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高中物理竞赛教程:2.3《抛体运动》


§2.3 抛体运动
2.3.1、曲线运动的基本知识 轨迹为曲线的运动叫曲线运动。 它一定 是一个变速运动。图 2-3-1 表示一质点作曲 线运动,它经过 P 点时,在 P 点两旁的轨迹 上取 a1、b1 两点, 过 a1、P、b1 三点可作一 圆,当这两点无限趋近于 P 点时,则圆亦趋 近于一个定圆,我们把这个圆叫 P 点的曲率 圆,曲率圆的半径叫 P 点的曲率半径,曲

率 圆的圆心叫 P 点的曲率中心,曲率半径的倒 数叫 P 点的曲率。如图 2-3-1,亦可做出 Q 点的曲率圆。曲率半径大,曲率小,表示曲 线弯曲较缓,曲率半径小,曲率大,表示曲 线弯曲厉害。直线可认为是曲率半径为无穷 大的曲线。 质点做曲线运动的瞬时速度的方向总是沿该点的切线方向。如图 2-3-2 所示,质点在 △t 时间内沿曲线由 A 点运动到 B 点,速度由 V 变化到 VB,则其速度增量 ?V 为两者之矢 量差, ?V =VB―V ,这个速度增量又可分解成两个分量:在 VB 上取一段 AC 等于 V ,则△ V 分解成△V 1 和△V 2 ,其中△V 1 表示质点由 A 运动到 B 的速度方向上的增量,△V 2 表示速 度大小上的增量。 法向加速度 a n 表示质点作曲线运动时速度方向改变的快慢,其大小为在 A 点的曲率圆 的向心加速度:
A A A

a1

a2 P O1

b2

R1

b1
O2

Q

图 2-3-1
VA △V1 C VB △VB

VB

A

△V2

图 2-3-2

a n ? lim

?V2 ?t ?0 ?t
a? 表示质点作曲线运动时速度大小改变的快

其方向指向 A 点的曲率中心。切向加速度 慢,方向亦沿切线方向,其大小为

?V1 V A2 a? ? lim ? ?t ?0 ?t RA
总加速度 a 方法向加速度和切向加速度的矢量和。 2.3.2、抛物运动是曲线运动的一个重要特例

物体以一定的初速度抛出后,若忽略空气阻力,且物体的运动在地球表面附近,它的 运动高度远远小于地球半径, 则在运动过程中, 其加速度恒为竖直向下的重力加速度。 因此, 抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动。 根据运动的叠加原理,抛体运动可看成是由两个直线运动叠加而成。常用的处理方法 是 : 将抛体运 动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直 方向的匀变速直线运动。 如图 2-3-3。取抛物轨迹所在平面为平面,抛出点为 坐标原点,水平方向为 x 轴,竖直方向为 y 轴。则抛体运 动的规律为:

?a x ? 0 ? ?a y ? ? g

?v x ? v 0 cos? ? ?v y ? v 0 sin ?
? x ? v0 cos?t ? ? 1 y ? v0 sin ?t ? gt 2 ? 2 ?
其轨迹方程为

y ? xtg? ?

g x2 2v cos2 ?
2 o

这是开口向下的抛物线方程。 在抛出点和落地点在同一水平面上的情况下,飞行时间 T,射程 R 和射高 H 分别为

T?

2v0 sin ? g

R?

2 v0 sin 2? g

H?

2 v0 sin 2 ? 2g

抛体运动具有对称性,上升时间和下降时间(抛出点与落地点在同一水平面上)相等 (一般地,从某一高度上升到最高点和从最高点下降到同一高度的时间相等);上升和下降 时经过同一高度时速度大小相等,速度方向与水平方向的夹角大小相等。 下面介绍一种特殊的抛体运动——平抛运动: 质点只在重力作用下,且具有水平方向的初速度的运动叫平抛运动。它可以看成水平 方向上的匀速运动(速度为 v0)与竖直方向上的自由落体运动的合成。 ①速度:采用水平竖直方向的直角坐标可得:
2 v ? v0 ? ( gt) 2

v x ? v0

v y ? gt

,其合速度的大小为

,其合速度的方向为(设水平方向夹角为 θ ),可见,当 t ? ? 时,

V ? gt,? ? ? / 2 ,即表示速度趋近于自由落体的速度。

②位移:仍按上述坐标就有,

x ? V0 t , y ? gt 2 / 2 。仿上面讨论也可得到同样结论,当

时间很长时,平抛运动趋近于自由落体运动。 ③加速度:采用水平和竖直方向直角坐标系有, 如图 2-3-4 其法向加速度为

a x ? 0, a y ? g

,用自然坐标进行分解,

a n ? g cos? ,切向加速度为 a? ? g sin ? ,θ 为速度与水平向

方的夹角,将速度在水平与竖直方向的坐标系中分解可知:

sin ? ?

Vy V

?

gt
2 v0 ? g 2t 2

cos? ?

Vx V0 ? 2 V V0 ? g 2 t 2

O

V0 x Vx

由此可知,其法向加速度和切向加速度分别为:

an ?

gV0 V02 ? g 2 t 2
g t
2

an
Vy y g

av

V

a? ?

V02 ? g 2 t 2

图 2-3-4

由上两式可以看出,随着时间的推移,法向加速度逐渐变小趋近于零,切向加速度趋 近于定值 g,这表示越来越接近竖直下抛运动。在生活中也很容易看到,平抛物体的远处时 就接近竖直下落了。 运动的轨迹方程:

y?

g 2 x 2V02

从方程可以看出,此图线是抛物线,过原点,且

V0 越大,图线张开程度大,即射程大。

根据运动的独立性, 经常把斜抛运动分解成水平方向匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛 运动来处理,但有时也可以用其它的分解分法。 抛体运动另一种常用的分解方法是:分解沿

? v 0 方向的速 v0
A θ s

B h C

? v 度为 0 的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动二个分
运动。

v 如图 2-3-5 所示,从 A 点以 0 的初速度抛出一个小球,
在离 A 点水平距离为 s 处有一堵高度为 h 的墙 BC,要求小球 能越过 B 点。

图 2-3-5

问小球以怎样的角度抛出,才能使 将斜抛运动看成是

v 0 最小?
D

v 0 方向的匀速直线运动和另一个自 v0 α
A

vo t

由落体运动的合运动,如图 2-3-6 所示。 在位移三角形 ADB 在用正弦定理

β

B h C

1 2 gt vt 1 2 ? 0 ? sin a sin ? sin(a ? ? )

?

l

图 2-3-6


④轨迹:由直角坐标的位移公式消去时间参数 t 便可得到直角坐标系中的平抛运 由①式中第一个等式可得

t?

2v0 sin a g sin ?



将②式代入①式中第二个等式

2v 2 0 sin a l ? 2 g sin ? sin(a ? ? ) gl sin 2 ? 2v0 ? sin(a ? ? ) sin a
2

gl sin 2 ? v ? ? cos(2a ? ? ) ? cos ?
2 0

v 当 ? cos(2a ? ? ) 有极大值 1 时,即 2a ? ? ? ? 时, 0 有极小值。
2a ? ? ? ? ,

因为

2a ? ? ?

?
2

??

a?
所以

?

1 ? ? 4 2

1 ? x ? v0 cos at ? g sin ?t 2 ? ? 2 ? ? y ? v sin at ? 1 g cos?t 2 0 ? 2 ?
当小球越过墙顶时,y 方向的位移为零,由②式可得

t?

2v0 sin a g cos?

B

x

③式代入式①:我们还可用另一种处理方法 以 AB 方向作为 x 轴(图 2-3-7)这样一取, 小球在 x、y 方向上做的都是匀变速运动了, g 都要正交分解到 x、y 方向上去。 小球运动的方程为 y

v0

v0 v0 x 图 2-3-7
C



v0 y

?

?

1 ? x ? vox t ? g x t 2 ? ? 2 ? ?y ? v ? 1 g t 2 oy y ? 2 ?
x ? v0 cos a

gx

A g

gy

2v0 sin a 1 2v sin a 2 ? g sin ? ( 0 ) g cos? 2 g cos?

?

2v0 sin a (cos a cos? ? sin a sin ? ) g cos2 ?

2 2v 0 ? sin a cos(a ? ? ) g cos2 ? 2 v0 ?sin(2a ? ? ) ? sin ? ? g cos2 ?

?

2 v0 ?



xg cos2 ? sin(2a ? ? ) ? sin ?
2a ? ? ?

当 sin(2a ? ? ) 最大,即

?
2 时,

a?

?

1 ? ? v 4 2 , 0 有极小值

2 v0 ? xg cos2 ? /(1 ? sin ? )

? xg cos2 ? (1 ? sin ? ) /(1 ? sin 2 ? )
? xg(1 ? sin ? )

h ? xg (1 ? ) x
? g (h ? h 2 ? s 2 )


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