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江西省南昌铁一中2013届高三第四次月考文科数学试卷


江西省南昌铁一中 2013 届第四次月考
数学试卷(文科)
1.设全集为 R,集合 A ? ?x || x |? 2?, B ? {x | A. [?2 , 2] 2.如果 A.1
0.5

2013-01-03

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,有 且

只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上

B. [?2 , 1)

1 ? 0} ,则 A ? B ? ( ) x ?1 C. (1 , 2] D. [?2 , ??)
) D.0

2 ? 1 ? mi ( m ? R , i 表示虚数单位) ,那么 m ? ( 1? i
B. ? 1

3.若 a ? 2 , b ? log? 3 , c ? log 2 sin A. a ? b ? c
1

B. b ? a ? c

2? ,则( 5

C.2 ) C. c ? a ? b

D. b ? c ? a ( )

4.函数 f ( x) ? x 2 ? ( ) 的零点个数为
x

1 2

A.0

B.1

C.2

D.3

5.要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ? A.向右平移

? ?

?? ? 的图象( ) ??

? ? 个单位 B.向右平移 个单位 ? ? ? ? C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位 ? ? 6 在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ,则 k ? ( ) A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 7. 已知直线 l , m , 平面 ? , ? , l ? ? , m ? ? , 且 给出四个命题: ①若 ? ∥ ? , l ? m ; 则 ②若 l ? m ,则 ? ∥ ? ;③若 ? ? ? ,则 l∥m;④若 l∥m,则 ? ? ? .其中真命题的

? ? ? 1 3 1 ? 2 ? ? 8 已知 | a |? 2 | b |,| b | ? 0 ,且关于 x 的函数 f ( x) ? x ? | a | x ? a ? bx 在 R 上有极值, 3 2 ? ? 则 a 与 b 的夹角范围为( ) ? ? 2? ? ? ?? ] A. ? 0, ? B. ( , ? ] C. ( , D. ( , ? ] 3 3 3 6 ? 6? 1 2 9.函数 y ? ln | | 与y ? ? x ? 1 在同一平面直角坐标系内的大致图象为 ( ) x

个数是( ) A.4

B.3

C.2

D.1

第 1 页 共 9 页

10.定义在(— ? ,0) ? (0,+ ? )上的函数 f ( x ) ,如果对于任意给定的等比数列{ an }, { f (an ) )仍是等比数列,则称 f ( x ) 为“保等比数列函数” .现有定义在(— ? ,0) ? (0, + ? )上的如下函数:① f ( x ) = x2 :② f ( x) ? 2 x ;③ f ( x) ? | x | ; ④ f ( x) ? ln | x | .则其中是“保等比数列函数”的 f ( x ) 的序号为( A.①② B.③④ C.①③ ) D.②④

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11. 某个几何体的三视图如下,单位 : cm则此几何体的体积为____.
4

2

2

正视图
4

侧视图

2

俯视图

12. 已知 f ( x) ? ?

?3e x ?1 , x ? 3 ? 则 f ( f (3)) 的值为 ?log3 ( x 2 ? 6), x ? 3, ?

.

13. 已知函数 f ?x ? ? sin x ? cosx ,且 f ??x ? ? 2 f ?x ? , f ?? x ? 是 f ?x ? 的导函数,则

1 ? sin 2 x ? cos2 x ? sin 2 x



? x ? y ? 10 ? 14. 已 知 x 和 y 是 实 数 , 且 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 2 , 则z ? 2 x ? 3 y 的 最 小 值 ?2 x ? 7 ?
是 15.下列结论:
2 ①已知命题 p: ?x ? R, tan x ? 1 ;命题 q: ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0.

.

则命题“ p ? ?q ”是假命题; ②函数 y ?

1 |x| 的最小值为 且它的图像关于 y 轴对称; 2 2 x ?1

a b ③“ a ? b ”是“ 2 ? 2 ”的充分不必要条件;

④在 ?ABC 中,若 sin A cos B ? sin C ,则 ?ABC 中是直角三角形。
2 0

0

7

第 2 页 共 9 页

0

3

2

⑤若 tan ? ? 2, 则sin 2? ? 其中正确命题的序号为

4 ; 5
. (把你认为正确的命题序号填在横线处

2012~2013 年南昌铁一中第四次月考文科
数 学 答 题 卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.---------------------------------------------; 12.-----------------------------------------------;

13.--------------------------------------------------;

14.------------------------------------------------;

15.---------------------------------------------------.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 6 题,共 75 分) 6 ? 1, x ? R}, B ? {x | x 2 ? 2 x ? m ? 0} 16. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | x ?1 (1)当 m ? 3 时,求 A ? (C R B) ; (2)若 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4}, 求实数 m 的值.

17. (本小题满分 12 分)设 m ? R , a ? (cos x, sin x), b ? (m sin x,2 cos(

?
2

? x)) ,

f ( x) ? a ? (b ? a) 且 f ? ? ? ? ? f ? 0 ? , ? ?
? 3?
(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)设 ?ABC 三内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c 且

a2 ? c2 ? b2 c ,求 f (x) 在 ? a 2 ? b 2 ? c 2 2a ? c

第 3 页 共 9 页

?0, B ?上的值域.

18. (本小题满分 12 分)已知命题 p:函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 2 在 [?1,1] 内有且仅有一个零 点.命题 q: x2 ? 3(a ? 1) x ? 2 ? 0 在区间 [ , ] 内恒成立.若命题“p 且 q”是假命题, 求实数 a 的取值范围

1 3 2 2

19. (本小题满分 12 分)圆锥 PO 如图 1 所示,图 2 是它的正(主)视图.已知圆 O 的直径 为 AB , C 是圆周上异于 A 、 B 的一点, D 为 AC 的中点.

(1) 求该圆锥的侧面积 S ; (2) 求证:平面 PAC ? 平面 POD ; (3) 若 ?CAB ? 60 ,
?

求三棱锥 A ? PBC 的体积.

20. (本小题满分 13 分) 在数列 ?an ? 中,已知 a1 ?

1 an?1 1 , ? , bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N * ) . 4 an 4 4

第 4 页 共 9 页

(Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)求证:数列 ?bn ?是等差数列; (Ⅲ)设数列 ?cn ?满足 cn ? an ? bn ,求 ?cn ?的前 n 项和 Sn .

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (ax ? x)e ,其中e是自然数的底数, a ? R .
2 x

(1)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)当 a ? 0 时,求正整数k的值,使方程 f ( x) ? x ? 2 在[k,k+1]上有解; (3)若 f ( x) 在[-1,1]上是单调增函数,求 a 的取值范围.

2012 年南昌铁一中第四次月考数学试卷(文)
参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上

1 C

2 A

3 A

4 B

5 A

6 A

7 C

8 B

9 C

10 C

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
第 5 页 共 9 页

11.----------------40/3----------------------

;

12.---------------------3-------------------------;

13.----------------

1 3

---------------------;

14.--------------- 23/2-----------------;

15.------ -1,4,5--- -------------------。

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 6 题,共 75 分)
16(本小题满分 12 分

、解: A ? {x | ?1 ? x ? 5} , (1)当 m ? 3 时, B ? {x | ?1 ? x ? 3} 则 C R B = {x | x ? ?1或x ? 3}

A ? (C R B) = {x | 3 ? x ? 5}

6分

(2)? A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4},

?有42 ? 2 ? 4 ? m ? 0 解得m ? 8, 此时B ? {x | ?2 ? x ? 4}, 符合题意.
17 (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? m sin x cos x ? cos x ? sin x ?
2 2

f ( ? ) ? f ( 0) ? m ? 2 3 3
(Ⅱ)由余弦定理知:

?

m sin 2 x ? cos 2 x 2

a 2 ? c 2 ? b 2 2ac cos B c cos B c ? ? ? 2 2 2 2ab cosC b cosC 2a ? c a ?b ?c 即 2a cos B ? c cos B ? b cos C , 又由正弦定理知: 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cosC ? sin?B ? C ? ? sin A
即 cos B ?

1 ? ,所以 B ? 2 3

当 x ? ? 0,

? ?

??
?
3?

? 时, 2 x ?

?

? ? ?? ??? , ? , 6 ? 6 2?

f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? ) , 6
故 f (x) 在 ?0, B ?上的值域为 ?? 1,2?

f ?x ? ? ?? 1,2?

18. (本小题满分 12 分)解析:先考查命题 p: 若 a=0,则容易验证不合题意; a?0 故? ,解得:a≤-1 或 a≥1. ? ? f (?1) ? f (1) ? 0 再考查命题 q: 1 3 2 1 3 ∵x∈?2,2?,∴3(a+1)≤-?x+x ?在?2,2?上恒成立. ? ? ? ? ? ?

第 6 页 共 9 页

1 9 9 5 易知?(x+x )?max= ,故只需 3(a+1) ≤- 即可.解得 a≤- . ? ? 2 2 2 ∵命题“p 且 q”是假命题,∴命题 p 和命题 q 中一真一假。 5 当 p 真 q 假时,- <a≤-1 或 a≥1; 2 当 p 假 q 真时, a ?? . 当 p 假 q 假时, ?1 ? a ? 1 . 5 综上,a 的取值范围为{a| - <a 2

19. (本小题满分 12 分)解: (Ⅰ)解:由正(主)视图可知圆锥的高 PO ? 直径为 AB ? 2 ,故半径 r ? 1 .∴圆锥的母线长 PB ? ∴圆锥的侧面积 S ? ? rl ? ? ? 1 ? 3 ?

2 ,圆 O 的

PO 2 ? OB 2 ?

2 ? 12 ? 3 ,

2

3? .

(Ⅱ)证明:连接 OC ,∵ OA ? OC , D 为 AC 的中点, ∴ OD ? AC .∵ PO ? 圆O , AC ? 圆O ,∴ PO ? AC .又 OD ? PO ? O , ∴ AC ? 平面POD .又 AC ? 平面PAC ,? 平面 PAC ? 平面 POD …8 分

? (Ⅲ)? AB是直径, ?ACB ? 90 ,又 ?CAB ? 60 , S?CAB ?
?

?

3 6 ,V ? . 2 6

20. (本小题满分 13 分) 在数列 ?an ?中, 已知 a1 ? (Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)求证:数列 ?bn ?是等差数列;

1 an?1 1 , ? , bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N * ) . 4 an 4 4

(Ⅲ)设数列 ?cn ?满足 cn ? an ? bn ,求 ?cn ?的前 n 项和 Sn . 解: (Ⅰ)∵
a n ?1 1 ? an 4

∴数列{ an }是首项为

1 1 ,公比为 的等比数列, 4 4

1 ∴ an ? ( ) n (n ? N * ) .????????????????????????????3 分 4

(Ⅱ)∵ bn ? 3 log1 an ? 2 ?????????????????????????? 4 分
4

第 7 页 共 9 页

∴ bn ? 3 log1 ( ) n ? 2 ? 3n ? 2 .??????????????????????? 5 分
2

1 4

∴ b1 ? 1 ,公差 d=3 ∴数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列.????????????????7 分
1 (Ⅲ)由(Ⅰ)知, an ? ( ) n , bn ? 3n ? 2 (n ? N * ) 4

1 ∴ cn ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N * ) .????????????????????????8 分 4 1 1 1 1 1 ∴ S n ? 1? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? ?? (3n ? 5) ? ( ) n?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4



1 1 1 1 1 1 于是 S n ? 1? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? 7 ? ( ) 4 ? ?? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 ② 4 4 4 4 4 4 ??????????????????????????????????? 9 分 3 1 1 1 1 1 两式①-②相减得 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( )3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4 1 1 = ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 .???????????????????????????11 分 2 4

∴ Sn ?

2 12n ? 8 1 n?1 ? ? ( ) (n ? N * ) .?????????????????????13 分. 3 3 4
2 x

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (ax ? x)e ,其中e是自然数的底数, a ? R . (1)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)当 a ? 0 时,求正整数k的值,使方程 f ( x) ? x ? 2 在[k,k+1]上有解; (3)若 f ( x) 在[-1,1]上是单调增函数,求 a 的取值范围. 解 ⑴因为 e x ? 0 ,所以不等式 f ( x) ? 0 即为 ax 2 ? x ? 0 ,
1 又因为 a ? 0 ,所以不等式可化为 x( x ? ) ? 0 , a 1 所以不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (0, ? ) .??????????4 分 a

⑵当 a ? 0 时, 方程即为 xe x ? x ? 2 ,由于 e x ? 0 ,所以 x ? 0 不是方程的解, 2 2 所以原方程等价于 e x ? ? 1 ? 0 ,令 h( x) ? e x ? ? 1 , x x 因为 h?( x) ? e x ?
2 ? 0 对于 x ? ? 0, ?? ? 恒成立, x2
[

所以 h( x) 在 ? 0, ?? ? 内是单调增函数,???????????6 分 又 h(1) ? e ? 3 ? 0 , h(2) ? e2 ? 2 ? 0 , ,

2 所以方程 f ( x) ? x ? 2 有且只有 1 个实数根, 在区间 ?1,? ,
第 8 页 共 9 页

所以整数 k 的值为 1.?????????????????9 分 ⑶ f ?( x) ? (2ax ? 1)e x ? (ax 2 ? x)e x ? [ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1]e x , ① 当 a ? 0 时, f ?( x) ? ( x ? 1)e x , f ?( x) ≥ 0 在 [?1, 上恒成立,当且仅当 x ? ?1 时 1] 取等号,故 a ? 0 符合要求;?????????????????????11 分 ②当 a ? 0 时,令 g ( x) ? ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 ,因为 ? ? (2a ? 1) 2 ? 4a ? 4a 2 ? 1 ? 0 , 所以 g ( x) ? 0 有两个不相等的实数根 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? x2 , 因此 f ( x) 有极大值又有极小值. 若 a ? 0 ,因为 g (?1) ? g (0) ? ?a ? 0 ,所以 f ( x) 在 (?1, 内有极值点, 1)

1? 故 f ( x) 在 ? ?1, 上不单调.?????????????????????12 分
若 a ? 0 ,可知 x1 ? 0 ? x2 , 因为 g ( x) 的图象开口向下,要使 f ( x) 在 [?1, 上单调,因为 g (0) ? 1 ? 0 , 1]
? g (1) ≥ 0, ?3a ? 2 ≥ 0, 2 必须满足 ? 即? 所以 ? ≤ a ? 0 .--------------------------13 分 g (?1) ≥ 0. ??a ≥ 0. 3 ?
2 综上可知, a 的取值范围是 [? , 0] .???????????????14 分 3

第 9 页 共 9 页


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