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奥赛专题5 直线 圆锥曲线 平面向量


高中竞赛奥赛专题 专题五 直线 圆锥曲线 平面向量
一 能力培养 1,函数与方程思想 二 问题探讨 2,数形结合思想 3,分类讨论思想 4,转化能力 5,运算能力

2 问题 1 设坐标原点为 O,抛物线 y = 2 x 与过焦点的直线交于 A,B 两点,求 OA ? OB 的值.

uuu uuu r r

问题 2 已知直线 L 与椭圆

x2 y2 + = 1 交于 P,Q 不同两点,记 OP,OQ 的斜率分别为 a2 b2
b2 ,求 PQ 连线的中点 M 的轨迹方程. a2

kOP , kOQ ,如果 kOP ? kOQ = ?

问题 3 给定抛物线 C: y 2 = 4 x ,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点.

uuu r uuu v uuu v

uuu r

(I)设 l 的斜率为 1,求 OA 与 OB 夹角的大小; (II)设 FB = λ AF ,若 λ ∈ [4,9] ,求 l 在 y 轴上截距的变化范围.

问题 4 求同时满足下列三个条件的曲线 C 的方程: ①是椭圆或双曲线; ②原点 O 和直线 x = 1 分别为焦点及相应准线; ③被直线 x + y = 0 垂直平分的弦 AB 的长为 2 2 .

三 习题探 选择题 1 已知椭圆

x2 y 2 10 + = 1 的离心率 e = ,则实数 k 的值为 5 k 5
B,3 或
2 2

A,3

25 3
2 2

C, 5

D, 15 或

15 3

2 一动圆与两圆 x + y = 1 和 x + y + 8 x + 12 = 0 都外切,则动圆圆心的轨迹为 A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线

3 已知双曲线的顶点为 (2, ?1) 与(2,5),它的一条渐近线与直线 3 x ? 4 y = 0 平行,则双曲 线的准线方程是 A, y = 2 ±

9 5

B, x = 2 ±

9 5

C, y = 2 ±

12 5

D, x = 2 ±

12 5

4 抛物线 y 2 = 2 x 上的点 P 到直线 y = x + 4 有最短的距离,则 P 的坐标是 A,(0,0) B, (1, )

1 2

C, ( ,1)

1 2

D, ( , )

1 1 2 2

5 已知点 F ( , 0) ,直线 l : x = ?

1 4

1 ,点 B 是 l 上的动点.若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 4
D,抛物线

BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是 A,双曲线 B,椭圆 C,圆 填空题 6 椭圆

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 上的一点到左焦点的最大距离为 8,到右准线的最小距离 a2 b2
. .



10 ,则此椭圆的方程为 3

3 7 与方程 x = y 的图形关于 y = ? x 对称的图形的方程是

8 设 P 是抛物线 y 2 ? 4 y ? 4 x = 0 上的动点,点 A 的坐标为 (0, ?1) ,点 M 在直线 PA 上, 且分 PA 所成的比为 2:1,则点 M 的轨迹方程是

uuu v

.

9 设椭圆与双曲线有共同的焦点 F1 ( ?1, 0), F2 (1, 0) ,且椭圆长轴是双曲线实轴的 2 倍, 则椭圆与双曲线的交点轨迹是 解答题 .

10 已知点 H (?3, 0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,

且满足 HP ? PM = 0 , PM = ?

uuu uuuu v v

uuuu v

v 3 uuuu MQ . 2

(I)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C; (II)过点 T (?1, 0) 作直线 l 与轨迹 C 交于 A,B 两点,若在 x 轴上存在一点 E ( x0 , 0) , 使得 ?ABE 是等边三角形,求 x0 的值.

11 已知双曲线 C:

x2 y2 ? = 1 (a > 0, b > 0) ,点 B,F 分别是双曲线 C 的右顶点和右焦点, a2 b2 uuu uuu uuuv v v O 为坐标原点.点 A 在 x 轴正半轴上,且满足 OA , OB , OF 成等比数列,过点 F 作双曲

线 C 在第一,第三象限的渐近线的垂线 l ,垂足为 P. (I)求证: PA ? OP = PA ? FP ;

uuu uuu v v

uuu uuu v v

(II)设 a = 1, b = 2 ,直线 l 与双曲线 C 的左,右两分

uuuv DF 支分别相交于点 D,E,求 uuuv 的值. DE

12 已知双曲线的两个焦点分别为 F1 , F2 ,其中 F1 又是抛物线 y 2 = 4 x 的焦点,点 A (?1, 2) , B (3, 2) 在双曲线上. (I)求点 F2 的轨迹方程; (II)是否存在直线 y = x + m 与点 F2 的轨迹有且只

有两个公共点?若存在,求实数 m 的值,若不存在,请说明理由.

四 参考答案 问题 1 解:(1)当直线 AB ⊥ x 轴时,在 y = 2 x 中,令 x =
2

uuu uuu v v 1 1 1 1 3 A( ,1), B ( , ?1) ,得 OA ? OB = ( ,1) ? ( , ?1) = ? . 2 2 2 2 4

1 ,有 y = ±1 ,则 2

(2)当直线 AB 与 x 轴不互相垂直时,设 AB 的方程为: y = k ( x ? )

1 2

1 ? 1 ? y = k(x ? ) 由? 2 ,消去 y ,整理得 k 2 x 2 ? (k 2 + 2) x + k 2 = 0 ,显然 k ≠ 0 . 4 ? y2 = 2 ?
设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 x1 + x2 =

k2 + 2 1 , x1 ? x2 = ,得 2 k 4

uuu uuu v v 1 1 OA ? OB = ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) = x1 ? x2 + y1 y2 = x1 ? x2 + k ( x1 ? ) ?k ( x2 ? ) 2 2
k2 1 = (1 + k ) x1 ? x2 ? ( x1 + x2 ) + k 2 2 4
2

=

1 k2 k2 + 2 1 3 (1 + k 2 ) ? ? 2 + k 2 = ? . 4 2 k 4 4

综(1),(2)所述,有 OA ? OB = ?

uuu uuu v v

3 . 4

问题 2 解:设点 P,Q,M 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) , ( x, y )

x12 y12 x2 2 y2 2 由条件知 2 + 2 = 1 ① 2 + 2 = 1 ② a b a b x= x1 + x2 y + y2 yy b2 ,y= 1 ③ 1 2 =? 2 2 2 x1 x2 a x12 + x2 2 y12 + y2 2 + =2 a2 b2


y p x o Q

①+②得



( x1 + x2 ) 2 ( y1 + y2 ) 2 2 x1 x2 2 y1 y2 4x2 4 y 2 + ? 2 ? 2 = 2 ,将③,④代入得 2 + 2 = 2 , a2 b2 a b a b

于是点 M 的轨迹方程为

x2 y 2 + = 1. a 2 b2 2 2

问题 3 解:(I)C 的焦点为 F(1,0),直线 l 的斜率为 1,所以 l 的方程为 y = x ? 1 , 把它代入 y 2 = 4 x ,整理得 x ? 6 x + 1 = 0
2

设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) 则有 x1 + x2 = 6, x1 x2 = 1 .

uuu uuu v v OA ? OB = ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) = x1 x2 + y1 y2 = 2 x1 x2 ? ( x1 + x2 ) +1= ?3 .
uuu uuu v v OA OB = x12 + y12 ? x2 2 + y2 2 = x1 x2 [ x1 x2 + 4( x1 + x2 ) + 16] = 41

uuu uuu v v uuu uuu v v OA ? OB 3 41 cos < OA, OB >= uuu uuu = ? , v v 41 OA OB
所以 OA 与 OB 夹角的大小为 π ? arccos

uuu v

uuu v

3 41 . 41

(II)由题设 FB = λ AF 得 ( x2 ? 1, y2 ) = λ (1 ? x1 , ? y1 ) ,即 ?
2 2 2 2 2 2

uuu v

uuu v

? x2 ? 1 = λ (1 ? x1 ) . ? y2 = ?λ y1

得 y2 = λ y1 ,又 y1 = 4 x1 , y2 = 4 x2 ,有 x2 = λ x1 ,可解得 x2 = λ ,由题意知 λ > 0 , 得 B (λ , 2 λ ) 或 (λ , ?2 λ ) ,又 F(1,0),得直线 l 的方程为

(λ ? 1) y = 2 λ ( x ? 1) 或 (λ ? 1) y = ?2 λ ( x ? 1) ,
当 λ ∈ [4,9] 时, l 在 y 轴上的截距为

2 λ 2 λ 2 λ 2λ 2 或? ,由 = + ,可知 λ ?1 λ ?1 λ ?1 λ +1 λ ?1

2 λ 3 2 λ 4 4 2 λ 3 在[4,9]上是递减的,于是 ≤ ≤ ,? ≤ ? ≤? , λ ?1 λ ?1 4 λ ?1 3 3 4
所以直线 l 在 y 轴上的截距为[ ?

4 3 3 4 , ? ] U[ , ] . 3 4 4 3

问题 4 解:设 M ( x, y ) 为曲线 C 上任一点,曲线 C 的离心率为 e (e > 0, e ≠ 1) ,由条件①,②得

x2 + y2 = e ,化简得: (1 ? e2 ) x 2 + y 2 + 2e2 x ? e2 = 0 x ?1
设弦 AB 所在的直线方程为 y = x + m (ii)代入(i)整理后得: (2 ? e 2 ) x 2 + 2( m + e 2 ) x + m 2 ? e 2 = 0 可知 e = 2 不合题意,有 2 ? e ≠ 0 ,
2 2

(i) (ii) (iii),

设弦 AB 的端点坐标为 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,AB 的中点 P ( x0 , y0 ) .则 x1 , x2 是方程(iii)的两根.

x1 + x2 = ?

2(m + e2 ) 2(m + e 2 ) + 2m , y1 + y2 = ( x1 + m) + ( x2 + m) = ? 2 ? e2 2 ? e2

x0 =

x1 + x2 m + e 2 y + y2 (m + 1)e 2 ? m = 2 , y0 = 1 = ,又中点 P ( x0 , y0 ) 在直线 x + y = 0 上, 2 e ?2 2 e2 ? 2



m + e 2 (m + 1)e 2 ? m + =0,解得 m = ?2 ,即 AB 的方程为 y = x ? 2 ,方程(iii)为 e2 ? 2 e2 ? 2

(2 ? e 2 ) x 2 + 2(e2 ? 2) x + 4 ? e2 = 0 ,它的 ? = 8(e 2 ? 2) > 0 ,得 e2 > 2 . x1 + x2 = ? 2(?2 + e 2 ) 4 ? e2 = 2 , x1 ? x2 = 2 ? e2 2 ? e2
2

由 AB = 1 + k
2 2

x1 ? x2 ,得 AB 2 = ( x1 ? x2 ) 2 (1 + k 2 ) = [( x1 + x2 )2 ? 4 x1 x2 ](1 + k 2 )
4 ? e2 )(1 + 12 ) ,得 e2 = 4 > 2 ,将它代入(i)得 3 x 2 ? y 2 ? 8 x + 4 = 0 . 2 ? e2

即 (2 2) = (2 ? 4 ?

4 ( x ? )2 2 3 ? y =1. 所求的曲线 C 的方程为双曲线方程: 4 4 9 3 25 1 焦点在 x 轴得 k = 3 ;焦点在 y 轴得 k = ,选 B. 3
2 设圆心 O(0,0), O1 ( ?4, 0) , O 为动圆的圆心,则 O 'O1 ? O 'O = ( r + 4) ? ( r + 1) = 3 ,选 C.
'

3 知双曲线的中心为(2,2),由 3 x ? 4 y = 0 变形得

y 2 x2 ? = 0 ,于是所求双曲线方程为 9 16

( y ? 2)2 ( x ? 2) 2 9 9 ? = 1 ,它的准线为 y ? 2 = ± ,即 y = 2 ± ,选 A. 9 16 5 5
4 设直线 y = x + m 与 y 2 = 2 x 相切,联立整理得 x 2 + 2( m ? 1) x + m 2 = 0 , 由 ? = 4( m ? 1) 2 ? 4m 2 = 0 ,得 m =

1 1 ,这时得切点( ,1),选 B. 2 2

5 由 MF = MB 知点 M 的轨迹是抛物线,选 D.

?a + c = 8 8 ? 2 6 可得 ? a 2 10 ,消去 c ,整理得 3a ? 7 a ? 40 = 0 ,有 a = 5 或 ? (舍去),得 c = 3 , 3 ? ?a = 3 ?c

b = 4 ,所以所求的椭圆方程为

x2 y 2 + =1. 25 16

7 设点 P ( x, y ) 是所求曲线上任一点,它关于 y = ? x 对称的点 P ' ( ? y , ? x ) 在 x = y 3 上, 有 ? y = ( ? x ) ,即 y = x .
3 3

8 设点 P ( x0 , y0 ) ,M ( x, y ) ,有 x =
2

x0 + 2 × 0 y + 2 × (?1) ,y= 0 ,得 x0 = 3 x , y0 = 3 y + 2 3 3

而 y0 ? 4 y0 ? 4 x0 = 0 ,于是得点 M 的轨迹方程是 9 y 2 ? 12 x ? 4 = 0 . 9 由条件可得 PF1 = 3 PF2 或 PF2 = 3 PF1 ,设 P ( x, y ) 代入可知交点的轨迹是两个圆. 10 解:(I) 设点 M ( x, y ) ,由 PM = ? 由 HP ? PM = 0 ,得 (3, ?

uuuu v

uuu uuuu v v

v 3 uuuu y x MQ ,得 P (0, ? ), Q ( , 0) 2 2 3

y 3y ) ? ( x, ) = 0, 所以 y 2 = 4 x .又点 Q 在 x 轴的正半轴上,得 x > 0 . 2 2

所以,动点 M 的轨迹 C 是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点. (II)设直线 l : y = k ( x + 1) ,其中 k ≠ 0 ,代入 y 2 = 4 x ,整理得 k 2 x 2 + 2( k 2 ? 2) x + k 2 = 0 ① 设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) , x1 + x2 = ?

2(k 2 ? 2) , x1 x2 = 1 , y1 + y2 = k ( x1 + 1) + k ( x2 + 1) k2

= k ( x1 + x2 ) + 2k =

4 2 ? k2 2 ,有 AB 的中点为 ( , ), k k2 k 2 1 2 ? k2 2 2 = ? ( x ? 2 ) ,令 y = 0 , x0 = 2 + 1 ,有 E ( 2 + 1, 0) k k k k k

AB 的垂直平分线方程为 y ?

由 ?ABE 为正三角形,E 到直线 AB 的距离为

3 4 1? k 2 AB ,知 AB = ? 1+ k 2 . 2 2 k



2 3 1? k 2 2 1+ k 2 3 11 = ,解得 k = ± ,所以 x0 = . 2 k k 2 3 a ( x ? c) b

11(I)证明:直线 l 的方程为: y = ?

a ? ? y = ? b ( x ? c) uuu uuu uuuv v v a 2 ab ? 由? ,得 P ( , ) ,又 OA , OB , OF 成等差数列, c c ?y = b x ? a ?
得 A(

uuu v v a 2 ab uuu v a2 ab uuu b 2 ab ,0),有 PA = (0, ? ), OP = ( , ), FP = ( ? , ) , c c c c c c

于是 PA ? OP = ?

uuu uuu v v

v v uuu uuu uuu uuu v v v v a 2b 2 uuu uuu a 2b 2 , PA ? FP = ? 2 ,因此 PA ? OP = PA ? FP . 2 c c
1 5 , l : y = ? ( x ? 5) 2

(II)由 a = 1, b = 2 ,得 c =

1 ? ? y = ? 2 ( x ? 5) ? 2 由? ,消去 x ,整理得 15 y ? 16 5 y + 16 = 0 2 ? x2 ? y = 1 ? ? 4



设 D ( x1 , y1 ) ,E ( x2 , y2 ) ,由已知有 y1 > y2 ,且 y1 , y2 是方程①的两个根.

y1 + y2 =

16 5 16 y1 y2 ( y1 + y2 ) 2 ? 2 y1 y2 10 y 1 , y1 y2 = , + = = ,解得 2 = 3 或 . y1 y2 y1 15 15 y2 y1 3 3

uuuv DF y2 1 y1 1 3 = ,因此 uuuv = = = . 又 y1 > y2 ,得 y1 3 y1 ? y2 1 ? y2 2 DE y1
12 解:(I) F1 (1, 0) , AF1 = BF2 = 2 2 ,设 F2 ( x, y ) 则

AF1 ? AF2 = BF1 ? BF2 = 2a > 0 ,去掉绝对值号有两种情况,分别得 F2 的轨迹
方程为 x = 1 和

( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 + = 1 ( y ≠ 0, y ≠ 4 ) 8 4 ( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 + =1 8 4

(II)直线 l1 : x = 1 , l2 : y = x + m ,D(1,4),椭圆 Q:

①若 l2 过点 F1 或 D,由 F1 ,D 两点既在直线 l1 上,又在椭圆 Q 上,但不在 F2 的轨迹上, 知 l2 与 F2 的轨迹只有一个公共点,不合题意. ②若 l2 不过 F1 ,D 两点( m ≠ ?1, m ≠ 3 ).则 l2 与 l1 必有一个公共点 E,且点 E 不在椭圆 Q 上, 所以要使 l2 与 F2 的轨迹有且只有两个公共点,必须使 l2 与 Q 有且只有一个公共点, 把 y = x + m 代入椭圆的方程并整理得 3 x 2 ? (10 ? 4m) x + 2m 2 ? 8m + 1 = 0 由 ? = 0 ,得 m = 1 ± 2 3 .


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