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立体几何练案


秭归一中 2015 届高三数学第一轮复习

练案

直线、平面垂直的判定及其性质
一.选择题 1.已知 P 为△ABC 所在平面外的一点,则点 P 在此三角形所在平面上的射影是△ABC 垂 心的充分必要条件是( ) A.PA=PB=PC B.PA⊥BC,PB⊥AC C.点 P 到△ABC 三边所在直线的距离相等 D.平面 PAB、

平面 PBC、平面 PAC 与△ABC 所在的平面所成的角相等 2.设 ? 、 ? 为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则下列命题正确的是( A. 若? ? ? ,? ? ? ? n, m ? n, 则m ? ? C. 若n ? ? , n ? ? , m ? ? , 则m ? ? )

B. 若m ? ? , n ? ? , m ? n, 则n ? ? D. 若m // ? , n // ? , m ? n, 则? ? ?

3.已知直线 m、n 与平面?、?,给出下列三个命题:( ) ①若 m∥?,n∥?,则 m∥n;②若 m∥?,n⊥?,则 n⊥m;③若 m⊥?,m∥?,则?⊥?. 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 4.不共面的四个定点到平面 ? 的距离都相等,这样的平面 ? 共有 ( ) A.3 个 B.4 个 C .6 个 D.7 个 B C 5.如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90? ,BC1⊥AC,则 C1 在底面 A ABC 上的射影 H 必在( ) A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.△ABC 内部 B1 C1 6.下列命题中错误 的是 ( ) .. A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ P D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 二.填空题 7.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足 时,平面 MBD⊥平面 PCD。 (只要 填写一个你认为正确的条件即可) 8.a、b 表示直线,α、β、γ 表示平面. ①若 α∩β=a,b?α,a⊥b,则 α⊥β; A ②若 a?α,a 垂直于 β 内任意一条直线,则 α⊥β; ③若 α⊥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则 a⊥b; ④若 a 不垂直于平面 α,则 a 不可能垂直于平面 α 内无数条直线; ⑤若 a⊥α,b⊥β,a∥b,则 α∥β. 上述五个命题中,正确命题的序号是________.

A1

M D B C

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9. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 AA 1 和 AB 上的点,若 ?B1 MN 是直角, 则 ?C1 MN =_________. 10.三棱锥 S-ABC 中, ?SBA ? ?SCA ? 900 , ?ABC 是斜边 AB=a 的等腰直角三角形,给 出以下结论: ①异面直线 SB 与 AC 的夹角为 90 ;②直线 SB ? 平面 ABC;③平面 SBC ? 平面 SAC;
0

④点 C 到平面 SAB 的距离是

1 a. 2

其中正确结论的序号是________. 三.解答题 11.如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点。 (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45? ,求证:MN⊥平面 PCD。 P

A M B

N D

C

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12.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,已知 E、F、G 分别是棱 AB、AD、 D1 A1 的中点. (1)求证:BG//平面 A1 EF ; (2)若 P 为棱 CC1 上一点,求当 平面 A1 EF ? 平面 EFP ?
CP 等于多少时, PC1

D1 G A1 D F A E B B1

C1

P C

13.如图所示,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,DB=BC,DB⊥AC,点 M 是棱 BB1 上一 点。 (1)求证:B1D1∥平面 A1 BD; (2)求证:MD⊥AC; (3)试确定点 M 的位置,使得平面 DM C1 ⊥平面 CC1D1D。

D1

C1
B1

A1

D

M C

A B

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空间向量及其运算
一、选择题 1、在下列命题中: ①若向量 a,b 共线,则向量 a,b 所在的直线平行; ②若向量 a,b 所在的直线为异面直线,则向量 a,b 一定不共面; ③若三个向量 a,b,c 两两共面,则向量 a,b,c 共面; ④已知空间的三个向量 a,b,c, 则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x,y,z 使得 p=xa+yb+zc. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C .2 D.3 2、若向量 a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)· (2b)=-2,则 x=( ) A.-4 B.-2 C .4 D.2 3、若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是( ) A.{a,a+b,,a-b} B.{b,a+b,a-b} C.{a,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b} 4、如图所示,已知空间四边形 OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC= 的值为( A.0 ) B.

? ,则 cos OA, BC 3
O

1 2

C.

3 2

D.

2 2

A

C

5、以下四个命题中正确的是( ) B A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B.若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间向量的另一组基底 C.△ABC 为直角三角形的充要条件是 AB ? AC ? 0 D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 6 、 如 图 所 示 , 在 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 , M 中 A1C1 与 B1D1 的 交 点 , 若

AB ? a, AD ? b, AA 1 ? c, 则下列向量中与 BM 相等的向量是(
1 1 a+ b+c 2 2 1 1 C.- a- b+c 2 2
A.-


C1

1 1 a+ b+c 2 2 1 1 D. a- b+c 2 2
B.

D1
M
C1

C1

C1

A1

C1

B1

二、填空题 7、在下列条件中,使 M 与 A、B、C 一定共面的是 ① OM ? 2OA ? OB ? OC; ②

1 1 1 OM ? OA ? OB ? OC ; 5 3 2 A

?

D B

C

③ MA ? MB ? MC ? 0; ④ OM ? OA ? OB ? OC ? 0;

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8、在空间四边形 ABCD 中, AB ? CD ? AC ? DB ? AD ? BC ?

?

C A D O B

9、已知一个 60? 的二面角的棱上,如图有两个点 A,B,AC,BD 分别是 ? 在 这 个 二 面 角 的 两 个 半 平 面 内 垂 直 于 AB 的 线 段 , 且 AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,则 CD 的长为 ?

10 、如图,空间四边形 OABC 中, OA=8,AB=6,AC=4 , BC=5 ,∠OAC=45? , ∠OAB=60? ,则 OA 与 BC 所成角的余弦值等于 三、解答题 A 11、已知 A、B、C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,若点 M 满足

C B

1 OM ? (OA ? OB ? OC ). 3
(1)判断 MA 、 MB、 MC 三个向量是否共面; (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内。

12、如右图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,G 为△BC1D 的重心, (1)试证:A1、G、C 三点共线; (2)A1C⊥平面 BC1D; D1 (3)求点 C 到平面 BC1D 的距离。
C1
C1

C1

C1

A1

C1

B1

D A B

C

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13、 如图所示, 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1, 点 E,F,G 分别是 AB、 AD、CD 的中点,计算: (1) EF ? BA; (2) EF ? DC; (3)EG 的长; (4)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值。 A

E

F

B C G

D

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立体几何中的向量方法(一)
一、选择题 1、若直线 l1, l2 的方向向量分别为 a=(2,4-4),b=(-6,9,6),则( A. l1 // l2 C. l1与l2 相交但不垂直 B. l1 ? l2 D.以上均不正确 )

2、若直线 l 的方向向量为 a,平面 ? 的法向量为 n,能使 l // ? 的是( ) A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 3、平面 ? 经过三点 A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面 ? 的法向量不垂直 的是( ) A. ? , ? 1,?1? C.(4,2,2)

?1 ?2

? ?

B.(6,-2,-2) D.(-1,1,4)

4、已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,CC 1 =2 2 ,E 为 CC1 的中点,则直线 AC 1 与平面 BED 的距离为( A.2 B. 3 ) C. 2 D.1

5、已知 AB ? (1,5,?2), BC ? (3,1, z), 若 AB ? BC, BP ? ( x ? 1, y,?3), 且 PB⊥平面 ABC, 则实数 x,y,z 分别为( A. ) B.

33 15 ? ,4 7, 7

40 15 , ? ,4 7 7

C.

40 , ? 2,4 7

D. 4,

40 , ? 15 7

6、 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a, 点 M 在 AC1 上且 AM ? 则 MN 为( )

1 MC1 , N 为 B1B 的中点, 2

A.

21 a 6

B.

6 a 6

C.

15 a 6

D.

15 a 3

二、填空题 7、在四面体 PABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,设 PA=PB=PC=a,则点 P 到平面 ABC 的距 离为

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8、 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, E、 F 分别是棱 BC、 DD1 上的点, 如果 B1E⊥ 平面 ABF,则 CE 与 DF 的和的值为 D1 P C1 D C B1 E A1 A B F

D1

N M B A1 (第 8 题)B1 (第 9 题) 9、 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, P 为正方 A1B1C1D1 四边上的动点, O 为底面正方形 AB-CD 的中心,M,N 分别为 AB,BC 的中点,点 Q 为平面 ABCD 内一点,线段 D1Q 与 OP 互 A 相平分,则满足 MQ ? ? MN 的实数 ? 的有 三、解答题 10、如图所示,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2 ,AF=1, M 是线面 EF 的中点。 求证: (1)AM//平面 BDE; (2)AM⊥平面 BDF。

C1

D

oQ

C

E M C F B

D

A

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11、在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E、F 分别 是 AB、PB 的中点。 (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论。

12 、 如 图 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 , PA⊥ 平 面 ABCD , AB=4 , BC=3 , AD=5 , ∠DAB=∠ABC=90? ,E 是 CD 的中点。 (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2) 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等, 求四棱锥 P-ABCD 的体积。 P

A B C E

D

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立体几何中的向量方法(二)
一、选择题 1、 已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 ? 的方向向量、 法向量, 若 cos<m,n>=- 所成的角为( A.30? ) B.60? C.120? D.150?

1 ,则 l 与 ? 2

2、 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 是棱 BB1 中点, G 是 DD1 中点, F 是 BC 上一点且 FB=

1 BC, 4

则 GB 与 EF 所成的角为( ) A.30? B.120? C.60? D.90? 3、长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中点,则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( ) A.

10 10

B.

30 10

C.

2 15 10

D.

3 10 10

4、 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M、 N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点, 则 sin ? CM , D1 N ? 的值为( A. ) B.

1 9

4 5 9

C.

2 5 9

D.

2 3

5、如图,在四面体 ABCD 中,AB=1,AD=2 3 ,BC=3,CD=2.∠ABC=∠DCB= ,则 2 A 二面角 A-BC-D 的大小为( ) A.

?

? 6

B.

? 3

C.

5? 3

D.

5? 6

B D

C

6、如图,设动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1 C1 D1 的对角线 BD1 上,记

D1P = ? ,当∠APC 为钝角时,则 ? 的取值范围是( D1B
A. ? 0, ?



D1

C1 B1
P

A1
D

? 1? ? 3?

B. ? 0, ?

? 1? ? 2?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

C

A B 二、填空题 7、若平面 ? 的一个法向量为 n=(4,1,1),直线 l 的一个方向向量为 a=(-2,-3,3),则 l 与 ? 所 成角的正弦值为 8、已知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B1C1 的棱 BB1,CC1 上,且 B1E=2EB,CF=2FC1, 则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值为

9、如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AB=BC=AA1, A1 ∠ABC=90? ,点 E、F 分别是 AB、BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成的角 是 10、在三棱锥 O-ABC 中,三条棱 OA,OB,OC 两两垂直,且 OA=OB=OC, M 是 AB 边的中点,则 OM 与平面 ABC 所成角的正切值是 A 三、解答题 点 B,连接 AB,沿 AD 将△ ABD 折起,使 ?BDC ? 90? (如图 2 所示) .

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C1 B1
F E C B

11、如图 1, ?ACB ? 45? , BC ? 3 ,过动点 A 作 AD ? BC ,垂足 D 在线段 BC 上且异于 (Ⅰ)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A ? BCD 的体积最大; (Ⅱ)当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时,设点 E , M 分别为棱 BC , AC 的中点,试在 棱 CD 上确定一点 N ,使得 EN ? BM ,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小. A A M D B

B

D 图1

C

. · E

C

图2

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12、如图,四面体 ABCD 中,AB、BC、BD 两两垂直,AB=BC=BD=4,E、F 分别为棱 BC、AD 的中点。 A (1)求异面直线 AB 与 EF 所成角的余弦值; (2)求 E 到平面 ACD 的距离; (3)求 EF 与平面 ACD 所成角的正弦值。 F

B

D E C

13、如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=AB= (1)证明:DC1⊥BC; (2)求二面角 A1-BD-C1 的大小。

1 AA1,D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD。 2

C1 A1

B1

D C A B


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