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公开课定稿--正弦、余弦函数的定义-修改版


1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计
任课老师:李保英 教材:北师大版高一数学必修四第一章第四节第一小节 一、教学目标 1.知识与技能目标 (1)掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义; (2)通过定义掌握正弦、余弦函数每个象限的取值符号; (3)熟练运用正弦与余弦函数进行计算. 2.过程与方法目标 (1)通过参与知识的“发现”与“形成”的过程,培养合理猜测 的能力,体会函数模型思想,数形结合思想. (2)培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力. 3.情感、态度、价值观目标 在学习中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性.感悟数学的本 质,培养追求真理的精神.通过本节的学习,使同学们对正弦函数与余 弦函数有了一个全新的认识,通过对定义的应用,提高学生分析、解决 问题的能力. 二、教学重难点 教学重点: 1.任意角的正弦函数与余弦函数的定义; 2.正弦、余弦函数每个象限的取值符号; 教学难点: 2.任意角的正弦、余弦函数的计算; 三、教学方法与教学手段 问题讨论与类比、合作探究、讲练结合及多媒体课件演示的方法

1

四、教学过程
教学内容 教师活动 学生活动
学生思考并回答: sin?=对边/斜边=PM/OP cos?=邻边/斜边=OM/OP (学生思考并可能回答出画出坐标

设计 意图
以 旧 知 引 出 任 意 角 正 弦、余弦 函 数 定 义,并让 学 生 自 己 思 考 如 何 构 建 图 形?

(一) 问题 1:同学们,在初中的时候,我们 回顾旧知, 如何在直角三角形中求一个锐角的正 问 题 引 入 弦、余弦函数?(画直角三角形) P (2 分钟)

轴和单位圆辅助) M O 那么,我们学过的任意角呢?又如何 求?(显然,利用初中正弦、余弦函数 学生思考并描述画坐标轴和单位 的定义已经不能满足任意角的需求,因 圆的方法 此,我们必须重新定义它.今天,我们 y 将对此作深入探究) P(x,y) 问题 2:如何画坐标轴和单位圆? α 学生若回答不出,可提示:以锐角的端 x O M 点为原点,以斜边为一个单位长度在坐 标轴上画出单位圆,点 P(x,y)为终边 与与单位圆的交点。 探究 1:任意角的正弦、余弦函数的定 义 (借助坐标轴和画单位圆,构建数学模 型)以锐角的公共端点为原点 O,以直 角边 OM 为 x 轴,过原点做 y 轴画出直 角坐标系。并取斜边作为一个单位长度 作为半径,画一个单位圆,斜边与单位 圆相交与一点 P(x,y) 。 学生思考,讨论可以继续运用在 直角三角形中的求锐角正弦、余 弦函数的方法实现,即 sin?=对边/斜边=PM/OP =y/1(纵坐标) cos?=邻边/斜边=OM/OP =x/1(横坐标) 得出定义:点 P 的纵坐标 y 定义 为角?的正弦函数,记作 y=sin?; 点 P 的横坐标 x 定义为角?的余弦 函数,记作 x=cos? 问题 3:如果任意角的终边落在不同的 象限,那么它的正弦、余弦函数还是这 样定义吗?(如果任意角落在轴线上 呢?) (二) 新知探究 探究:2 正弦、 余弦 的函数的 取值符号 学生观察四种象限角的图形,加 强定义的理解 (通过观察图形可以直接回答)

a

(二) 新知探究 探究 1: 正弦、 余弦 函数的定 义:

启 发 学 生 学 会 在 坐 标 轴 上 构 建 三 角 形,利用 学 过 的 三 角 函 数 套 入 式

两 道 不 一 样 的 探究 2:正弦、余弦的函数的取值符号 学以致用----练一练 练 习 题 (根据正弦、余弦定义即可判断正负) 1.判断下列式子的符号: 可 以 拓 (由学生填写课本表格 15 页表格) (1)sin105°.cos230°; 并得出结论: (象限角符号) (2)sina . cosa <0,问 a 属于第几 展 学 生 的思维, 一:正+ 正+ 象限角。 加 强 对 二:正+ 负符 号 的 三:负负记忆 四:负正+
2

(二) 新知探究

思考: 如果任意角终边上的一点 P (x,y) 落在圆外的任意一个点呢?正弦、余弦 学生继续对之前讨论的单位圆作 的定义又是否还成立? 图并利用相似三角形的比值进行 探究 3: 以课本例 1 作为探究 讨论 假设角 a 定点是直角坐标系的原点, 取圆外一 始边与 X 的非负半轴重合, 已知角 a 终 点 P(x,y) 边上任意一点 Q (x,y) ,求角 a 的正弦 余 弦数值。 再讨论正 讲解课本例 1---得出结论 得出正弦、余弦定义依然成立 弦、 余弦定 学生可以再次加强正弦、余弦 函数定义的理解 义是否成 立

为 了 引 出 圆 外 一点 P 正 弦 余 弦 函 数 的 讨论,使 得 定 义 再 次 成 立,并且 过 度 自 然

三角函数的值与点 P(x,y) 在终边上 的与位置无关,所以定义域成立。 (三) 新知应用 通过以上计算,你认为如何利用函 数定义去计算正弦、余弦值呢? 变式题 1---能力提升(看情况而讲) 已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若点 P(4,y)是角 θ 终边 上的一点,且 sin θ= ? 2 5
?5

例 2- 已知任意角 a 的终边上有一点 P (5,-12) ,求 sina 和 cosa 的值。

学生思考 并初步利用正弦、余弦的定义求 解 由学生概括 小结:1.2.3.4 步骤 学生思考练习

加 强 定 义 的 练 习 细 化 解 题过程 变 式 有 助 提 升 生 学 能力 题 于 学 习

则 y= ( ) A.-8 B.-4 C.+8 (四) 课堂小结

D.+ 4 由学生自己小结 培 养 学 生 良 好 的 学 习 习惯

这节课你学到了什么? ① 正弦、余弦函数定义与初中时的定 义有何异同? ② 正弦函数与余弦函数是如何定义 的?在应用时应注意什么? ③你能准确判断三角函数值在各象限 内的符号吗?

教学反思:

3

引导学生根据坐标轴取值进行讨 论

得出结论:有符号之分 三负负,四负正”. )

加 强 学 数 性 质 的记忆

(采用记忆法: “一正正, 二正负, 生 对 函

课堂练习—巩固提升 1.判断下列各式的符号: (1)sin105°.cos230°; (2)cos3.tan(-2/3 π ); 例 2-- 在 直 角 坐 标 系 的 单 位 圆 中 , ????/4, (1)画出角?; (2)求出角?的终边与单位圆的交点坐 标; 分析:把弧度制化为角度制,再按顺时 针画角度。利用三角形正弦、余弦函数 的定义求出坐标。

学生思考练习

学生自主学习

学 以 致 用,巩固 新知

(四) 、 新知应用 变式训练 1—正余函数的应用 3 (12 分钟) 1.已知角α 终边上一点 P ( ? , 2), 2 求 角α 的正弦函数值、余弦函数值 教师演示计算过程与结果 变式训练 2--2.已知角α 的终边过点 P(12,a)且 tan α =5/12,求 sina +cos a 的值; 教师小结 --- 利用三角函数的定义求值 的策略

学生思考并计算

通 过 变 式 提 升 学 生 多 角 度 思 考、解决 问 题 能 力

学生学习 抛问题, 让 学 生 学 会 发 现 与 归 纳问题

(五) 问 10:我们知道,在直角坐标系的单位 学生填写课本 16 页的表格,观察 拓 展 延 伸 圆中,有各种特殊角,请问你能求出各 各种特殊角的坐标,引出周期函 (5 分钟) 种特殊角的正弦、余弦函数吗?同时, 数的探究与学习。 你会发现这些特殊角的函数值会有什 么规律?

(六) 这节课你学到了什么? 提示: 课 堂 小 结 ③ 正弦、余弦函数定义与初中时的定 (3 分钟) 义有何异同? ④ 正弦函数与余弦函数是如何定义 的?在应用时应注意什么? ③你能准确判断三角函数值在各象限 内的符号吗?

学生总结

培 养 学 生 良 好 的 学 习 习惯

五、教学反思

4


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