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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 大题规范练2 三角函数、解三角形 文 北师大版


高考大题规范练(二)

三角函数、解三角形

π 1.(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ω x+φ )ω >0,|φ |< 在 2 某一个周期内的图像时,列表并填入了部分数据,如下表: ω x+φ 0 π 2 π 3 0 5 π 3π 2 5π 6 -5 0 2π

x Asi

n(ω x+φ )

(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; π (2)将 y=f(x)图像上所有点向左平行移动 个单位长度, 得到 y=g(x)图像, 求 y=g(x) 6 的图像离原点 O 最近的对称中心。 解 π (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω =2,φ =- 。 6

数据补全如下表: ω x+φ 0 π 12 0 π 2 π 3 5 π 7π 12 0 3π 2 5π 6 -5 2π 13π 12 0

x Asin(ω x+φ )

π? ? 且函数表达式为 f(x)=5sin?2x- ?。 6? ? π? ? (2)由(1)知 f(x)=5sin?2x- ?, 6? ? π ? ? π? π? 因此 g(x)=5sin?2?x+ ?- ?=5sin2x+ 。 6? 6? 6 ? ? 因为 y=sin x 的对称中心为(kπ ,0),k∈Z, π kπ π 令 2x+ =kπ ,解得 x= - ,k∈Z, 6 2 12 即 y=g(x)图像的对称中心为?

?kπ -π ,0?,k∈Z,其中离原点 O 最近的对称中心为 ? ? 2 12 ?

?-π ,0?。 ? 12 ? ? ? ?π ? 2. (2015·浙江卷)在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c。 已知 tan? +A? ?4 ?
=2。
1

sin 2A (1)求 2 的值; sin 2A+cos A π (2)若 B= ,a=3,求△ABC 的面积。 4 解 1 ?π ? (1)由 tan? +A?=2,得 tan A= , 3 ?4 ?

sin 2A 2tan A 2 所以 = 。 2 = sin 2A+cos A 2tan A+1 5 1 10 3 10 (2)由 tan A= ,A∈(0,π ),得 sin A= ,cos A= 。 3 10 10 π a b 又由 a=3,B= 及正弦定理 = , 4 sin A sin B 得 b=3 5。 2 5 ? π? 由 sin C=sin(A+B)=sin?A+ ?得 sin C= 。 4? 5 ? 1 设△ABC 的面积为 S,则 S= absin C=9。 2 3.(2015·潍坊 3 月模拟)已知函数 f(x)=sin2ω x- π 与 x 轴相邻两个交点的距离为 。 2 (1)求函数 f(x)的解析式; (2) 若将 f(x) 的图像向左平移 m(m>0) 个长度单位得到函数 g(x) 的图像恰好经过点 π 2 -4sin ω x+2(ω >0),其图像 6

?-π ,0?,求当 m 取得最小值时,g(x)在?-π ,7π ?上的单调递增区间。 ? 3 ? ? 6 12 ? ? ? ? ?
解 π? 3 1 ? 2 (1) 函 数 f(x) = sin ?2ω x- ? - 4sin ω x + 2 = sin 2ω x - cos 2ω x - 6? 2 2 ?

π? 1-cos 2ω x 3 3 ? 4× +2= sin 2ω x+ cos 2ω x= 3sin?2ω x+ ?(ω >0), 3? 2 2 2 ? π 根据函数 f(x)的图像与 x 轴相邻两个交点的距离为 ,可得函数 f(x)的最小正周期为 2 π 2π 2× = ,得 ω =1。 2 2ω π? ? 故函数 f(x)= 3sin?2x+ ?。 3? ? π? ? (2)将 f(x)的图像向左平移 m(m>0)个长度单位得到函数 g(x)= 3sin?2?x+m?+ ? 3? ? π ? π ? = 3sin2x+2m+ 的图像,根据 g(x)的图像恰好经过点?- ,0?, 3 ? 3 ?
2

π? ? 2π 可得 3sin?- +2m+ ?=0, 3? ? 3 π? ? 即 sin?2m- ?=0, 3? ? π kπ π 所以 2m- =kπ (k∈Z),m= + (k∈Z), 3 2 6 π 因为 m>0,所以当 k=0 时,m 取得最小值,且最小值为 。 6 2π ? ? 此时,g(x)= 3sin?2x+ ?。 3 ? ? π 2π π 7π π 令 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ - ≤x≤kπ - ,k∈Z,故函数 2 3 2 12 12

g(x)的单调递增区间为 kπ -

7π π ,kπ - ,k∈Z。 12 12

π? ? π 7π ? ? π 7π ? ? π 结合 x∈?- , ?,可得 g(x)在?- , ? 上的单调递增区间为?- ,- ?和 12? ? 6 12 ? ? 6 12 ? ? 6

?5π ,7π ?。 ? 12 12 ? ? ?
4.(2015·广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m=? 2? ? 2 ,- ?,n=(sin x, 2 ? ?2

? π? cos x),x∈?0, ?。 2? ?
(1)若 m⊥n,求 tan x 的值; π (2)若 m 与 n 的夹角为 ,求 x 的值。 3 解 (1)∵m=? 2? ? 2 ,- ?,n=(sin x,cos x),且 m⊥n, 2 ? ?2

∴m·n=? =

2? ? 2 ,- ?·(sin x,cos x) 2? ?2

2 2 ? π? sin x- cos x=sin?x- ?=0。 4? 2 2 ?

π ? π π? ? π? 又 x∈?0, ?,∴x- ∈?- , ?。 2? 4 ? 4 4? ? π π π ∴x- =0,即 x= 。∴tan x=tan =1。 4 4 4 (2)由(1)和已知得 cos π m·n = 3 |m|·|n|

3



? π? sin?x- ? 4? ?
2?2 ? 2?2 ? 2 2 ? ? +?- ? · sin x+cos x ?2? ? 2?

? π? 1 =sin?x- ?= , 4? 2 ?
π ? π π? π π 5π 又 x- ∈?- , ?,∴x- = ,即 x= 。 4 4 4 ? 4 6 12 ? 5.(2015·杭州一检)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c。已知 cos 2A 3 + =2cos A。 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,求△ABC 的周长 l 的取值范围。 解 (1)根据二倍角公式:cos 2x=2cos x-1,得
2

1 2 2 2cos A+ =2cos A,即 4cos A-4cos A+1=0, 2 1 2 所以(2cos A-1) =0,所以 cos A= 。 2 π 因为 0<A<π ,所以 A= 。 3 (2)根据正弦定理: = = ,得 sin A sin B sin C

a

b

c

b=

2 3

sin B,c=

2

sin C, 3 2 3 (sin B+sin C)。

所以 l=1+b+c=1+

π 2π 因为 A= ,所以 B+C= , 3 3 所以 l=1+ 2? π ? 2π ?? ?sin B+sin? 3 -B??=1+2sinB+ 6 。 ? ?? 3?

2π 因为 0<B< ,所以 l∈(2,3]。 3 π 2 6.(2015·山东卷)设 f(x)=sin xcos x-cos x+ 。 4 (1)求 f(x)的单调区间; (2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c。若 f? ?=0,a=1,求△ABC ?2? 面积的最大值。

?A?

4

π? ? 1+cos?2x+ ? 2? sin 2x ? 解 (1)由题意知 f(x)= - 2 2 = sin 2x 1-sin 2x 1 - =sin 2x- 。 2 2 2

π π π π 由- +2kπ ≤2x≤ +2kπ ,k∈Z,可得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z; 2 2 4 4 由 π 3π π 3π +2kπ ≤2x≤ +2kπ ,k∈Z,可得 +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z。所以 f(x)的 2 2 4 4

单调递增区间是 - 3π π π ?π ? +kπ , +kπ (k∈Z);单调递减区间是? +kπ , +kπ ?(k∈Z)。 4 4 4 4 ? ?

1 1 ?A? (2)由 f? ?=sin A- =0,得 sin A= , 2 2 2 ? ? 由题意知 A 为锐角,所以 cos A=
2 2 2

3 。 2

由余弦定理 a =b +c -2bccos A, 可得 1+ 3bc=b +c ≥2bc, 即 bc≤2+ 3,且当 b=c 时取等号。 1 2+ 3 因此 bcsin A≤ , 2 4 所以△ABC 面积的最大值为 2+ 3 。 4
2 2

5


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