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3.2.2半角的正弦、余弦和正切导学案


3.2.1 倍角公式 教学目标: 1 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式;?
王新敞
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2 能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明
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教学重点: 二倍角公式的推导 教学过程 一、 复习引入

复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? , (? ? R, ? ? R) sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? , (? ? R, ? ? R) cos(? ? ? ) ?

(S? ? ? )

(C? ? ? )

tan( ? ? ) ? ?
tan( ? ? ) ? ?

tan? ? tan ? ? , (? , ? , ? ? ? ? k? ? , k ? Z ) (T? ? ? ) 1 ? tan? tan ? 2

二、讲解新课 (一) 二倍角公式的推导 在公式 (S? ? ? ) , (C? ? ? ) , (T? ? ? ) 中,当 ? ? ? 时,得到相

第 1 页

应的一组公式:
s i n? ? 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 简记为_____________. ______

cos 2? ? ________________ 简记为_____________

又可写成 ?

?? ________________ . ?? ________________ .

tan 2? ? ________________ 简记为_____________.

(二)公式的变形应用
1 ? sin 2? ? _______________ ? (_________)2 .
1 ? cos 2? ? _______;1 ? cos 2? ? _______.

? sin 2 ? ? _______.cos2 ? ? _______.

(三)相对 2 倍角
? 表示). cos3? ? _________ .(利 2 3? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? 用 表示). ( cos 2 ? ? 这 2 2 2
sin ? ? _________. (利用

两个形式今后常用)

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例 1 不查表.求下列各式的值 (1) sin 15? cos15? ; (2) cos 2
?
8 ? sin 2

?
8



第 2 页

(3)

2 tan 22.5 ? ; 1 ? tan2 22.5 ?

(4)1 ? 2 sin 2 75? .

例 2 求值(1) (sin

5? 5? 5? 5? ? cos )(sin ? cos ) 12 12 12 12

(2) cos 4

?
2

? sin 4

?
2

(3)

1 1 ? 1 ? tan ? 1 ? tan ?

(4)1 ? 2 cos2 ? ? cos2?

例 3 若 tan ? = 3,求 sin2? ? cos2? 的值

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第 3 页

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 教学目标 1.知识目标:掌握半角公式及推导过程, 会应用公式解决 相关的问题. 2.能力目标:能用联系的观点理解各公式, 提高学生思维 的严谨性. 培养学生分析问题、 解决问题的 能力. 教学重点与难点 教学重点是半角公式的推导过程.教学难点是对公式的 理解与应用. 一、上节回顾: 1.倍角公式 sin2α= cos2α= = tan2α= 2.已知 α 是锐角且 cos = ,求 (1)sinα; (2)cosα; (3)tanα.
? 2
3 5

. = . .

第 4 页

二、自我探究 已知 α 是锐角且 cos2α= , 求: (1)sinα; (2)cosα; (3)tanα.
3 5

三、典例剖析

第 5 页

变式训练:
sin ? ? 12 ? ,且 ?为锐角,求 cos 的值。 13 2

课堂检测: 1、已知 sin ? ? 的值。
7 ? ? ? ,并且 ? 在第二象限,求 sin , cos , tan 25 2 2 2

2、求下列函数的最大值、最小值和周期 (1) y ? 1? sin x
2

1 2 (2) y ? 3 cos x ? sin 2 x 2

(1 ? sin ? ? cos ? )(sin

?

5、化简:

? cos ) 2 2

?

2 ? 2 cos ?

(0 ? ? ? ? )

第 6 页


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