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抛物线基础知识


抛物线
1.抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线。 2.抛物线的性质:抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表: 标准 方程

y 2 ? 2 px ( p ? 0) y

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)
y

x2 ? 2 py ( p ? 0) y
F

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

l
图形

l

o F
p ( , 0) 2 p x?? 2 x?0

x

F o

x

l

o
p (0, ) 2 p y?? 2 y?0
y轴

x
p (0, ? ) 2 p y? 2 y?0
y轴

焦点 坐标 准线 方程 范围 对称 性 顶点 离心 率 焦半 径 焦点 弦公 式

(?

p , 0) 2 p x? 2 x?0

x轴
(0, 0)
e ?1
PF ? p ? x0 2

x轴
(0, 0)
e ?1
PF ? p ? x0 2

(0, 0)
e ?1
PF ? p ? y0 2

(0, 0)
e ?1
PF ? p ? y0 2

AB ? p ? ( x1 ? x2 ) AB ? p ? ( x1 ? x2 )

AB ? p ? ( y1 ? y2 )

AB ? p ? ( y1 ? y2 )

6.直线与抛物线的位置关系

当 a=0 时,直线与抛物线对称轴平行(重合),有一个公共点,是相交

练习: 1. y 2 ? ax(a ? 0) 的焦点坐标是

2. y ? 4 x2 的焦点坐标是

准线方程是

3. 顶点在原点,焦点为(0,-2)的抛物线的方程为 4. 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 点 ? ?2, 到其焦点的距离是 5,则 p=_______ 3? 5.根据下列条件写出抛物线的标准方程 (1) 焦点是 F(3,0) (2) 准线方程是 x ? ?

1 4

(3) 焦点到准线距离是 2

6.求顶点在原点,对称轴为坐标轴,过点(2,-8)的抛物线方程,并指出焦点和准线。

7.垂直于 x 轴的直线交抛物线 y 2 ? 4 x 点 A,B,且??? ? 3 ,求直线 AB 的方程 ??

8.抛物线的顶点在原点,焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上,求抛物线的标准方程

9.过抛物线 y ? 20 x 的焦点作倾角为
2

3? 的弦,此弦的长度是 4

10.已知动点 M 到定点 A(1,0)与定直线 x=3 的距离之和等于 4,求点 M 的轨迹方程。


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