(x)=|x﹣3|﹣2|x﹣1|=



根据解析式画出图象: 由图象可以看出:当且仅当 x=0 时,函数 f(x)取得最大值 2. 故答案是 2.

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点评:正确去掉绝对值符号并画出图象是解题的关键.
2 2

15. 分)设两个向量 =(λ+2,λ ﹣cox α)和 =(m, +sinα) (5 ,其中 λ,m,α 为实数.若 =2 , 则 的取值范围是 [﹣6,1] .

考点:平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题:计算题. 分析: 根据向量相等的概念,向量相等,即向量的横纵坐标相等,可哪 λ 用 m 表示,所以
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可化

简为 2﹣ ,所以只需求 的范围即可,再利用向量相等得到的关系式,把 m 用 α 的三角函 数表示,根据三角函数的有界性,求出 m 的范围,就可得到 的范围. 解答: 2 2 解:∵ =2 ,∴ λ+2=2m,① ﹣cox α=m+2sinα.② λ ∴ λ=2m﹣2 代入② 得,4m ﹣9m+4=cox α+2sinα=1﹣sin α+2sinα 2 =2﹣(sinα﹣1) 2 2 ∵ ﹣1≤sinα≤1, 0≤(sinα﹣1) ≤4,﹣4≤﹣(sinα﹣1) ≤0 ,∴ 2 ∴ ﹣2≤2﹣(sinα﹣1) ≤2 2 ∴ ﹣2≤4m ﹣9m+4≤2 2 2 分别解 4m ﹣9m+4≥﹣2,与 4m ﹣9m+4≤2, 得, ≤m≤2 ∴ ≤ ≤4
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2 2 2

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www.jyeoo.com = =2﹣

∴ ﹣6≤2﹣ ≤1 ∴ 的取值范围是[﹣6,1] 故答案为[﹣6,1] 点评:本题考查了向量相等的坐标表示,以及利用三角函数有界性求范围.属于综合题. 三、解答题(第 16-第 19 题每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分.共 75 分) 16. (12 分)已知向量 =( (1)若 f(x)=1,求 cos(x+ sin ,1) =(cos ,cos , )的值;
2

) ,f(x)= ? .

(2)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 且满足 acosC+ c=b,求函数 f(B)的取值 范围. 考点:余弦定理;平面向量数量积的运算;三角函数的化简求值. 专题:计算题. 分析:(1)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则列出 f(x)的解析式,再利用二倍 角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由 f(x)
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=1,得出 sin( + 化简后,将 sin( +

)的值,最后将所求的式子中的角提取 2,利用二倍角的余弦函数公式 )的值代入即可求出值;

(2) 利用余弦定理表示出 cosC, 代入已知的等式, 整理后代入利用余弦定理表示出的 cosA 中,得出 cosA 的值,由 A 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值求出 A 的度数,进 而确定出 B 的范围, 得出 + 的范围, 利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值

域,即为 f(B)的范围. 解答: 2 解: (1)∵ =( sin ,1) =(cos ,cos ) , , ∴ f(x)= ? = 又 f(x)=1, ∴ sin( + ∴ cos(x+ )= , 分) (4 )=cos2( + )=1﹣2sin ( +
2

sin cos +cos

2

=

sin + cos + =sin( +

)+ ,

)= ; 分) (6

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www.jyeoo.com (2)∵ cosC= ,acosC+ c=b,

∴ a?

+ c=b,即 b +c ﹣a =bc,

2

2

2

∴ cosA=

= , , (10 分)

又∵ A∈(0,π) A= ,∴ 又∵ 0<B< ∴ < + < , ,

∴ f(B)∈(1, )(12 分) . 点评:此题考查了余弦定理,平面向量的数量积运算,二倍角的正弦、余弦函数公式,两角和与 差的正弦函数公式,以及正弦函数的定义域与值域,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 17. (12 分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本,得 到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表如下: 分组 频数 频率 0.25 [10,15) 5 n [15,20) 12 p [20,25) m 0.05 [25,30) 1 M 1 合计 (1)求出表中 m、p 的值; (2)若该校高一学生有 360 人,试估计他们参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数; (3)学校决定对参加社区服务的学生进行表彰,对参加活动次数在[25,30)区间的学生发放价 值 80 元的学习用品,对参加活动次数在[25,30)区间的学生发放价值 60 元的学习用品,对参加 活动次数在[15,20)区间的学生发放价值 40 元的学习用品,对参加活动次数在[10,15)区间的 学生发放价值 20 元的学习用品,在所取样本中,任意取出 2 人,并设 X 为此二人所获得用品价值 之差的绝对值,求 X 的分布列与数学期望 E(X) . 考点:离散型随机变量的期望与方差;频率分布表;等可能事件的概率. 专题:计算题;概率与统计. 分析: (1)由题知 =0.25, , , ,再由 5+12+m+1=M,能求出[15,20)组的
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频率与组距之比.
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www.jyeoo.com (2)由(1)能求出参加服务次数在区间[15,20)上的人数. (3)所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为 0 元、20 元、40 元、60 元,分 别求出 P(X=0) ,P(X=20) ,P(X=40) ,P(X=60) ,由此能求出 X 的分布列和 EX. 解答: 解: (1)由题知 =0.25, , , , 又 5+12+m+1=M, 解得 M=20,n=0.6,m=2,p=0.1, 则[15,20)组的频率与组距之比 a 为 0.12.…(4 分) (2)由(1)知,参加服务次数在区间[15,20)上的人数为 360×0.6=216 人.…(7 分) (3)所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为 0 元、20 元、40 元、60 元, 则 P(X=0)= = = ,

P(X=20)=

=

=



P(X=40)=

=

=



P(X=60)=

=

.…(10 分)

所以 X 的分布列为: X 0 P

20

40

60

EX=0×

+20×

+20×

+40×

+60×

=

.…(12 分)

点评:本题考查离散型随机变量的数学期望和方差,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合 理运用. 18. (12 分)一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中 M、N 分别是 AB、AC 的中点,G 是 DF 上的一动点 (1)求证:GN⊥ AC; (2)当 FG=GD 时,在棱 AD 上确定一点 P,使得 GP∥ 平面 FMC.并给出证明.

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考点:直线与平面平行的判定;简单空间图形的三视图. 专题:计算题;证明题. 分析:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面 ADF 中 AD⊥ DF,DF=AD=DC,则 (1)连接 DB,我们易得 FD⊥ AD,FD⊥ CD,由线面垂直的判定定理,可得 FD⊥ ABCD, 面 进而得到 AC⊥ FDN,由线面垂直的定义,即可得到 GN⊥ 面 AC; (2)由图分析得,点 P 与点 A 重合时,GP∥ FMC,取 DC 中点 S,连接 AS、GS、GA 面 由三角形中位线宣,我们易证明出面 GSA∥ FMC,根据面面平行的性质,我们易得 GA∥ 面 面 FMC,即 P 与 A 重合. 解答:证明:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面 ADF 中 AD⊥ DF,DF=AD=DC (1)连接 DB,可知 B、N、D 共线,且 AC⊥ DN 又 FD⊥ AD,FD⊥ CD, ∴ 面 ABCD FD⊥ ∴ AC FD⊥
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∴ 面 FDN,GN?面 FDN AC⊥ ∴ AC GN⊥ (2)点 P 与点 A 重合时,GP∥ FMC 面 证明:取 DC 中点 S,连接 AS、GS、GA ∵ 是 DF 的中点, G ∴ FC,AS∥ GS∥ CM ∴ GSA∥ FMC 面 面 GA?面 GSA ∴ 面 FMC GA∥ 即 GP∥ FMC 面 点评:本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,简单空间图形的三视图,其中根据三视图, 判断出该几何体为直三棱柱且底面 ADF 中 AD⊥ DF,DF=AD=DC,是解答本题的关键. 19. (12 分)某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元,若用 x 表示该厂生产这种产品的总件 数,则电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元,又该厂职工工资固定支出 12500 元. (1)把每件产品的成本费 P(x) (元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最低成本费; (2)如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件,且产品能全部销售,根据市场调查:每 件产品的销售价 Q(x)与产品件数 x 有如下关系:Q(x)=170﹣0.05x,试问生产多少件产品, 总利润最高?(总利润=总销售额﹣总的成本)

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www.jyeoo.com 考点:基本不等式在最值问题中的应用;根据实际问题选择函数类型. 专题:应用题. 分析:(1)根据每件产品的成本费 P(x)等于三部分成本和,建立函数关系,再利用基本不等式 求出最值即可; (2)设总利润为 y 元,根据总利润=总销售额﹣总的成本求出总利润函数,利用二次函数 的性质求出取最值时,x 的值即可. 解答:解: )根据某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成,① (Ⅰ 职工工资固定支出 12500 元; ② 原材料费每件 40 元;③ 电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元,
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可得 由基本不等式得 当且仅当 ∴ ,即 x=500 时,等号成立 的最小值为 90 元.

∴ 每件产品的最低成本费为 90 元 (Ⅱ )设总利润为 y 元, ∵ 每件产品的销售价 Q(x)与产品件数 x 有如下关系:Q(x)=170﹣0.05x ∴ 总销售额=xQ(x)=170x﹣0.05x , 2 2 则 y=xQ(x)﹣xP(x)=﹣0.1x +130x﹣12500=﹣0.1(x﹣650) +29750 当 x=650 时,ymax=29750 答:生产 650 件产品时,总利润最高,最高总利润为 29750 元. 点评:本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用,以及二次函数的性质,同时考查了建模 的能力,属于中档题 20. (13 分)已知一非零向量列{an}满足:a1=(1,1) n=(xn,yn) ,a = (1)证明:{|an|}是等比数列; (2)设 θn=<a n﹣1,an>(n≥2) n=2nθn﹣1,Sn=b1+b2+…+bn,求 Sn; ,b (3)设 cn=|an|log2|an|,问数列{cn}中是否存在最小项?若存在,求出最小项;若不存在,请说明 理由. 考 数列与函数的综合;数列的函数特性;等比关系的确定. 点 : 专 综合题. 题 : 分 (1)先利用向量模的计算公式得出 的表达式,发现得出 析
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2

=

利用等比数

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www.jyeoo.com : 列定义判定是等比数列. (2)根据向量夹角公式可以求出 θn= 式计算. (3)由上可得出 cn= 否. 解 解: (l)证明: 答 : = ∴ 数列 (2) ∵ = = 是以 = = 为首项,公比为 (n≥2)又 = ? ,可利用作商法研究数列{cn}的单调性,确定最小项存在与 ,bn=2nθn﹣1= .分组后结合等差数列求和公

的等比数列.…(4 分)

=

2

∴ n= cosθ

=

,∴ n= θ

,∴n=2nθn﹣ b

1=

. = …(8 分)

Sn=b1+b2+…+bn=

(3)假设存在最小项,不防设为 cn,∵

=

=



∴n=|an|log2|an|= c 即 ∴ n≥

?

,由 cn≤cn+1 得 ﹣1)n≥2 ﹣1.



(2﹣n)≤1﹣n,∴ ( =3+

,∵ 为正整数,∴ n n≥5. ,n≤5. n=5 ,∴ …(12 分)

由 cn≤cn﹣1 得 n≤4+

故存在最小项,最小项为 c5=

点 本题考查数列的函数性质,等比数列的判定,数列求和,向量数量积、夹角的计算,是数列与 评 不等式的综合.所涉及的知识、方法均为高中学段基本要求. :
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www.jyeoo.com 21. (14 分)设函数 f(x)=x +bln(x+1) . (Ⅰ )若函数 y=f(x)在定义域上是单调函数,求 b 的取值范围; (Ⅱ )若 b=﹣1,证明对于任意的 n∈N+,不等式 .
2

考点:不等式的证明;利用导数研究函数的单调性. 专题:综合题. 分析:(I)根据题意,求导函数,要使 f(x)在(﹣1,+∞)上为单调函数,只须在(﹣1,+∞) 上 f′ (x)≥0 或 f′ (x)≤0 恒成立,分类讨论,分离参数,即可求 b 的取值范围;
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II)b=﹣1 时,f(x)=x ﹣ln(x+1) ,构造函数 g(x)=f(x)﹣x =x ﹣ln(x+1)﹣x ,证 3 明 g(x)<g(0)=0,即 f(x)<x ,即可证得结论. 解答: (I)解:求导函数,可得 要使 f(x)在(﹣1,+∞)上为单调函数,只须在(﹣1,+∞)上 f′ (x)≥0 或 f′ (x)≤0 恒成立, 若 2x +2x+b≥0,∴ 在(﹣1,+∞)上 若 2x +2x+b≤0,∴ 在(﹣1,+∞)上 由上得出当 无最小值,故满足 f′ (x)≤0 的 b 不存在.
2 2

2

3

2

3

有最大值 ,∴ 只须

,则 f′ (x)≥0

时,f(x)在(﹣1,+∞)上为单调函数.
2

(II)b=﹣1 时,f(x)=x ﹣ln(x+1) . 设 g(x)=f(x)﹣x =x ﹣ln(x+1)﹣x ,g′ (x)=﹣ 当 x≥0 时,g′ (x)<0,∴ 函数 g(x)在(0,+∞)上为减函数 3 ∴ x∈(0,+∞)时,g(x)<g(0)=0,∴ 当 f(x)<x . 令 x= ∈(0,+∞) ,则
3 2 3

∴ 点评:本题以函数为载体,考查利用导数研究函数的单调性,考查不等式的证明,考查分类讨论 思想,属于中档题.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有: 刘长柏; zhwsd; zlzhan; minqi5; qiss; 俞文刚; 孙佑中; zwx097; sxs123;sllwyn;danbo7801;翔宇老师;席泽林;geyanli(排名不分先后)
菁优网 2013 年 6 月 7 日

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