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2016年闸北高三二模


闸北区 2015 学年度第二学期高三数学(理、文合卷)期中练习卷
考生注意: 1. 本次测试有试题纸和答题纸,解答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚,并在规定区域内贴上 条形码. 3. 本试卷共有 18 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.

一、填空题(60 分)本大题共有 10 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格填对 得 6 分,否则一律得零分. 1.设函数 f ( x) ? a x ? a? x (a ? 0且a ? 1 ,且 f (1) ? 3 ,则 f (0) ? f (1) ? f (2) 的值是 ) . .

2.已知集合 A ? {x || x ? 2 |? a} , B ? {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围是 3.如果复数 z 满足 | z |? 1 且 z ? a ? bi ,其中 a, b ? R ,则 a ? b 的最大值是
2



4. (理 )在直角坐标系 xoy 中,已知三点 A(a,1), B(2, b), C (3, 4) ,若向量 OA , OB 在向量 OC 方向上的投影相同,则 3a ? 4b 的值是 .

??? ?

??? ?

??? ?

?x ? y ? 5 ? 0 ? (文)已知 x 、 y 满足 ? x ? y ? 0 ,若使得 z ? ax ? y 取最大值的点 ( x, y ) 有无数个,则 a 的值 ? ?x ? 3
等于 .

5. (理)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以 a 为首项,

2 为公比的等比数列,相应的奖金分别是以 7000 元、 5600 元、 4200 元,则参加此次大赛获得奖金的期
望是 元.

(文) )在直角坐标系 xoy 中,已知三点 A(a,1), B(2, b), C (3, 4) ,若向量 OA , OB 在向量 OC 方向上的 投影相同,则 3a ? 4b 的值是 6. 已知 F F2 是椭圆 C : 1、 的面积为 9 ,则 b ? .

??? ?

??? ?

??? ?

???? ???? ? x2 y 2 P ? ? 1( a ? b ? 0) 的两个焦点, 为椭圆上一点, 且 若 ?PF PF ? PF 1F 2 1 2 , a 2 b2

2 2 2

7. ?ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边且 ac ? c ? b ? a ,若 ?ABC 最大边长是 7 且 sin C ? 2sin A ,则 ?ABC 最小边的边长为 .

8. (理)在极坐标系中,曲线 ? ? sin ? ? 2 与 ? sin ? ? 2 的公共点到极点的距离为_________. (文)设等差数列 {an } 的公差为 d ,若 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 的方差为 1 ,则 d = 9. (理)如右图, A 、 B 是直线 l 上的两点,且 AB ? 2 ,两个半径相 等的动圆分别与 l 相切于 A 、 B 两点,C 是这两个圆的公共点,则圆弧
C A B l



AC , 圆弧 CB 与线段 AB 围成图形面积 S 的取值范围是



1

? ?x ,| x |? 1 ?cos (文)已知函数 f ( x) ? ? ,则关于 x 的方程 f 2 ( x) ? 3 f ( x) ? 2 ? 0 的实根的个数 2 2 ? ? x ? 1,| x |? 1
是 个.

10. (理)设函数 f ( x) ? x2 ?1 ,对任意 x ? ? ,?? ? , f ? 则实数 m 的取值范围是 (文)设函数 f ( x) ? x ? 范围是 . .

?3 ?2

? ?

?x? 2 ? ? 4m f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立, m ? ?

1 ,对任意 x ? [1, ??) , f (mx) ? mf ( x) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值 x

二、选择题(15 分)本大题共有 3 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题 纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 11. (理)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,则命题 P : | a ? b |? 1 是命题 Q : ? ? [

?

?

? ?

? 5?
2 , 6

) 的(

)

A .充分非必要条件

B .必要非充分条件 D .非充分且非必要条件
)

C .充分且必要条件

(文)若一个长方体共顶点的三个面的对角线长分别是 a, b, c ,则长方体的对角线长是(

A . a2 ? b2 ? c2 B .

3(2b ? bc ? ac) a 2 ? b2 ? c 2 C . ab ? bc ? ac D . 2 2

12. (理)已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面 ABC , AB ? BC , SA ? AB ? 1

BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于(
A . 4? B . 3?



C . 2?

D .?

(文)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,则命题 P : | a ? b |? 1 是命题 Q : ? ? [

?

?

? ?

? 5?
2 , 6

) 的(

)

A .充分非必要条件

B .必要非充分条件
D .非充分且非必要条件

C .充分且必要条件

13.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,对任意正整数 n , an?1 ? 3Sn ,则下列关于 {an } 的论断中正确的是 ( )

A .一定是等差数列

B .一定是等比数列
D .可能是等比数列,但不会是等差数列

C .可能是等差数列,但不会是等比数列

三、解答题(本题满分 75 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号) 内写出必要的步骤.

2

14. (理) (本题满分 12 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 7 分)

AB ? 2 , AD ? 1 , AA1 ? 1 ,点 E 在棱 AB 上移动. 在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
(1)探求 AE 多长时,直线 D1E 与平面 AA1D1D 成 45 角; (2)点 E 移动为棱 AB 中点时,求点 E 到平面 A1DC1 的距离.
?

D1 A1 B1 D A E. B

C
1

C

14. (文) (本题满分 12 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 7 分) 如图几何体是由一个棱长为 2 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 与一个侧棱长为 2 的正四棱锥 P ? A 1B 1C1D 1组 合而成. (1)求该几何体的主视图的面积; (2)若点 E 是棱 BC 的中点,求异面直线 AE 与 PA1 所成角的大小 (结果用反三角函数表示). D A B D1 A1 B1 C C1 P

.E

15. (本题满分 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 某公司生产的某批产品的销售量 P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满足 P ?

x?2 ( 其中 4

0 ? x ? a , a 为正常数).已知生产该批产品还需投入成本 6( P ?
格定为 ( 4 ?

1 ) 万元(不含促销费用),产品的销售价 P

20 ) 元/件. P

(1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (2)当促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大?

3

16. (本题满分 15 分,第(1)小题 7 分,第(2)小题 8 分)

? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? )的周期为 ? ,图象的一个对称中心为 ? 已知函数 f ( x) ? sin(

?π ? , 0 ? . 将函数 ?4 ?

f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移
后得到函数 g ( x) 的图象. (1)求函数 f ( x ) 与 g ( x) 的解析式; (2) (理)求证:存在 x0 ? (

? 个单位长度 2

? ?

, ) ,使得 f ( x0 ) , g ( x0 ) , f ( x0 ) ? g ( x0 ) 能按照某种顺序 成等差数列. .... 6 4

(文) 定义: 当函数取得最值时, 函数图像上对应的点称为函数的最值点, 如果函数 y ? F ( x ) ?

3 sin

?x
k

的图像上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆 x2 ? y 2 ? k 2 ( k ? 0) 的内部或圆周上,求 k 的取值范 围.

4

17. (本题满分 16 分,第(1)小题 8 分,第(2)小题 8 分) 若动点 M 到定点 A(0,1) 与定直线 l : y ? 3 的距离之和为 4 . (1)求点 M 的轨迹方程,并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图; (2) (理)记(1)得到的轨迹为曲线 C ,问曲线 C 上关于点 B(0, t )(t ? R) 对称的不同点有几对?请说明 理由. (文)记(1)得到的轨迹为曲线 C ,若曲线 C 上恰有三对不同的点关于点 B(0, t )(t ? R) 对称,求 t 的取 值范围.

5

18. (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知数列 {an } , Sn 为其前 n 项的和,满足 S n ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 设数列 {

n(n ? 1) . 2

1 数列 {Tn } 的前 n 项和为 Rn , 求证: 当 n ? 2, n ? N * 时 Rn?1 ? n(Tn ?1) ; } 的前 n 项和为 Tn , an
m n 1 ) ? ( m ), 其 中 m ? 1, 2,?, n , 求 满 足 n?3 2

(3) ( 理 ) 已 知 当 n ? N * , 且 n ? 6 时 有 ( 1?

3n ? 4n ??? n ( ? 2n ) ? an(?
(文)若函数 f ( x) ?

an

的所有 3 ) n 的值.

1 的定义域为 R ,并且 lim f (an ) ? 0(n ? N *) ,求证 p ? q ? 1. n ?? ( p ? 1) ? 3qx ? 1

6

高三数学(理文合卷)期中练习卷参考答案
一、 1、 12 6、 3 填空题 2、 a ? 3 7、 1 3、 2 4、 (理) 2 ; (文) ?1 5、 (理) 5000 ; (文)2

8、 (理) 1 ? 3 ; (文) ?

1 2

9、 (理) (0, 2 ?

?
2

]; (文)5

10、 (理) m ? ? 二、 11、 B

3 3 或m ? ; (文) m ? ?1 2 2
12、 (理) A ; (文) B 13、 C

三、14、 (理) (本题满分 12 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 7 分)

E 在棱 AB 上移动, 解: (1)法一:长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,因为点
所以 EA ? 平面 AA1D1D ,从而 ?ED1 A 为直线 D1E 与平面 AA1D1D 所成的平面角,

Rt ?ED1 A 中, ?ED1 A ? 45? ? AE ? AD1 ? 2 . ……………………………5 分
法二:以 D 为坐标原点,射线 DA, DC, DD1 依次为 x, y, z 轴轴,建立空间直角坐标系,则点 D1 (0,0,1) ,

???? ? ???? ???? ? ???? D1 E ? DC ? 平面 AA1D1D 的法向量为 DC ? (0, 2,0) ,设 E (1, y , 0) ,得 D1E ? (1, y, ?1) ,由 ???? ? ???? ? sin ,得 4 D1 E DC

y ? 2 ,故 AE ? 2
( 2 )以 D 为坐标原点,射线 DA, DC, DD1 依次为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,则点 E (1,1, 0) ,

A1 (1,0,1) , C1 (0, 2,1) , ???? ? ???? ? ??? ? 从而 DA …………3 分 1 ? (1,0,1) , DC1 ? (0, 2,1) , DE ? (1,1,0) ? ???? ? ? ? ? x?z ?0 ? n ? DA1 ? 0 设平面 DAC ?? ? 1 1 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,由 ? ? ???? ? ?n ? DC1 ? 0 ?2 y ? z ? 0 ? ???? n ? DE ? 1 ? 1 . …………4 分 令 n ? ( ?1, ? ,1) ,所以点 E 到平面 A1DC1 的距离为 d ? ? 2 n
14、 (文) (本题满分 12 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 7 分) 解: (1)画出其主视图(如下图) , 可知其面积 S 为三角形与正方形面积之和. 在正四棱锥 P ? A 1B 1C1D 1 中,棱锥的高 h ?

2,

S?

1 ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 4 . ……………………………5 分 2

(2)取 B1C1 中点 E1 ,联结 A1E1 ,? A1E1 ? AE

AE 与 PA1 所成角. 在 ?PA 则 ?PA 1E1 为异面直线 1E1 中, A 1E1 ? 5, PA 1 ? 2,
又在正四棱锥 P ? A 1B 1C1D 1 中,斜高为 PE1 ? 3 ,
7

由余弦定理可得

cos ?PA1 E1 ?

4?5?3 3 ? 5 2 ? 2 ? 5 10

……………………6 分

所以 ?PA1 E1 ? arccos

3 3 5 ,异面直线 AE 与 PA1 所成的角为 arccos 5 .………1 分 10 10
20 1 ) p ? x ? 6( p ? ) p p

15、 (本题满分 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 解: (1)由题意知, y ? (4 ? 将P ?

x?2 24 3 ? x ( 0 ? x ? a ). ……………6 分 代入化简得: y ? 19 ? 4 x?2 2

(2) y ? 22 ?

3 16 16 ( ? x ? 2) ? 22 ? 3 ? ( x ? 2) ? 10 , 2 x?2 x?2
16 ? x ? 2 ,即 x ? 2 时,取等号。 x?2
………………………4 分

上式当且仅当

? 当 a ? 2 时, 促销费用投入 2 万元时,厂家的利润最大;
当 a ? 2 时,易证 y 在 x ? ? 0, a ? 上单调递增, 所以 x ? a 时,函数有最大值。 综上:当 a ? 2 时, 促销费用投入 2 万元,厂家的利润最大; 当 0 ? a ? 2 时促销费用投入 a 万元,厂家的利润最大………………………4 分 16、 (本题满分 15 分,第(1)小题 7 分,第(2)小题 8 分) 解:(1)、由函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的周期为 ? , ? ? 0 ,得 ? ? 又曲线 y ? f ( x) 的一个对称中心为 ? 故f?

2? ?2, T

?π ? , 0 ? , ? ? (0, ? ) , ?4 ?

π ?π? ? π ? ? ? sin ? 2 ? ? ? ? ? 0 ,得 ? ? 2 ,所以 f ( x) ? cos 2 x …………4 分 4 ?4? ? ?

将函数 f ( x ) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后可得 y ? cos x 的图象,再将

y ? cos x 的图象向右平移
(2)、 (理)当 x ? ?

π π? ? 个单位长度后得到函数 g (x)=cos ? x ? ? 的图象, 所以 g ( x) ? sin x ……3 分 2 2? ?

1 1 2 ?π π? , 0 ? cos 2 x ? ,所以 sin x ? cos 2 x ? sin x ? cos 2 x 3 分 , ? 时, ? sin x ? 2 2 2 ?6 4?

问题转化为方程 2 cos 2 x ? sin x ? sin x ? cos 2 x 在 ? 设 G( x) ? sin x ? sin x ? cos 2 x ? 2cos 2 x , x ? ?

?π π? , ? 内是否有解. ?6 4?

?π π? , ? ?6 4?

? 1 ? 2 ? 0, ? G ( ) ? ? ? 0 , G( ) ? 6 4 4 2

且函数 G ( x) 的图象连续不断,故可知函数 G ( x) 在 ?

?π π? , ? 内存在零点 x0 ………5 分 ?6 4?
8

(文)函数 y ? F ( x) 当

?x
k

? n? ?

?
2

(n ? Z ) 时取得最大值或最小值,当 x ? nk ? k 2

k ,即与原点距离 2

最近的的最大值和最小值点分别是点 ( , 3) 和 (? 取值范围是 k ? 2

k k , ? 3) ,于是有 ( ) 2 ? ( 3) 2 ? k 2 ,所以 k 的 2 2

……………………………8 分

17、 (本题满分 16 分,第(1)小题 8 分,第(2)小题 8 分)
2 2 解: (1) 、设 M ( x, y ) ,由题意 x ? ( y ? 1) ? | y ? 3 |? 4 ……………………………4 分 2 2 ① :当 y ? 3 时,有 x ? ( y ? 1) ? y ? 1 ,化简得: x2 ? 4 y 2 2 ② :当 y ? 3 时,有 x ? ( y ? 1) ? 7 ? y ,化简

得: x ? ?12( y ? 4) (二次函数)
2

综上所述:点 M 的轨迹方程为

4 y, y ? 3 ? (如图) …………………………4 分 x2 ? ? ??12( y ? 4), y ? 3
(2) 、 (理)当 t ? 0 或 t ? 4 显然不存在符合题意的对称点
当 0 ? t ? 4 时,注意到曲线 C 关于 y 轴对称,至少存在一对(关于 y 轴对称的)对称点 下面研究曲线 C 上关于 B(0, t ) 对称但不关于 y 轴对称的对称点
2 设 P( x0 , y0 ) 是轨迹 x2 ? 4 y ( y ? 3) 上任意一点, 则 x0 ? 4 y0 ( y0 ? 3) ,它关于

B(0, t ) 的对称点为 Q(? x0 , 2t ? y0 ) ,由于点 Q 在轨迹 x2 ? ?12( y ? 4) 上,所
以 (? x0 )2 ? ?12(2t ? y0 ? 4) , 联 立 方 程 组 ?

?

2 x0 ? 4 y0

2 ? x0 ? ?12(2t ? y0 ? 4)

(*)得

4 y0 ? ?12(2t ? y0 ? 4) ,化简得 t ?

y0 ? 6 (0 ? y0 ? 3) 3

① 当 y0 ? (0,3) 时, t ? (2,3) ,此时方程组(*)有两解,即增加有两组对称点。 ② 当 y0 ? 0 时, t ? 2 ,此时方程组(*)只有一组解,即增加一组对称点。 (注: 对称点为 P(0, 0) , Q (0, 4) ) ③ 当 y0 ? 3 时, t ? 3 ,此时方程组(*)有两解为 P(2 3,3), Q(?2 3,3) ,没有 增加新的对称点。

?t ? 0, t ? 4, 不存在 ? t ? (0, 2),?1对 ? ? 综上所述: ? t ? 2, ?? 2对 …………………………8 分 ? t? (2,3), ? 3对 ? ?1对 ? ? t ?[3, 4),

9

(文) 若 ( x0 , y0 ) ? C ,则 (? x0 , y0 ) ? C ,所以曲线 C 关于 y 轴对称, (2) 、 所以一对存在关于 y 轴对称的对称点 下面研究曲线 C 上关于 B(0, t ) 对称但不关于 y 轴对称的对称点
2 设 P( x0 , y0 ) 是轨迹 x2 ? 4 y ( y ? 3) 上任意一点, 则 x0 它 ? 4 y0 ( y0 ? 3) ,

关 于 B( 0t , 的 ) 对 称 点 为 Q(? x0 , 2t ? y0 ) , 由 于 点 Q 在 轨 迹

x2 ? ?1 2 y (?
2

上, 4)

2 ? x0 ? 4 y0 所以 (? x0 ) ? ?12(2t ? y0 ? 4) ,联立方程组 ? 2 (*)得 4 y0 ? ?12(2t ? y0 ? 4) , ? x0 ? ?12(2t ? y0 ? 4)

化简得 t ?

y0 ? 6 (0 ? y0 ? 3) 3

当 y0 ? (0,3) 时, t ? (2,3) ,此时方程组(*)有两解,即增加有两组对称点。 所以 t 的取值范围是 2 ? t ? 3 ……………………………8 分

18、 (本题满分 18 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 解: (1)当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 又? a1 ? S1 ? 1 ,所以 an ? n (2)、<法一> ?

n(n ? 1) (n ? 1)n ? ?n 2 2
……………………………5 分

1 1 1 1 ? ,?Tn ? 1 ? ? ? ? , 2 n an n

1 1 1 1 1 ? Rn ?1 ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ? ? ) 2 2 3 2 n ?1

1 1 1 ? (n ? 1) ?1 ? (n ? 2) ? ? (n ? 3) ? ? ? ? 1? 2 3 n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? n(1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ) ? n(1 ? ? ? ? ? ? ? 1) ? n(Tn ? 1)( n ? 2) …6 分 2 3 n ?1 n 2 3 n ?1 n
<法二>:数学归纳法 ① n ? 2 时, R1 ? T1 ?

1 1 1 ? 1 , 2(T2 ? 1) ? 2( ? ? 1) ? 1 ………………………1 分 a1 a2 a1
………………………1 分

②假设 n ? k (k ? 2, k ? N *) 时有 Rk ?1 ? k (Tk ?1)

当 n ? k ? 1 时, Rk ? Rk ?1 ? Tk ? k (Tk ? 1) ? Tk ? (k ? 1)Tk ? k ? (k ? 1)(Tk ?1 ?

1 )?k ak ?1

? (k ? 1)(Tk ?1 ? 1 ? 1 ?

1 ) ? k ? (k ? 1)(Tk ?1 ? 1) ? n ? k ? 1 是原式成立 k ?1
………………………4 分

由①②可知当 n ? 2, n ? N * 时 Rn?1 ? n(Tn ?1) ;

10

( 3) 、 (理)? (1 ?

m n 1 ) ? ( ) m , m ? 1, 2,?, n n?3 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? 相加得, ? ? ? 4 n 1 n ?1 ? m ? n ? 1时,( ) ?( ) ? n?3 2 ? 3 n 1 m ? n时,( ) ? ( )n ? ? n?3 2 ? m ? 1时,(

n?2 n 1 ) ? n?3 2 n ?1 n 1 2 m ? 2时,( ) ?( ) n?3 2 n n 1 3 m ? 3时,( ) ?( ) n?3 2 ?

(

n?2 n n ?1 n 4 n 3 n 1 1 2 1 3 1 1 ) ?( ) ??? ( ) ?( ) ? ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) n ?1 ? ( ) n n?3 n?3 n?3 n?3 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 ? ? ( ) 2 ? ( )3 ? ? ? ( ) n ?1 ? ( ) n ? 1 ? ( ) n ? 1, 2 2 2 2 2 2

?3n ? 4n ? ? ? (n ? 2)n ? (n ? 3)n
? n ? 6 时,?3n ? 4n ? ? ? (n ? 2)n ? (n ? 3)n 无解

………………………4 分

又当 n ? 1 时; 3 ? 4 , n ? 2 时, 3 ? 4 ? 5 ; n ? 3 时, 3 ? 4 ? 5 ? 6
2 2 2 3 3 3

3

n ? 4 时, 34 ? 44 ? 54 ? 64 为偶数,而 74 为奇数,不符合

n ? 5 时, 35 ? 45 ? 55 ? 65 ? 75 为奇数,而 85 为偶数,不符合
综上所述 n ? 2 或者 n ? 3 (3)、易知 q ? 0 ,否则若 q ? 0 ,则 f ( x) ? ……………………………4 分

1 ,与 lim f ( an ) ? 0( n ? N *) 矛盾 n ?? p
qx

qx 因为函数 f ( x ) 的定义域为 R , 所以 ( p ?1) ? 3 ? 1 恒不为零, 而 3 的值域为 (0, ??) , 所以 p ? 1 ? 0 ,

又 p ? 1 时, f ( x) ? 1 ,与 lim f (an ) ? 0(n ? N *) 矛盾,故 p ? 1
n ??

? f (an ) ?

1 1 q ? 且 lim f ( an ) ? 0 ?3 ? 1 ,? q ? 0 qn q n n ?? ( p ? 1) ? 3 ? 1 ( p ? 1)(3 ) ? 1
……………………………8 分

即有 p ? q ? 1。

11


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