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【师说】2015高考雄关漫道(新课标)数学(文)全程复习构想课件:3.5 三角函数的图象和性质


3.5 三角函数的图象和性质

考点梳理 1.周期函数 (1)周期函数的定义 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定 f(x+T)=f(x) 义域内的每一个值时, 都有__________________ , 那么函数 f(x) 就叫做周期函数.________ T 叫做这个函数的周期. (2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所

有周期中存在一 最小正数 ,那么这个____________ 最小正数 就叫做 f(x)的最小正 个____________ 周期.

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 π {x|x∈R 且 x≠ 2 x ∈R +kπ,k∈Z} { y|-1≤y≤1} ____________ ____________ R

定义域 值域

x∈R

{ y|-1≤y≤1} ____________

[(2 k-1)π,2kπ] ___________ 单 ? ? 上递增,k∈Z; 上递增,k∈Z;?-π+kπ,π+kπ? ? 2 ? 调 ? 2 ? ? ? 3π ?π ? _____________ 性 ? ________________ +2kπ, +2kπ? [2 k π , (2 k + 1)π] ___________ 2 ?2 ? 上递增,k∈Z 上递减,k∈Z 上递减,k∈Z

? π ? π ? ? - + 2 k π , + 2 k π ? ________________ ? 2 ? 2 ?

续表 函数

最值

y=sinx y=cosx y=tanx π +2kπ 2kπ 2 x=______________ x=__________ 时,ymax=1(k∈Z); 时,ymax=1(k∈ x=? Z); 无最值 π+2kπ 时, x=________ π - +2kπ ______________ 时, ymin=-1(k∈Z) 2 ymin=-1(k∈Z)

奇偶性

奇函数 ____________

偶函数 ____________

偶函数 ________

对称中心:

对称性

周期性

(kπ,0),k∈Z __________ 对称轴 l: π x=kπ+ ,k∈Z 2 __________ 2π ______

对称中心: ? π ? ? ? k π + , 0 ? ?, 2 ? ? __________ k∈ Z 对称轴 l:

对称中心: ?kπ ? ? ? , 0 ?2 ?, ? ? __________ k∈Z 无

x= kπ,k∈Z __________ 2π ______

π ______

考点自测 1.设函数
? π? ? f(x)=sin?2x-2? ?,x∈R,则 ? ?

f(x)是(

)

A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2

? π? ? 解析:f(x)=sin?2x-2? ?=-cos2x,f(-x)=f(x), ? ?

∴f(x)为偶函数,排除 A、C, 又 T=π,故选 B. 答案:B

2.函数

π A.{x|x≠ ,x∈R} 4 π B.{x|x≠- ,x∈R} 4 π C.{x|x≠kπ+ ,k∈Z,x∈R} 4 3π D.{x|x≠kπ+ ,k∈Z,x∈R} 4 π π 3 解析:∵x- ≠kπ+ ,∴x≠kπ+ π,k∈Z. 4 2 4 答案:D

?π ? ? y=tan?4-x? ?的定义域是( ? ?

)

3.函数 f(x)=sinx- 3cosx(x∈[-π,0])的单调递增区间 是( ) ? ? 5π 5π? π? ? ? ? A.?-π,- 6 ? B.?- 6 ,-6? ? ? ? ? ? ? π ? ? π ? ? ? ? C.?-3,0? D.?-6,0? ? ? ? ? ? ? π? ? 解析:∵f(x)=2sin?x-3? ?的增区间为 ? ? ? π 5π? ? ? 2 k π - , 2 k π + (k∈Z),∴当 x∈[-π,0]时 ? 6 6? ? ? ? π ? ? 增区间为?-6,0? ?,故选 D. ? ? 答案:D

4.已知 ( π A.- 6 )

?π ? ? y=tan(2x+φ)的图象过点?12,0? ?,则 ? ?

φ 可以是

π B. 6

π C.- 12

π D. 12

?π ? ? 解析:∵y=tan(2x+φ)过点?12,0? ?. ? ? ?π ? π ? ? ∴tan?6+φ?=0, ∴ +φ=kπ, k∈Z, 6 ? ?

π π ∴φ=kπ- .当 k=0 时,φ=- . 6 6 答案:A

1 1 5.若集合 M={θ|sinθ≥ ,0≤θ≤π},N={θ|cosθ≤ , 2 2 0≤θ≤π},则 M∩N=__________.

解析:首先作出正弦函数与余弦函数的图象,以及直线 y 1 = .如图 2

π 5π 结合图象可得集合 M、N 分别为 M={θ| ≤θ≤ }, 6 6 π π 5π N={θ| ≤θ≤π},由上可得 M∩N={θ| ≤θ≤ }. 3 3 6 π 5π 答案:{θ| ≤θ≤ } 3 6

疑点清源 1.关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于?x∈R, 恒有-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1,所以 1 叫做 y=sinx,y= cosx 的上确界,-1 叫做 y=sinx,y=cosx 的下确界. 在解含有正余弦函数的问题时, 要注意深入挖掘正、 余弦 函数的有界性.

2.对函数周期性概念的理解 (1)周期性是函数的整体性质,要求对于函数整个定义域 范围的每一个 x 值都满足 f(x+T)=f(x),其中 T 是不为零的常 数.如果只有个别的 x 值满足 f(x+T)=f(x),或找到哪怕只有 一个 x 值不满足 f(x+T)=f(x),都不能说 T 是函数 f(x)的周期.

(2)从周期函数的定义,对于条件等式“f(x+T)=f(x)”可 以理解为自变量增加一个常数 T 后,函数值不变;从图象的 角度看就是,每相隔距离 T 图象重复出现.因此对于 f(ωx+φ +T)=f(ωx+φ)(ω>0),常数 T 不能说是函数 f(ωx+ φ)的周 ? ? ? T? T ? ? ? ? 期. 因为 f(ωx+φ)=f?ω?x+ω?+φ?, 即自变量由 x 增加到 x+ , ω ? ? ? ? T 也就是 才是函数的周期. ω

题型探究 题型一 与三角函数有关的函数的定义域 例 1.求下列函数的定义域: (1)y=lgsin(cosx);(2)y= sinx-cosx.

解析:(1)要使函数有意义,必须使 sin(cosx)>0. ∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1.

π 方法一:利用余弦函数的简图得知定义域为{x|- +2kπ 2 π <x< +2kπ,k∈Z}. 2

方法二:利用单位圆中的余弦线 OM ,依题意知 0 < OM≤1, ∴OM 只能在 x 轴的正半轴上, ∴其定义域为 ? ? π π ? ? ?x|- +2kπ<x< +2kπ,k∈Z?. ? 2 2 ? ? ?

(2)要使函数有意义,必须使 sinx-cosx≥0. 方法一:利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sinx 和 y=cosx 的图象,如图所示.

π 5π 在[0,2π]内,满足 sinx=cosx 的 x 为 , ,再结合正弦、 4 4 余弦函数的周期是 2π, ? ? 5π ? π ? ? 所以定义域为?x|4+2kπ≤x≤ 4 +2kπ,k∈Z? . ? ? ?

方法二:利用三角函数线,如图 MN 为正弦线,OM 为余 弦线, 要使 sinx≥cosx,即 MN≥OM, π 5π 则 ≤x≤ (在[0,2π]内). 4 4 ∴定义域为 ? ? 5π ? π ? ?x| +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z?. ? 4 4 ? ? ?

方法三:sinx-cosx=

π 将 x- 视为一个整体, 由正弦函数 y=sinx 的图象和性质 4 π 可知 2kπ≤x- ≤π+2kπ, 4 π 5π 解得 2kπ+ ≤x≤ +2kπ,k∈Z. 4 4 ? ? π 5π ? ? ? 所以定义域为?x|2kπ+4≤x≤ 4 +2kπ,k∈Z? . ? ? ?

? π? ? 2sin?x-4? ?≥0, ? ?

点评:①对于含有三角函数式的(复合)函数的定义域,仍 然是使解析式有意义即可. ②求三角函数的定义域常常归结为 解三角不等式(或等式).③求三角函数的定义域经常借助两个 工具, 即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象, 有时也利 用数轴.

变式探究 1 求下列函数的定义域: (1)y=lg(2sinx); (2)y= 36-x2+lgcosx.

解析:(1)根据对数函数的性质,需真数 2sinx>0, 解得 2kπ<x<(2k+1)π(k∈Z), 所以函数定义域为{x|2kπ<x<(2k+1)π,k∈Z}. ? ?cosx>0, (2)使解析式有意义的 x 满足? 解得 2 ? 36 - x ≥ 0 , ? π π ? ?2kπ- <x<2kπ+ ?k∈Z?, 2 2 ? ? ?-6≤x≤6. 3π π π 3π 得-6≤x<- 或- <x< 或 <x≤6, 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 3π? ? ? ? π π? ?3π 故函数的定义域为?-6,- 2 ?∪?-2,2?∪? 2 ,6? ?. ? ? ? ? ? ?

题型二 与三角函数有关的函数的值域 例 2.求下列函数的值域: (1)y=2cos2x+2cosx; (2)y=3cosx- 3sinx; (3)y=sinx+cosx+sinxcosx. ? 1? ? ?2 1 2 解析:(1)y=2cos x+2cosx=2?cosx+2? - . 2 ? ? 于是当且仅当 cosx=1 时取得 ymax=4, 1 1 当且仅当 cosx=- 时取得 ymin=- , 2 2 ? 1 ? ? 故函数值域为?-2,4? ?. ? ?

(2)y=3cosx- 3sinx=2
? π? ? =2 3cos?x+6? ?. ? ? ? π? ? ∵|cos?x+6? ?|≤1, ? ?

? 3? ? ?

? 3 1 ? cosx- sinx? 2 2 ?

∴该函数值域为[-2 3,2 3].

t2-1 (3)令 t=sinx+cosx,则 sinxcosx= ,且|t|≤ 2. 2 1 2 1 ∴y= (t -1)+t= (t+1)2-1, 2 2 ∴当 t=-1 时,ymin=-1, 1 当 t= 2时,ymax= 2+ . 2 ? ? 1 ? ∴该函数值域为?-1,2+ 2? ?. ? ?

点评:求三角函数式的值域时,先观察解析式的结构,针 对不同的结构类型采用不同的方法求其值域. (1)将原函数式化为 y=Asin(ωx+φ)+B,y=Acos(ωx+φ) +B 型或化为关于 sinx(或 cosx)的二次函数式,利用换元法进 行配方可解决问题. (2)关于 y=acos2x+bcosx+c(或 y=asin2x+bsinx+c, a≠0) 型或可化为此型的函数求值域, 一般可化为二次函数在闭区间 上的值域问题,切忌不要忽视函数的定义域. (3)换元法,旨在三角问题代数化,要防止破坏等价性.

变式探究 2 求下列函数的值域: (1)y=4tanxcosx; (2)y=6-4sinx-cos2x; 2sinx+1 (3)y= . sinx-2

解析:(1)y=4tanxcosx=4sinx(cosx≠0). 由于 cosx≠0,所以 sinx≠± 1, ∴函数的值域为(-4,4).

(2)y=6-4sinx-cos2x=sin2x-4sinx+5 =(sinx-2)2+1. ∵-1≤sinx≤1, ∴函数的值域为[2,10]. 2sinx+1 5 (3)方法一:y= =2+ , sinx-2 sinx-2 5 5 由于-1≤sinx≤1,所以-5≤ ≤- , 3 sinx-2 ? 1? ? ∴函数的值域为?-3,3? ?. ? ?

2sinx+1 2y+1 方法二:由 y= ,解得 sinx= , sinx-2 y-2 ∵-1≤sinx≤1, 2y+1 1 ∴-1≤ ≤1,解得-3≤y≤ , 3 y-2 ? 1? ? ∴函数的值域为?-3,3? ?. ? ?

题型三 三角函数的奇偶性与周期性 6cos4x+5sin2x-4 例 3.已知函数 f(x)= . cos2x (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的最小正周期.

π 解析:(1)由 cos2x≠0 得 2x≠kπ+ , 2 kπ π 解得 x≠ + ,k∈Z, 2 4 kπ π ∴f(x)的定义域为{x|x≠ + ,k∈Z}. 2 4 kπ π 当 x≠ + ,k∈Z 时, 2 4 6cos4x+5sin2x-4 6cos4x-5cos2x+1 f(x)= = cos2x cos2x ?2cos2x-1??3cos2x-1? = =3cos2x-1, cos2x 又 f(x)的定义域关于原点对称,∴f(x)是偶函数.

1+cos2x (2)∵f(x)=3cos x-1=3× -1 2 1 3 = + cos2x. 2 2 2π ∴T= =π,∴f(x)的最小正周期为 π. 2
2

点评: ①判断函数的奇偶性, 首先要判断其定义域是否关 于原点对称, 之后再作进一步判断. ②在求三角函数式的最小 正周期时, 要尽可能地化为只含有一个三角函数的式子, 否则 很容易出现错误.

x x x 变式探究 3 已知函数 f(x)=2sin cos + 3cos . 4 4 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期及最值; ? π? ? (2)令 g(x)=f?x+3? 判断函数 g(x)的奇偶性, 并说明理由. ?, ? ?

? x π? x x ? + 解析:(1)∵f(x)=sin + 3cos =2sin? ?2 3?. 2 2 ? ? 2π ∴f(x)的最小正周期 T= =4π. 1 2 ? x π? ? + 当 sin? ?2 3?=-1 时,f(x)取得最小值-2; ? ? ? x π? ? + 当 sin? ?2 3?=1 时,f(x)取得最大值 2. ? ?

? x π? ? + (2)由(1)知 f(x)=2sin? ?2 3?, ? ? ? π? ? 又 g(x)=f?x+3? ?, ? ? ?1? ? π? ? ? ? π? ∴g(x)=2sin? ?x+3?+ ? ? 3? ?2? ? x π? ? + =2sin? ?2 2? ? ?

x =2cos . 2

? x? x ? ? ∵g(-x)=2cos?-2?=2cos =g(x), 2 ? ?

∴函数 g(x)是偶函数.

题型四 三角函数的单调性 例 4.求下列函数的单调区间: ? π? ? (1)y=sin?-2x+3? ?; ? ? (2)y=|tanx|; (3)y=log 1 (sin2x).
2

? π? ? 解析:(1)y=-sin?2x-3? ?, ? ? ? π? ? 它的增区间是 y=sin?2x-3? ?的减区间, ? ? ? π? ? 它的减区间是 y=sin?2x-3? ?的增区间. ? ?

π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ , 2 3 2

π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 π π 3π 由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ , 2 3 2 5π 11π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 ? π 5π? ? 故所给函数的减区间为?kπ-12,kπ+12? ?,k∈Z;增区间 ? ? ? 5π 11π? ? 为?kπ+12,kπ+ 12 ? ?,k∈Z. ? ?

? π? ? (2)y=|tanx|的增区间是?kπ,kπ+2? ?,k∈Z, ? ? ? ? π ? 减区间是?kπ-2,kπ? ?,k∈Z. ? ?

(3)函数 y=log 1 u 为减函数,且 u=sin2x>0 的增区间为
2

? ? π? π π? ? ? ? ? k π , k π + k π + , k π + , k ∈ Z ;减区间为 ? ? ? ?,k∈Z. 4 4 2 ? ? ? ? ? π? ? ∴函数 y=log 1 (sin2x)的减区间为?kπ,kπ+4? ?,k∈Z; ? ? ? π π? ? 增区间为?kπ+4,kπ+2? ?,k∈Z. ? ?
2

π π π 点评:(1)中,不能直接由 2kπ- ≤-2x+ ≤2kπ+ ,k 2 3 2 π π 3π ∈Z 解增区间,也不能由 2kπ+ ≤-2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 2 3 2 解减区间,可以通过取 k=0,± 1,± 2 等值验证所求的结果是 错误的,也可以通过画图象验证.(3)中,许多同学不考虑函 数的定义域,即 sin2x>0 时 x 满足的条件,导致了错解.

变式探究 4 求下列函数的单调区间: ? 1 ? ?π 2x? (1)y= sin?4- 3 ?; 2 ? ? ? π? ? (2)y=-|sin?x+4? ?|. ? ?

? 1 ? ?π 2x? 解析:(1)y= sin?4- 3 ? 2 ? ? ? 1 ? ?2x π? =- sin? 3 -4?. 2 ? ? π 2x π π 故由 2kπ- ≤ - ≤2kπ+ , 2 3 4 2 3π 9π 解得 3kπ- ≤x≤3kπ+ (k∈Z) 8 8

? π? ? (2)画出函数图象, 由图象可知 y=-|sin?x+4? ?|的图象的减 ? ? ? ? π π? π 3π? ? ? ? 区间为?kπ-4,kπ+4?,增区间为?kπ+4,kπ+ 4 ? ?(k∈Z). ? ? ? ?

π 2x π 3π 由 2kπ+ ≤ - ≤2kπ+ , 2 3 4 2 9π 21π 解得 3kπ+ ≤x≤3kπ+ (k∈Z). 8 8 ? 3π 9π? ? ∴递减区间为?3kπ- 8 ,3kπ+ 8 ? ?, ? ? ? 9π 21π? ? 递增区间为?3kπ+ 8 ,3kπ+ 8 ? ?(k∈Z). ? ?

名师归纳 ?方法与技巧 1.利用函数的有界性(-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1),求 三角函数的值域(最值). 2.利用函数的单调性求函数的值域或最值. 3. 利用换元法求复合函数的单调区间(要注意 x 系数的正 负号).

?失误与防范 1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分 析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响. 2.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如 y =Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根据基本三角函数的单调区 间,求出 x 所在的区间.应特别注意,考虑问题应在函数的定 义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同: ? ?π ? π? ? ? ? (1)y=sin?2x-4?;(2)y=sin?4-2x? ?. ? ? ? ? 3.利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性, 如: y=sin2x-4sinx+5, 令 t=sinx(|t|≤1), 则 y=(t-2)2+1≥1, 解法错误.

随堂检测 1.(2013· 四川卷)函数
? π π? ? f(x)=2sin(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<2? ?的 ? ?

部分图象如图所示,则 ω,φ 的值分别是( π A.2,- 3 π B.2,- 6 π C.4,- 6 π D.4, 3

)

解析: 本题通过观察图象获得三角函数的周期及最值 1 11 5 π 2π 点.由图象可知: T= π- π= ,∴T=π,即 =π,∴ω 2 12 12 2 ω ?5 ? ? =2.由图象过点?12π,2? ?, ? ? ?5π? ? ? 5π π ? ? ? ? 即 f?12?=2sin?2×12+φ?=2,可得 φ=2kπ- ,k∈Z,又 3 ? ? ? ? π π π - <φ< ,可得 k=0,φ=- . 2 2 3 答案:A

1 2. (2013· 北京卷)已知函数 f(x)=(2cos x-1)sin2x+ cos4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值; ?π ? 2 ? ? (2)若 α∈?2,π?,且 f(α)= ,求 α 的值. 2 ? ?
2

1 解析:(1)∵f(x)=(2cos x-1)sin2x+ cos4x 2 1 =cos2xsin2x+ cos4x 2 1 = (sin4x+cos4x) 2 π? 2 ? ? = sin?4x+4? ?. 2 ? ? π 2 ∴f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2
2

? π? 2 ? (2)∵f(α)= ,∴sin?4α+4? ?=1. 2 ? ? ?π ? ? π ? ? ? ?9π 17π? ∵α∈?2,π?,∴4α+ ∈? 4 , 4 ?, 4 ? ? ? ? π 5π 9π ∴4α+ = ,故 α= . 4 2 16

3 3 . (2013· 山 东 卷 ) 设 函 数 f(x) = - 3 sin2ωx - 2 sinωxcosωx(ω>0),且 y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对 π 称轴的距离为 . 4 (1)求 ω 的值; ? 3π? ? (2)求 f(x)在区间?π, 2 ? ?上的最大值和最小值. ? ?

3 3 2 解 析 : (1)f(x) = - 3 sin ωx - sinωxcosωx = - 2 2 1-cos2ωx 1 3 1 3· - sin2ωx = cos2ωx - sin2ωx = - 2 2 2 2 ? π? ? sin?2ωx-3? ?. ? ? π ∵图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 . 4 2π π 又 ω>0,∴ =4× ,∴ω=1. 2ω 4

(2)由(1)知

3π 5π π 8π 当 π≤x≤ 时, ≤2x- ≤ . 2 3 3 3 ? π? 3 3 ? ? ∴- ≤sin?2x-3?≤1,∴-1≤f(x)≤ . 2 2 ? ? ? 3π? 3 ? ? 故 f(x)在区间?π, 2 ?上的最大值和最小值分别为 ,-1. 2 ? ?

? π? ? f(x)=-sin?2x-3? ?. ? ?


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