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2004年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷


2004 年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷
(2004.9.12. 8:00 —10:30) 三 题 号 一 二 13 得 分 评卷人 考生注意: 1 本试卷共三大题(16 个小题) ,全卷满分 150 分 . 2.完卷时间 150 分钟 ,用钢笔,签字笔或圆珠笔作答.不能使用计算器 . 3.解答题书写不要超出装订线。 一、选择题(本题满分 24 分,每小题 4 分)

本题共有 6 个小题,每题均给出 A、B、C、D 四个结论,其中 得 分 评卷人 有且仅有一个是正确的 .请将正确答案的代表字母填在题后的 括号内.每小题选对得 4 分;不选、选错或选出的代表字母超过 一个(不论是否在括号内) ,一律得 0 分。 1. 已知,点(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,当 2 ? 4 取最小值时,点(x ,y )与原点的距离
x y

总分 14 15 16



(

)

A.

3 5 4

B.

45 16

C.

3 2 4

D.

9 8

2.设双曲线

?2 3 ? x2 y 2 , 2 ? ,则双曲线的两条渐近线夹角 ? 的 ? 2 ? 1 的离心率 e? ? 2 a b ? 3 ?
( B. ? )

取值范围是 A. ? , ? ?6 3?

?? ? ?

?? ? ? , ?6 2? ?

C. ?

?? ? ? , ?3 2? ?

D. ?

? ? 2? ? , ?3 3 ? ?

04

预赛试卷第1页(共 6 页)

3. 正四面体的 4 个面分别写着 1,2,3,4,将 4 个这样均匀的正四面体同时投掷于 桌面上,与桌面接触的 4 个面上的 4 个数的乘积被 4 整除的概率是 A. ( )

1 8

B.

9 64

C.

1 16

D.

13 16

4.甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练.每局两人单打比赛,另一人当裁判.每一局 的输方去当下一局的裁判 ,而由原来的裁判向胜者挑战 .半天训练结束时,发现甲共打 12 局,乙共打 21 局,而丙共当裁判 8 局.那么整个比赛的第 10 局的输方 A.必是甲 B.必是乙 C.必是丙 D.不能确定 ) ( )

5.曲线 x2+y2-ay=0 与 ax2+bxy+x=0 有且只有 3 个不同的公共点,那么必有( A.(a4+4ab+4)(ab+1)=0 C.(a4+4ab+4)(ab-1)=0 B.(a4-4ab-4)(ab+1)=0 D.(a4-4ab-4)(ab-1)=0

6.两个周期函数 y1,y2 的最小正周期分别为 a,b,且 b = na (n ? 2,n 为整数).如果函数 y3=y1+y2 的最小正周期为 t . 那么五种情形: ”t<a”,”t=a”,”a<t<b”,”t=b”,”t>b” 中,不可 能出现的情形的个数是 A. 1 B.2 C.3 D.4 ( )

二、填空题(本题满分 36 分,每小题 6 分)

得 分

评卷人

本题共有 6 个小题,要求直接将答案写在横线上 .

7.已知 log a x = 24, log b x = 40, log abc x = 12 . 那么 log c x = 8 . 设 f (x) = (x2 – 8x +c1 ) ( x2 – 8x+c2 ) (x2 – 8x +c3 ) ( x2 – 8x+c4 ) . M ={x︱f( x )= 0 }. 已知 M ={x1,.x2 , x3, x4.,x5, x6, x7, x8} ? N . 那么 max{c1,.c2, c3, c4}– min{c1,.c2, c3, c4} =

04

预赛试卷第2页(共 6 页)

9 . 如果实数 x ,y 满足 3x + 2y- 1 ? 0 , 那么 u = x2 + y2 + 6x - 2y 的最小值 是 .

10 . 不等式组 sinx > cosx > tanx > cotx 在 (0 , 2 ? ) 中的解集 ( 用区间表示 ) 是 .

11 . 四面体 ABCD 中, AB = CD = a , BC = AD = b , CA = BD = c . 如果异面直线 AB 与 CD 所成的角为 ? , 那么 cos ? = .

12.设 a , b , x ? N* , a ? b . X 为关于 x 的不等式 lgb-lga < lgx < lgb+lga 的解集 . 已 知 card (X) = 50 . 当 a ? b 取最大可能值时 ,

a?b =

三、解答题(本题 90 分.共 4 个小题 .第 13,14, 15 题各 20 分,第 16 题 30 分) 13 . 求函数 得 分 评卷人 f (x) =︱sinx + cosx +tanx + cotx + secx + cscx︱ 的最小值 . 其中 secx=

1 1 , cscx= . cos x sin x

04

预赛试卷第3页(共 6 页)

得 分

评卷人

14.椭圆 x2 + 4y2 = 8 中, AB 是长为 原点 . 求 ? AOB 面积的取值范围 .

5 的动弦 .O 为坐标 2

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预赛试卷第4页(共 6 页)

得 分

评卷人

15 . 无穷数列 {xn} 中 (n ? 1) , 对每个奇数 n, xn, xn+1,xn+2 成等比数列,而对每个偶数 n, xn, xn+1, xn+2 成等差数列.已知 x1= a , x2= b .

(1) 求数列的通项公式 . 实数 a , b 满足怎样的充要条件时, 存在这样的无穷数列? (2) 求 x2 , x4 ,……, x 2 n 的调和平均值, 即

n 1 ? k ?1 x 2 k
n

的值 .

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预赛试卷第5页(共 6 页)

16. (1) 给定正整数 n ? 5,集合 An= ? 1,2,??, n?.是否存 得 分 评卷人 在一一映射 ? : An ?An 满足条件: 对一切 k ( 1 ? k ? n-1 ) , 都有 k | ? (1)+ ? (2) +??+ ? (k) ? (2) N* 为全体正整数的集合,是否存在一一映射 ? : N* ? N* 满足条件: 对一 切 k ? N*, 都有 k | ? (1)+ ? (2) + ??+ ? (k) ? 证明你的结论 . 注: 映射 ? : A ? B 称为一一映射,如果对任意 b ? B,有且只有一个 a ? A 使得

? (a)=b . 题中“|”为整除符号.

04

预赛试卷第6页(共 6 页)

二 00 四年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题参考解答及评分 标准

说明:1.选择,填空题只按 0 分与满分两档给分,不设中间档次. 2.解答题 5 分一个档次.如果考生的解法与参考解答不同.可参照本标准酌情给分. 一. 选择题(每小题 4 分,共 24 分) 1 A 2 C 3 D 4 A 5 B 6 B

二. 填空题 (每小题 6 分,共 36 分) 7 60 8 15 - 9 10 11 12 6

66 13

(

3? 5 ?1 , ? -arcsin ) 4 2

b 2? ? c 2 a2

三. 解答题 13. 设 u = sin x + cos x , 则 sin x cos x =

1 2 (u - 1). 2 2 u ?1
,

sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + csc x = u +

(5 分 ) 当 u > 1 时 , f ( x ) = 1 + u -1 +

2 u ?1

? 1 + 2

2

.

(5 分 ) 当 u < 1 时 , f ( x ) = -1 + 1-u +

2 ? 2 2 -1 ( u = 1- 2 时等号成立 ) . ( 5 1? u

04

预赛试卷第7页(共 6 页)

分 ) (5 分 )

因 此 ,

f

(

x

)

的 最 小 值 是

2

2

- 1

.

14. 令 A, B 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,( x 2 , y 2 ) , 直线 AB 的方程为 y = kx + b , 代入椭圆 方 程整理得: (4k2 +1)x2 + 8kbx + 4(b2-2) = 0 . 故 x1 + x2 =- (5 分 ) 由

8kb 4(b 2 ? 2) , x x = . 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

25 16(k 2 ? 1) = AB2 = (k2+1)(x2-x1)2 = (k2+1)((x1+x 2)2-4 x1x2) = (2(4k2+1)-b2) 得到 2 2 4 (4k ? 1)
b2 = 2 (4k2+1) -

25(4k 2 ? 1) 2 64(k 2 ? 1)

( 5 分) 原点 O 到 AB 的距离为

b k 2 ?1

, ? AOB 的面积 S =

5 ? 4

4k 2 ? 1 , 记 u = , k 2 ?1 k 2 ?1

b

则有
2

S

=



625 1024

(u

2



128 25

u

)

=

4 -

625 1024

(u -

64 25

)2

( 5 分) u = 4-

3 64 的范围为 ?1,4? , (u = 4 为竖直弦 ). 故 u = 时, max S 2 = 4 , 而 25 k ?1
2

u=1 时 , min S
2

=

2575 , 因 此 1024

S 的

取 值 范 围 是

?5 ? 103,2? . ? ? 32 ?

( 5 分)

04

预赛试卷第8页(共 6 页)

15. (1) 观 察 前 几 项 : a , b ,

b( 2b ? a ) (2b ? a) 2 (2b ? a )( 3b ? 2a ) b2 , , , , a a a a

(3b ? 2a ) 2 ((k ? 1)b ? (k ? 2)a) 2 ,? 猜测: x2 k-1 = , a a
x2k (5 分 ) =

(( k ? 1)b ? (k ? 2)a)( kb ? (k ? 1)a) a

,(

k

?

1

).

对 k 归 纳 证 明 通 项 公 式 : k =1 显 然 成 立 , 设 x

2 k-1,

x2k 如 上 , 则 x2k+1

( x2k ) 2 = = x 2 k ?1

(kb ? (k ? 1)a)(( k ? 1)b ? ka ) (kb ? (k ? 1)a) 2 , x2k+2 = 2x2k+1 - x2k= , 因此 , 公式成立 . a a
(5 分 ) 存在这样的无穷数列

? 所有的 x

n

?0 ?

b ? n ? ?? | n? N? . a ?n ?1 ?

(5 分 ) (2) b ? a 时,

a 1 1 1 ? = ( ),故 b ? a (k ? 1)b ? (k ? 2)a kb ? (k ? 1)a x2k

n 1 ? k ?1 x 2 k
n

=

n a 1 1 ( ? ) b ? a a nb ? (n ? 1)a

= nb-(n-1)a .( b = a 时所有的 x

n

= a ,结果也对).

(5 分 ) 16. (1) 不存在. ( 5 分)

04

预赛试卷第9页(共 6 页)

记 Sk=

? ? (i) .当 n = 2m+1 时 ( m
i ?1

k

? 2 ), 由 2m | S 2 m 及 S 2 m=
2m+1,故

(2m ? 1)( 2m ? 2) 2

- ? (2m+1) 得 ? (2m+1) ? m+1(mod 2m), 但 ? (2m+1) ? A -1 | S2m-1 及 S2m - 1=

? (2m+1)= m+1.再由 2m

(2m ? 1)( 2m ? 2) - (m+1) - ? (2m) 得 ? (2m) ? m+1(mod 2m - 1), 又有 ? (2m)= 2

m+1,与 ? 的 一 ( 5 分) 当 n = 2m+2 时 ( m ? 2 ), S2m+1= 2m+2, 同 上 又 得 一 性 矛 盾 .

(2m ? 2)( 2m ? 3) - ? (2m+2) 给出 ? (2m+2)=1 或 2

?

(2m+1)=

?

(2m)=

m+2



m+1

,





.

( 5 分) (2) ( 5 分) 令 ? (1)=1, ? (2)=3 .设已定义出不同的正整数值 ? (k) (1 ? k ? 2n)满足整除条件且包含 1,2,?,n ,设 v 是未取到的最小正整数值,由于 2n+1 与 2n+2 互素,根据孙子定理,存在不同 于v及 存 在 . 对 n 归 纳 定 义 ? (2n - 1) 及 ? (2n) 如 下 :

? (k) (1 ? k ? 2n)的正整数 u 满足同余式组 u ? -S2n(mod 2n+1) ? -S2n-v (mod 2n+2) .
( 5 分) 定义 ? (2n+1)=u, ? (2n+2)=v .则正整数 ? (k) ( 1 ? k ? 2n+2 )也互不相同,满足整除条件, 且包含 1,2, ? ,n+1 . 根 据 数 学 归 纳 法 原 理 , 已 经 得 到 符 合 要 求 的 一 一 映 射 ? : N* ? N*.

04

预赛试卷第10页(共 6 页)

( 5 分)

附:选择、填空题简解: 1. 2x+4y

? 2 2x ?2 y = 4 2 . x = , y = 时取最小值, 此时

3 2

3 4

x2 ? y 2 =

3 5 . 4

2.设渐近线 y =

b b ? 1 b2 ? ?4 ? x 的倾斜角为 ? , 1 + 2 = e2 ? ? , 4 ? , tan ? = ? ? , 3? , a a ? 3 a ?3 ? ?

?? ? ? ?? ? ? ? ? ? , ? , 故 ? = min{2 ? , ? -2 ? } ? ? , ? . ?6 3? ?3 2?

?1? 1 3. 事件 “4 个数均为奇数”的概率 p1= ? ? = ,事件“3 个为奇数,1 个为 2”的概 ? 2 ? 16
率 p2=

4

13 1 ?1? 1 . C ? ? ? ? = . 故 p =1-p1-p2 = 16 4 ? 2? 8
1 4

3

4. 共比赛 12+21-8 = 25 局,甲当裁判 25-12 = 13 局.由于同一人不会接连当两局裁判, 故甲 是第 1,3,5,??,21,23,25 局的裁判, 从而第 10 局的输方为甲 . 5. 易知 a ? 0.曲线 ax2+bxy+x = 0 是两条直线 x = 0 与 ax+by+1 = 0. 直线 x = 0 与圆 x2+y2ay=0 有两个不同的公共点(0,0), (0,a), 依题意有两种可能:

a a2 (1).ax+by+1 = 0 与圆 x2+(y- )2 = 相切于第三点. 此时 2 4
-4=0; (2).ax+by+1= 0 过点(0,a)且不与坐标轴平行, 此时 ab+1= 0.

a | a ? 0 ? b ? ? 1| a 2 ? , 即 a4-4ab 2 a 2 ? b2

04

预赛试卷第11页(共 6 页)

6. b 是 y3 的一个周期,故 t ? b.若 t = a, 则由 y2=y3-y1 可得 b ? a,矛盾.故”t=a”和”t>b” 不可能. 下面的例子表明另外的三种情形都可能出现:取 y2 = sinx + sin

2x , 则 b = 6? . 3

(1).令 y1 = -sin

2? , 此时 a =3 ? , y3= sinx, t =2 ? , t < a ; 3

(2). 令 y1 = -sinx, 此时 a =2 ? , y3= sin

2? , t =3 ? , a < t< b ; 3
2? , t = 6? , t = b ; 3

(3). 令 y1 = sinx, 此时 a = 2 ? , y3 = 2sinx+sin

7.

log x c = log x abc-log x a-log x b =

1 1 1 1 - - = , log c x = 60 . 12 24 40 60

8. 令 x2-8x+c = 0 的两根为 ? , ? , 则 ? + ? =8. ( ? , ? )的不等非负整数值只有(0,8), (1,7), (2,6), (3,5) 故{c1,c2,c3, c4}={0,7,12,15}. 9. u = (x+3)2+(y-1)2-10 .半平面 3x+2y-1 ? 0 中的点到定点 (-3,1) 距离的最小值 是

? 9 ? 2 ?1 13

=

8 13

, 所以 min u = (

8 13

)2-10 = -

66 . 13

? 2
② ③

10. 在象限图上用区间法求解:各分界线为 ①

k? 5 ?1 (0 ? k ? 7) 与方程 cosx = tanx 的解 arcsin , 4 2
0





04

预赛试卷第12页(共 6 页)

? - arcsin


5 ?1 . 2







由 sinx> cosx 排除区间 ①, 由 tanx> cotx 排除 ②,

由 cosx> tanx 排除 ③, 解集为 (

3? 5 ?1 , ? -arcsin )., 4 2

11. (1) 向量法: 记 DC = a , DA = b , DB = c .由已知条件, | a ? b | = | c |, a2 + b2 - 2 a?b c2 .

=



a?b

=

a2 ? b2 ? c2 , 同 理 2

a?c

=

a2 ? c2 ? b2 . 2

cos ? =

| a ? (b ? c ) | | a |?|b ?c |

=

b2 ? c2 a2

.

(2) 几何法: 该四面体各棱是一个长方体的面对角线 , 设长方体三边为 x , y , z , 则 a2 = y2+z2 , b2 = z2+x2 , c2 = x2+y2 . ? 是 y , z 矩形中两对角线的夹角 , 故

a a | ( )2 ? ( )2 ? y 2 | | b2 ? c2 | 2 cos ? = 2 = a a a2 2? ? 2 2
12.

b b 1 3 < x < ab , a ? 2 , 50 ? ab- -1 = ab(1- 2 )-1 ? ab-1 , 故 ab ? 68 . a a 4 a

等号当且仅当 a =2 ,b =34 时成立 , 此时

a?b= 6.

04

预赛试卷第13页(共 6 页)


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