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【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学 第一章 三角函数测试 新人教A版必修4


第一章三角函数测试
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.下列说法中,正确的是( A.第二象限的角是钝角 B.第三象限的角必大于第二象限的角 C.-831°是第二象限角 D.-95°20′,984°40′,264°40′是终边相同的角 解析 A、B 均错,-831°=-720°-111°是第三象限的角,C 错,∴选 D. 答案 D 2.若点(a,9)在函数 y=3 的图象上,则 tan A.0 C.1 解析 由题意,得 3 =9,得 a=2,∴tan 答案 D θ 3.若|cosθ |=cosθ ,|tanθ |=-tanθ ,则 的终边在( 2 A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、三象限或 x 轴上 D.第二、四象限或 x 轴上 θ 解析 由题意知,cosθ ≥0,tanθ ≤0,所以 θ 在 x 轴上或在第四象限,故 在第二、 2 四象限或在 x 轴上. 答案 D 4. 如果函数 f(x)=sin(π x+θ )(0<θ <2π )的最小正周期是 T, 且当 x=2 时取得最大 值,那么( ) B.T=1,θ =π π D.T=1,θ = 2 )
a x

)


6

的值为( 3 3

)

B.

D. 3


6

2π π =tan =tan = 3. 6 3

π A.T=2,θ = 2 C.T=2,θ =π

1

2π π π 解析 由题意知 T= =2,又当 x=2 时,有 2π +θ =2kπ + (k∈Z),∴θ = . π 2 2 答案 A 3 ?π ? 5.若 sin? -x?=- ,且 π <x<2π ,则 x 等于( 2 ?2 ? 4 A. π 3 5 C. π 3 3 ?π ? 解析 sin? -x?=cosx=- , 2 ?2 ? 7π 又 x∈(π ,2π ),∴x= . 6 答案 B 6.已知 a 是实数,而函数 f(x)=1+asinax 的图象不可能是( ) 7 B. π 6 D. 11 π 6 )

2π 解析 三角函数的周期为 T= ,当振幅大于 1 时, |a| ∵|a|>1,∴T<2π .∵D 的振幅大于 1,但周期反而大于 2π ,∴D 不符合要求. 答案 D

? π? 7.将函数 y=sinx 的图象向左平移 φ (0≤φ <2π )个单位长度后,得到 y=sin?x- ? 6? ?
的图象,则 φ =( A. C. π 6 7π 6 ) B. D. 5π 6 11π 6

11π ? 11π ? 解析 当 φ = 时,则 y=sin?x+ 6 ? 6 ? ?
2

π? ? ? π? =sin?x+2π - ?=sin?x- ?. 6? 6? ? ? 答案 D 2sinθ -cosθ 8.若 tanθ =2,则 的值为( sinθ +2cosθ A.0 C. 3 4 ) B.1 D. 5 4

2sinθ -cosθ 2tanθ -1 2?2-1 3 解析 ∵tanθ =2,∴ = = = . sinθ +2cosθ tanθ +2 2+2 4 答案 C tanx 9.函数 f(x)= 的奇偶性是( 1+cosx A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 π ? ?x≠kπ + , 2 解析 要使 f(x)有意义,必须使? ? ?1+cosx≠0, )



x≠kπ + ,且 x≠(2k+1)π (k∈Z),
∴函数 f(x)的定义域关于原点对称. tan?-x? tanx 又∵f(-x)= =- =-f(x), 1+cos?-x? 1+cosx tanx ∴f(x)= 是奇函数. 1+cosx 答案 A 10.函数 f(x)= x-cosx 在(0,+∞)内( A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点 解析 在同一坐标系里分别作出 y= x和 y=cosx 的图象易知, f(x)=0 有且仅有一个 零点. 答案 B )

π 2

3

1 11.已知 A 为锐角,lg(1+cosA)=m,lg =n,则 lgsinA 的值是( 1-cosA 1 A.m+

)

n

B.m-n 1 D. (m-n) 2

1? 1? C. ?m+ ? n? 2? 1 解析 ∵m-n=lg(1+cosA)-lg 1-cosA =lg(1+cosA)+lg(1-cosA)

=lg(1+cosA)(1-cosA)=lgsin A=2lgsinA, 1 ∴lgsinA= (m-n),故选 D. 2 答案 D π? ? 12.函数 f(x)=3sin?2x- ?的图象为 C, 3? ? 11 ①图象 C 关于直线 x= π 对称; 12

2

? π 5π ? ②函数 f(x)在区间?- , ?内是增函数; ? 12 12 ?
π ③由 y=3sin2x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C,其中正确命题的个数是 3 ( ) A.0 C.2 11 解析 ①把 x= π 代入 f(x)知, 12 B.1 D.3

? ? ? - ? f? π ?=3sin?2? ?=3sin 2 =-3. 12 3? ?12 ? ?
11 11π π 3π 11 ∴x= π 是函数 f(x)的对称轴,∴①正确. 12 π π π ②由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,得增区间为 2 3 2

?kπ -π ,kπ +5π ?(k∈Z).令 k=0 得增区间?-π ,5π ?,∴②正确. ? ? 12 12 ? 12 12 ? ? ? ? ?
2π ? ? π? ? ③依题意知 y=3sin2?x- ?=3sin?2x- ?, 3? 3 ? ? ? ∴③不正确.应选 C. 答案 C

4

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.将答案填在题中横线上) π? 1 ? ? π ? 13.已知 sin?α + ?= ,α ∈?- ,0?,则 tanα =________. 2? 3 ? ? 2 ? π? 1 2 2 sinα ? ? π ? 解析 sin?α + ?=cosα = ,∵α ∈?- ,0?,∴sinα =- ,∴tanα = 2? 3 3 cosα ? ? 2 ? =-2 2. 答案 -2 2 14 .函数 y = 3cosx(0≤x≤π ) 的图象与直线 y =- 3 及 y 轴围成的图形的面积为 ________.

?π ? 解析 如图,由于 y=3cosx(0≤x≤π )的图象关于点? ,0?对称,所以区域(Ⅰ)与区 ?2 ?
域(Ⅱ)也关于点? 1 ?π ?6=3π . 2

?π ,0?成中心对称图形,故区域(Ⅰ)的面积为矩形 ABCD 的面积的一半,即 ? ?2 ?

答案 3π 15.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0)的图象如图所示,则 ω =________.

T 2π π π 4 解析 由图知, = - = ,∴T= π . 4 3 3 3 3
2π 4 3 又 T= = π ,∴ω = . ω 3 2 答案 3 2

16.给出下列命题:

?2 π ? ①函数 y=cos? x+ ?是奇函数; 2? ?3
②存在实数 x,使 sinx+cosx=2; ③若 α ,β 是第一象限角且 α <β ,则 tanα <tanβ ;

5

5π ? π ? ④x= 是函数 y=sin?2x+ ?的一条对称轴; 4 ? 8 ? π? ? ?π ? ⑤函数 y=sin?2x+ ?的图象关于点? ,0?成中心对称. 3 ? ? ?12 ? 其中正确命题的序号为__________. 2 ?2 π ? 解析 ①y=cos? x+ ?=-sin x 是奇函数. 3 2 3 ? ? ②因为 sinx,cosx 不能同时取最大值 1,所以不存在实数 x 使 sinx+cosx=2 成立. π? π 13π π 3 ? ③α = , β = , 则 tanα = 3, tanβ =tan?2π + ?=tan = , tanα >tanβ , 6? 3 6 6 3 ? ∴③不成立. 5π ? π ? ④把 x= 代入函数 y=sin?2x+ ?,得 y=-1. 4 ? 8 ? π ∴x= 是函数图象的一条对称轴. 8 π? ? ?π ? ⑤因为 y=sin?2x+ ?图象的对称中心在图象上,而? ,0?不在图象上,所以⑤不成 3 12 ? ? ? ? 立. 答案 ①④ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 . (10 分 ) 已 知 方 程 sin(α - 3π ) = 2cos(α - 4π ) , 求

sin?π -α ?+5cos?2π -α ? 的值. 3π ? ? - α 2sin? ?-sin?-α ? ? 2 ? 解 ∵sin(α -3π )=2cos(α -4π ),

∴-sin(3π -α )=2cos(4π -α ). ∴-sin(π -α )=2cos(-α ). ∴sinα =-2cosα . 可知 cosα ≠0. sinα +5cosα ∴原式= -2cosα +sinα = -2cosα +5cosα 3cosα 3 = =- . -2cosα -2cosα -4cosα 4 2 ,求 tanA 的值. 2

18.(12 分)在△ABC 中,sinA+cosA= 解 ∵sinA+cosA= 2 ,① 2

6

1 两边平方,得 2sinAcosA=- , 2 从而知 cosA<0,∴∠A∈? ∴sinA-cosA= =

?π ,π ?. ? ?2 ?
2

?sinA+cosA? -4sinAcosA

1 6 +1= .② 2 2 6+ 2 - 6+ 2 ,cosA= , 4 4

由①②,得 sinA=

sinA ∴tanA= =-2- 3. cosA π? 3 ? 19.(12 分)已知 f(x)=sin?2x+ ?+ ,x∈R. 6? 2 ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调减区间; (3)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样变换得到? 解 2π (1)T= =π . 2

π π 3π (2)由 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 6 2 π 2π 得 kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z. 6 3 所以所求的单调减区间为

?kπ +π ,kπ +2π ?(k∈Z). ? ? 6 3 ? ?
π 3 (3)把 y=sin2x 的图象上所有点向左平移 个单位, 再向上平移 个单位, 即得函数 f(x) 12 2 π? 3 ? =sin?2x+ ?+ 的图象. 6? 2 ? 20.(12 分)已知函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象过点 P?

?π ,0?,图象与 P ? ?12 ?

?π ? 点最近的一个最高点坐标为? ,5?. ?3 ?
(1)求函数解析式; (2)求函数的最大值,并写出相应的 x 的值; (3)求使 y≤0 时,x 的取值范围. 解

T π π π (1)由题意知 = - = ,∴T=π . 4 3 12 4
7

2π π π ∴ω = =2,由 ω ? +φ =0,得 φ =- ,又 A=5, T 12 6 π? ? ∴y=5sin?2x- ?. 6? ? π π (2)函数的最大值为 5,此时 2x- =2kπ + (k∈Z). 6 2 π ∴x=kπ + (k∈Z). 3 π? ? (3)∵5sin?2x- ?≤0, 6? ? π ∴2kπ -π ≤2x- ≤2kπ (k∈Z). 6 5π π ∴kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z). 12 12 21.(12 分)已知 cos?

?π -α ?2

?= 2cos?3π +β ? ?2 ? ?

?, 3sin?3π -α ? ? ? 2 ? ? ? ?

?π ? =- 2sin? +β ?,且 0<α <π ,0<β <π ,求 α ,β 的值. ?2 ?


?π ? ?3 ? cos? -α ?= 2cos? π +β ?,即 sinα = 2sinβ ① 2 ? ? ?2 ?

?3 ? ?π ? 3sin? π -α ?=- 2sin? +β ?,即 3cosα = 2cosβ ② ?2 ? ?2 ?
① +② 得 2=sin α +3cos α . 又 sin α +cos α =1, 1 2 2 ∴cos α = .∴cosα =± . 2 2 π 3 又∵α ∈(0,π ),∴α = ,或 α = π . 4 4 π 2 3 3 (1)当 α = 时,cosα = ,cosβ = cosα = , 4 2 2 2 π 又 β ∈(0,π ),∴β = . 6 3π 2 (2)当 α = 时,cosα =- , 4 2 cosβ = 3 2 cosα =- 3 , 2
2 2 2 2 2 2

5π 又 β ∈(0,π ),∴β = . 6
8

π π 3π 5π 综上,α = ,β = ,或 α = ,β = . 4 6 4 6

? π π? 2 22.(12 分)已知函数 f(x)=x +2xtanθ -1,x∈[-1, 3],其中 θ ∈?- , ?. ? 2 2?
π (1)当 θ =- 时,求函数的最大值和最小值; 6 (2)求 θ 的取值范围, 使 y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数(在指定区间为增函数 或减函数称为该区间上的单调函数). 解 π (1)当 θ =- 时, 6 2 3 3? 4 ? x-1=?x- ?2- . 3 3? 3 ?

f(x)=x2-

∵x∈[-1, 3], ∴当 x= 3 4 时,f(x)的最小值为- , 3 3

2 3 当 x=-1 时,f(x)的最大值为 . 3 (2)f(x)=(x+tanθ ) -1-tan θ 是关于 x 的二次函数.它的图象的对称轴为 x=- tanθ . ∵y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数, ∴-tanθ ≤-1,或-tanθ ≥ 3,即 tanθ ≥1,或 tanθ ≤- 3.
2 2

? π π? ∵θ ∈?- , ?, ? 2 2?
π ? ?π π ? ? π ∴θ 的取值范围是?- ,- ?∪? , ?. 3? ?4 2? ? 2

9


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