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【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件:8.5 空间中的垂直关系


第 5 讲 空间中的垂直关系

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考 纲 展 示
1.以立体几何的定义、 公理和定理为出 发点, 认识和理解空间中线面垂直的有 关性质与判定定理. 理解以下判定定理: ( 一条直线与一个平面内的两条相交 1) 直线都垂直,那么该直线与此平面垂 直. ( 一个平面过另一个平面的垂线, 2) 则两

个平面垂直. 理解以下性质定理, 并能够证明: ( 两个平面垂直, 1) 则一个平面内垂直于 交线的直线与另一个平面垂直. ( 垂直于同一个平面的两条直线平行. 2) 2.能运用公理、 定理和已获得的结论证 明一些空间位置关系的简单命题.

考 纲 解 读
1.垂直是立体几何的必考 题目, 且几乎每年都有一个 解答题出现, 因此是高考的 热点,也是复习的重点.纵 观历年来的高考题, 立体几 何中没有难度过大的题, 所 以复习要抓好三基: 基础知 识, 基本方法, 基本能力. 2.要重视和研究数学思想、 数学方法.在本讲中“化归” 思 想 尤 为 重 要 ,不 论 何 种 “垂直”都要化归到“线线 垂直”, 观察与分析几何体 中线与线的关系是解题的 突破口.
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1.直线与平面垂直 直线和平面垂直的定义: 如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线 都垂直, 我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直, 记作 l⊥α, 直线 l 叫做平 面 α 的垂线, 平面 α 叫做直线 l 的垂面.

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2.直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言 图形语言 判 定 定 理 推 论 一条直线与平面内的两条相交 直线都垂直,则该直线与此平 面垂直 如果在两条平行直线中,有一 条垂直于平面,那么另一条直 线也垂直于这个平面

符号语言 a,b ? α a?b = O ?l l⊥a l⊥b ⊥α a∥b ? b⊥α a⊥α

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证明直线与平面垂直除了定义和判定定理以外, 还 有以下几种常见的判定方法: (1)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条直 线也垂直于这个平面. (2)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个, 那么也垂直于 另一个平面. (3)如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线 的直线垂直于另一个平面.

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3.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 性 质 定 理 垂直于同一个平面的两条直线 平行 4.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 判 定 定 理 一个平面过另一个平面的一条 垂线, 则这两个平面互相垂直

图形语言

符号语言 a⊥α ?a∥ b⊥α b

图形语言

符号语言 l?β l⊥α ⊥β ?α

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5.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 性 质 定 理 两个平面互相垂直, 则一个平 面内垂直于交线的直线垂直 于另一个平面

图形语言

符号语言 α⊥β l?β α?β = a l⊥a ⊥α ?l

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6.直线与平面所成的角 ( 斜线在平面内的射影的定义 1) 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线, 过垂足和斜足的直线 叫斜线在平面内的射影. ( 斜线和平面所成的角的定义 2) 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直 线和这个平面所成的角. 若直线在平面内或直线和平面平行, 则说直线和平面成 0° 若 角; 直线和平面垂直, 则说直线和平面成 90° 角. 任一直线和平面所成角 θ 的范围是[ , ] 0°90°.

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7.二面角的平面角 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这 条直线叫做二面角的棱; 每个半平面叫做二面角的面.棱为 l, 两个面 分别为 α, 的二面角记为 α-l-β. β 从二面角的棱上一点, 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线, 则两射线所成的角叫做二面角的平面角. 8.线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的转化

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1.若三个平面 α, γ 之间有 α⊥γ, β, β⊥γ, α 与 β( 则 ) A.垂直 B.平行 C.相交 D.以上三种可能都有 【答案】 D 【解析】 垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不确定.

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2.(2013·浙江杭州检测) a, c 是三条不同的直线, β 是两个不同 设 b, α, 的平面, a⊥b 的一个充分条件是( 则 ) A.a⊥c, b⊥c B.α⊥β, α, β a? b? C.a⊥α, b∥α D.a⊥α, b⊥α 【答案】 C 【解析】 对于选项 C, 在平面 α 内存在 c∥b, 因为 a⊥α, 所以 a⊥c, 故 a⊥b; B 选项中, A, 直线 a, 可能是平行直线、相交直线, b 也可能是 异面直线; 选项中一定有 a∥b. D

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3.如果直线 l, 与平面 α, γ 满足: m β, β∩γ=l, l∥α, α 和 m⊥γ, m? 那么必有 ( ) A.α⊥γ 且 l⊥m B.α∥β 且 α⊥γ C.α⊥γ 且 m∥β D.m∥β 且 l∥m 【答案】 A 【解析】 m? α 且 m⊥γ, α⊥γ; 则 m⊥γ 且 l? γ, l⊥m. 则

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4.已知直线 l⊥平面 α, 直线 m? 平面 β, 有下面四个命题: ①α∥β? l⊥m; ②α⊥β? l∥m; ③l∥m? α⊥β; ④l⊥m? α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A.①② B.③④ C.②④ D.①③ 【答案】 D ∥ ∵ ?l ⊥ β ⊥ 【解析】 ? l⊥m, 命题①正确; ∴ 又 ? 如图所示, 可得 l 与 m 不平行, 因此命题②错误; ∥ ∵ ?m ⊥ α ⊥ ? α⊥β, 又 ? ∴ 命题③正确, 命题④不正确.
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5.如图, PA⊥平面 ABC, △ABC 中 BC⊥AC, 则图中直角三角形的个数 为 .

【答案】 4 【解析】 由线面垂直知, 图中直角三角形有 4 个.

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T 题型一线面垂直问题
例 1 如图所示, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=BC=1, 1=2, 是侧棱 BB1 的中点. AA E ( 求证: 1E⊥平面 ADE; 1) A ( 求三棱锥 A1-ADE 的体积. 2)

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【解】 ( 证明: 1) 由勾股定理知: A1E= 1 + 1 = 2, AE= 1 + 1 = 2, 则 A1A2=A1E2+AE2, 故 A1E⊥AE. ∵ AD⊥平面 AA1B1B, 1E? 平面 AA1B1B, A ∴ 1E⊥AD. A 又 AD∩AE=A, A1E⊥平面 ADE. ∴ ( ∵ △1 E = 2 × 2 × 2=1, 2) ∴ 1 -ADE = -1 AE =
1 1 1 ·△1 E ·AD=3×1×1=3. 3 1

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线面垂直的定义, 拓展了线线垂直的范围, 线垂直于面, 线就垂直 于面内所有直线, 这也是线面垂直的必备条件, 利用这个条件可将线 线垂直与线面垂直互相转化. 证明线面垂直的方法有: (1)利用定义, 即证直线垂直于平面内任一直线. (2)利用线面垂直的判定定理, 它是判定线面垂直的最常用思路. (3)利用线面垂直的性质, 即两平行直线之一垂直于平面, 则另一 条直线必垂直于该平面. (4)利用面面垂直的性质定理, 即两平面互相垂直, 在一个面内垂 直于交线的直线垂直于另一平面. (5)用面面平行的性质, 即一直线垂直于两平行平面之一, 则必垂 直于另一平面. (6)用面面垂直的性质, 即两相交平面都垂直于第三个平面, 则它 们的交线垂直于第三个平面.
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1.已知 Rt△ABC 所在平面外有一点 S, SA=SB=SC, 为斜边 且 D AC 的中点. ( 求证: 1) SD⊥平面 ABC; ( 若 AB=BC, 2) 求证: BD⊥平面 SAC.

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【证明】 ( 如图所示, AB 中点 E, 1) 取 连接 SE, 在 Rt△ABC DE, 中, E 分别为 AC, 的中点, DE∥BC, DE⊥AB, D, AB 故 且 ∵ SA=SB, ∴ △SAB 为等腰三角形. 故 SE⊥AB. ∵ SE⊥AB, DE⊥AB, SE∩DE=E, ∴ AB⊥平面 SDE.而 SD? 平面 SDE, AB⊥SD. ∴ 在△SAC 中, SA=SC, 为 AC 的中点, SD⊥AC. ∵ D ∴ ∵ SD⊥AC, SD⊥AB, AC∩AB=A, SD⊥平面 ABC. ∴
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( 若 AB=BC, BD⊥AC, 2) 则 由( 可知, 1) SD⊥平面 ABC, BD? 平面 ABC, 而 因此 SD⊥BD. ∵ SD⊥BD, BD⊥AC, SD∩AC=D, BD⊥平面 SAC. ∴

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T 题型二面面垂直问题
例 2 如图所示, 已知△ABC 是等边三角形, EC⊥平面 ABC, BD⊥平面 ABC, EC, 在平面 ABC 的同侧, 为 EA 的中 且 DB M 点, CE=2BD.求证:

( DE=DA; 1) ( 平面 BDM⊥平面 ECA; 2) ( 平面 DEA⊥平面 ECA. 3)
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证明两个平面垂直有两个基本方法: ( 利用定义证明两个平面所成的二面角是直角. 1) ( 利用面面垂直判定定理证明一个平面经过另一个平面的垂 2) 线.

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【证明】 如图, AC 的中点 N, 取 连接 MN, BN, ∵ EC⊥平面 ABC, BD⊥平面 ABC, EC∥BD. ∴ ∵ 在△ECA 中, N 分别是 EA, 的中点, M, CA ∴ MN∥EC, MN=2EC. 且 又∵ EC=2BD, MN∥BD 且 MN=BD. ∴ 因此四边形 MNBD 是平行四边形. 从而可知 MD∥BN. ∵ EC⊥平面 ABC, BN? 平面 ABC, EC⊥BN. 且 ∴ ∵ 正三角形 ABC 中, 是 AC 的中点, N ∴ BN⊥AC. 又 AC∩EC=C, BN⊥平面 ECA. ∴ 故 MD⊥平面 ECA.
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1

( ∵ 1) MD⊥平面 ECA, EA? 平面 ECA, MD⊥EA. ∴ 又 EM=MA, ∴ Rt△DME≌Rt△DMA.故 DE=DA. ( ∵ 2) MD⊥平面 ECA, MD? 平面 BDM, ∴ 平面 BDM⊥平面 ECA. ( ∵ 3) MD⊥平面 ECA, MD? 平面 DEA, ∴ 平面 DEA⊥平面 ECA.

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(1)判定面面垂直的方法: ①面面垂直的定义. ②面面垂直的判定定理(a⊥β, α? α⊥β). a? (2)在已知平面垂直时, 一般要用性质定理进行转化.在一个平面 内作交线的垂线, 转化为线面垂直, 然后进一步转化为线线垂直.

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2.(2012·江苏卷, 16)如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 1B1=A1C1, E 分别是棱 BC, 1 上的点( D 不同于点 C)且 AD A D, CC 点 , ⊥DE, 为 B1C1 的中点. F

求证:1) ( 平面 ADE⊥平面 BCC1B1; ( 直线 A1F∥平面 ADE. 2)

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【证明】( 因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 1) 所以 CC1⊥平面 ABC. 又 AD? 平面 ABC, 所以 CC1⊥AD. 又因为 AD⊥DE, 1, CC DE? 平面 BCC1B1, 1∩DE=E, CC 所以 AD⊥平面 BCC1B1. 又 AD? 平面 ADE, 所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1. ( 因为 A1B1=A1C1, 为 B1C1 的中点, 2) F 所以 A1F⊥B1C1. 因为 CC1⊥平面 A1B1C1, A1F? 平面 A1B1C1, 且 所以 CC1⊥A1F. 又因为 CC1, 1C1? 平面 BCC1B1, 1∩B1C1=C1, B CC 所以 A1F⊥平面 BCC1B1. 由( 知 AD⊥平面 BCC1B1, 1) 所以 A1F∥AD.又 AD? 平面 ADE, 1F? 平面 ADE, A 所以 A1F∥平面 ADE.

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T 题型三线面角
例 3 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, AD⊥ CD, 平分∠ADC, 为 PC 的中点, DB E AD=CD=1, DB=2 2.

( 证明 PA∥平面 BDE; 1) ( 证明 AC⊥平面 PBD; 2) ( 求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值. 3)

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【解】 ( 证明: AC∩BD=H, 1) 设 连接 EH.在△ADC 中, 因为 AD=CD, DB 平分∠ADC, 且 所以 H 为 AC 的中点.又由题设, 为 PC E 的中点, EH∥PA.又 EH? 平面 BDE 且 PA? 平面 BDE, 故 所以 PA∥ 平面 BDE. ( 证明: 2) 因为 PD⊥平面 ABCD, AC? 平面 ABCD, 所以 PD⊥AC. 由( 可得, 1) DB⊥AC.又 PD∩DB=D, AC⊥平面 PBD. 故

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( 由 AC⊥平面 PBD 可知 BH 为 BC 在平面 PBD 内的射影, 3) 因 此∠CBH 为直线 BC 与平面 PBD 所成的角.
2 3 2 由 AD⊥CD, AD=CD=1, DB=2 2, 可得 DH=CH= 2 , BH= 2 . 1 在 Rt△BHC 中, tan∠CBH= = 3. 1 故直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值为 . 3

求线面角的关键是找准角, 一般结合面面、 线面垂直问题找垂线 是难点.

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3.(2012·天津卷, 17)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是 矩形, AD⊥PD, BC=1, PC=2 3, PD=CD=2.

( 求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; 1) ( 证明平面 PDC⊥平面 ABCD; 2) ( 求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值. 3)

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【解】 ( 如图, 1) 在四棱锥 P-ABCD 中, 因为底面 ABCD 是矩形, 所以 AD=BC 且 AD∥BC.又因为 AD⊥PD, 故∠PAD 为异面直线 PA 与 BC 所成的角.

在 Rt△PDA

中, tan∠PAD==2.

所以, 异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2.

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( 证明: 2) 由于底面 ABCD 是矩形, AD⊥CD, 故 又由于 AD⊥ PD, CD∩PD=D, 因此 AD⊥平面 PDC, AD? 平面 ABCD, 而 所以平面 PDC⊥平面 ABCD. ( 在平面 PDC 内, 3) 过点 P 作 PE⊥CD 交直线 CD 于点 E, 连接 EB. 由于平面 PDC⊥平面 ABCD, 而直线 CD 是平面 PDC 与平面 ABCD 的交线, 故 PE⊥平面 ABCD, 由此得∠PBE 为直线 PB 与平面 ABCD 所 成的角. 在△PDC 中, 由于 PD=CD=2, PC=2 3, 可得∠PCD=30° .

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在 Rt△PEC 中, PE=PCsin 30° 3. = 由 AD∥BC, AD⊥平面 PDC, BC⊥平面 PDC, 得 因此 BC⊥PC. 在 Rt△PCB 中, PB= 2 + B 2 = 13. 在 Rt△PEB
中, sin∠PBE=

=

所以直线 PB 与平面 ABCD

39 所成角的正弦值为 . 13

39 . 13

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T 题型四二面角
例 4 如图, 在三棱锥 P-ABC 中, AB=AC, 为 BC 的中点, D PO ⊥平面 ABC, 垂足 O 落在线段 AD 上.

( 证明: 1) AP⊥BC; ( 已知 BC=8, 2) PO=4, AO=3, OD=2.求二面角 B-AP-C 的大小.

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【解】 ( 证明: AB=AC, 是 BC 中点, AD⊥BC, 1) 由 D 得 又 PO⊥平面 ABC, PO⊥BC, 得 因为 PO∩AD=O, 所以 BC⊥平面 PAD, BC⊥PA. 故

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( 如图, 2) 在平面 PAB 内作 BM⊥PA 于 M, 连接 CM. 因为 BC⊥PA, PA⊥平面 BMC, 得 所以 AP⊥CM. 故∠BMC 为二面角 B-AP-C 的平面角. 在 Rt△ADB 中, 2=AD2+BD2=41, AB= 41. AB 得 在 Rt△POD 中, 2=PO2+OD2, PD 在 Rt△PDB 中, 2=PD2+BD2, PB 所以 PB2=PO2+OD2+BD2=36, PB=6. 得
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在 Rt△POA 中, 2=AO2+OP2=25, PA=5. PA 得
2 +P2 -A2 又 cos∠BPA= 2· 2 2 从而 sin∠BPA= . 3

= 3,

1

故 BM=PBsin∠BPA=4 2. 同理 CM=4 2. 因为 BM2+MC2=BC2, 所以∠BMC=90° . 故二面角 B-AP-C 的大小为 90° .

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二面角的平面角的作法 (1)垂面法: 是指根据平面角的定义, 作垂直于棱的平面, 通过这 个平面和二面角两个面的交线得出平面角; (2)垂线法: 是指在二面角的棱上取一特殊点, 过此点在二面角的 两个半平面内作两条射线垂直于棱, 则此两条射线所成的角即为二 面角的平面角;

(3)三垂线法: 是指利用三垂线定理或其逆定理作出平面角.如 图, 在二面角 α-a-β 的面 α 上取一点 A, AB⊥β, 作 垂足为 B.作 BC⊥a, 交 a 于点 C, 连接 AC, 显然, AC⊥a.因此∠ACB 就是二面角 α-a-β 有 的平面角.
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4.(2012·河北高三质检) 三棱锥 P-ABC 的两侧面 PAB, PBC 都是 边长为 2a 的正三角形, AC= 3a, 则二面角 A-PB-C 的大小为( ) A.90° B.30° C.45° D.60° 【答案】 D 【解析】设 PB 的中点为 M, 连接 AM, CM, AM⊥PB, 则 CM⊥PB, ∠AMC 是二面角 A-PB-C 的平面角. 由已知易知 AM=CM= 3a, 又因为 AC= 3a, 所以△AMC 是正三角形, 即∠AMC=60° . 故选 D.

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1.直线 l 不垂直于平面 α, α 内与 l 垂直的直线有( 则 A.0 条 B.1 条 C.无数条 D.α 内所有直线 【答案】 C 【解析】 可以有无数条.

)

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2.给出下列四个命题: ①垂直于同一平面的两条直线相互平行; ②垂直于同一平面的两个平面相互平行; ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行, 那么这两个平 面相互平行; ④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线, 那么这条直线垂直于 这个平面. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 B 【解析】 命题①④为真, 命题②③为假.

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3.PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面, 连接 PB, PD, BD, PC, AC, 则下列 垂直关系正确的是( ) ①平面 PAB⊥平面 PBC; ②平面 PAB⊥平面 PAD; ③平面 PAB⊥平面 PCD; ④平面 PAB⊥平面 PAC. A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 【答案】 A 【解析】 易证 BC⊥平面 PAB, 则平面 PAB⊥平面 PBC, 又 AD∥BC, AD⊥平面 PAB, 故 则平面 PAD⊥平面 PAB, 因此选 A.

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4.如图, 三棱锥 P-ABC 中, PA⊥平面 ABC, ∠BAC=90°PA=AB, , 则直线 PB 与平面 ABC 所成的角是( )

A.90° C.45° 【答案】 C

B.60° D.30°

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【解析】 ∵ PA⊥平面 ABC, ∴ 在平面 ABC 上的射影是 AB. PB 故∠PBA 是直线 PB 与平面 ABC 所成的角. 又在△PAB 中, ∠BAP=90°PA=AB, , ∴ ∠PBA=45° . 故直线 PB 与平面 ABC 所成的角是 45° .

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5.如图, 在三棱锥 D-ABC 中, AB=CB, 若 AD=CD, 是 AC 的中点, E 则下 列命题中正确的有 ( 填序号) . ①平面 ABC⊥平面 ABD; ②平面 ABD⊥平面 BCD; ③平面 ABC⊥平面 BDE, 且平面 ACD⊥平面 BDE; ④平面 ABC⊥平面 ACD, 且平面 ACD⊥平面 BDE. 【答案】 ③

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【解析】 因为 AB=CB, E 是 AC 的中点, 且 所以 BE⊥AC, 同理有 DE⊥AC, 于是 AC⊥平面 BDE. 因为 AC? 平面 ABC, 所以平面 ABC⊥平面 BDE. 又由于 AC? 平面 ACD, 所以平面 ACD⊥平面 BDE. 故只有命题③正确.

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