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2013届高三理科数学高考专题训练22 三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题 Word版含答案]


高考专题训练二十二 三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题
班级_______ 姓名_______ 时间: 45 分钟 分值: 50 分 总得分________

?1 π? 1.(12 分)(2011· 广东卷)已知函数 f(x)=2sin?3x-6?,x∈R. ? ? ?5π? (1)求 f? 4 ?的值; ? ? ? π? ? π?

10 6 (2)设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β) 5 ? ? ? ? 13

的值. 分析: 本题考查运用三角公式化简求值. (1)f(x)的解析式已给出,
?5π? ? π? 10 6 求 f? 4 ?即可;(2)先化简 f?3α+2?= ,f(3β+2π)= ,再结合 α,β 5 ? ? ? ? 13 ? π? ∈?0,2?求 cosα 与 sinβ,代入即得 cos(α+β)的值. ? ? ?1 π? 解:(1)∵f(x)=2sin?3x-6?, ? ? ?5π? ?5π π? π ∴f? 4 ?=2sin?12-6?=2sin = 2. 4 ? ? ? ? ? π? ? π? 10 6 (2)∵α,β∈?0,2?,f?3α+2?= ,f(3β+2π)= , 5 ? ? ? ? 13

∴2sinα= ∴cosα=

? π? 6 10 5 3 ,2sin?β+ 2?= ,即 sinα= ,cosβ= , 13 13 5 ? ? 5

12 4 ,sinβ= , 13 5 12 3 5 4 16 × - × = . 13 5 13 5 65

∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=

2.(12 分)(2011· 重庆卷)如图,在四面体 ABCD 中,平面 ABC⊥ 平面 ACD,AB⊥BC,AD=CD,∠CAD

=30° . (1)若 AD=2,AB=2BC,求四面体 ABCD 的体积; (2)若二面角 C-AB-D 为 60° ,求异面直线 AD 与 BC 所成角的 余弦值. 分析: 本小题主要考查面面垂直的性质、 四面体的体积计算公式、 二面角的意义与异面直线所成的角的意义及求法.在具体处理过程 中,可围绕线面垂直的性质定理去考虑,从而添加相关的辅助线,由 此求得相关几何体的体积; 在求异面直线所成的角的过程中, 注意根 据异面直线所成角的意义, 考虑平移其中一条或两条直线, 从而将问 题转化为求两条相交直线的夹角问题. 也可考虑通过建立坐标系的方 式解决相关问题. 解:(1)如图所示,设 F 为 AC 中点, 连接 FD, 由于 AD=CD, 所以 DF⊥AC. 又由平面 ABC⊥平面 ACD,知 DF⊥平 面 ABC,即 DF 是四面体 ABCD 的面 ABC 上的高,且 DF=ADsin30° =1,AF=ADcos30° = 3. 在 Rt△ABC 中,因 AC=2AF=2 3,AB=2BC,由勾股定理易 知 BC= 2 15 4 15 ,AB= . 5 5

1 1 1 4 15 2 15 故四面体 ABCD 的体积 V= · S△ABC· DF= × × × = 3 3 2 5 5 4 . 5 (2)解法一:如图所示,设 G,H 分别与边 CD,BD 的中点,则 FG∥AD,GH∥BC,从而∠FGH 是异面直线 AD 与 BC 所成的角或 其补角.

设 E 为边 AB 的中点,则 EF∥BC,由 AB⊥BC,知 EF⊥AB. 又由(1)知 DF⊥平面 ABC,故由三垂线定理知 DE⊥AB.所以∠DEF 为二面角 C-AB-D 的平面角.由题设知 ∠DEF=60° . a 设 AD=a,则 DF=AD· sin∠CAD= . 2 3 a 3 在 Rt△DEF 中,EF=DF· cot∠DEF= · = a, 2 3 6 1 3 从而 GH= BC=EF= a. 2 6 因 Rt△ADE≌△BDE,故 BD=AD=a, 1 a 从而,在 Rt△BDF 中,FH= BD= . 2 2 1 a 又 FG= AD= ,从而在△FGH 中,因 FG=FH,由余弦定理 2 2 得 FG2+GH2-FH2 GH 3 cos∠FGH= = = . 2FG· GH 2FG 6 因此,异面直线 AD 与 BC 所成 角的余弦值为 3 . 6

解法二: 如图所示, 过 F 作 FM ⊥AC, 交 AB 于 M, 已知 AD=CD, 平面 ABC⊥平面 ACD,易知 FC, FD,FM 两两垂直.以 F 为原点, 射线 FM,FC,FD 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正半轴,建立空间直 角坐标系 F-xyz. 不妨设 AD=2,由 CD=AD,∠CAD=30° ,易知点 A,C,D → 的坐标分别为 A(0,- 3,0),C(0, 3,0),D(0,0,1),则AD=(0,

3,1). 显然向量 k=(0,0,1)是平面 ABC 的一个法向量. 已知二面角 C-AB-D 为 60° ,故可取平面 ABD 的一个单位法 1 向量 n=(l,m,n),使得〈n,k〉=60° ,从而 n= . 2 → 3 由 n⊥AD,有 3m+n=0,从而 m=- . 6 6 由 l2+m2+n2=1,得 l=± . 3 → → → 6 设点 B 的坐标为 B(x,y,0),由AB⊥BC,n⊥AB,取 l= ,有 3

?x +y =3, ? 6 3 x - ?y+ ?3 6

2

2

3?=0,

?x=4 9 6, 解之得,? 7 3 ?y= 9

? ?x=0, 或? (舍去). ?y=- 3 ?

易知 l=-

6 与坐标系的建立方式不合,舍去. 3

→ ?4 6 7 3 ? 因此点 B 的坐标为? , ,0?.所以CB 9 ? 9 ? → → ?4 6 ? AD· CB 2 3 ? ? = = ,- ,0 . 从 而 cos 〈 AD , CB 〉 = 9 → → ? 9 ? |AD||CB| 3×?- 3+1× 2 3? ? 9 ? 3 ? =- . 6 ?4 6?2 ? 2 3?2 ? ? +?- ? 9 ? ? 9 ? ?
?

→ →

故异面直线 AD 与 BC 所成的角的余弦值为

3 . 6

3.(13 分)(2011· 浙江卷)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC, D 为 BC 的中点,PO⊥平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上.已知 BC =8,PO=4,AO=3,OD=2.

(1)证明:AP⊥BC; (2)在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A-MC-B 为直二 面角?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由. 分析:此题主要考查了线线位置关系和二面角的求解,对(1)问线 线垂直的证明易入手,利用线面垂直即可 进行证明; 对(2)问可采用空间直角坐标向 量法进行处理; 解题时对(2)问要注意恰当 建立坐标系,恰当设参数,从而有效快速 求解. 解:方法一:(1)如图,以 O 为原点, 以射线 OP 为 z 轴的正半轴,建立空间直 角坐标系 O-xyz. 则 O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4), → → → → → → AP=(0,3,4), BC=(-8,0,0), 由此可得AP· BC=0, 所以AP⊥BC,

即 AP⊥BC. → → → (2)设PM=λPA,λ≠1,则PM=λ(0,-3,-4). → → → → → BM=BP+PM=BP+λPA= (-4,-2,4)+λ(0,-3,-4)=(-4,-2-3λ,4-4λ), → → AC=(-4,5,0),BC=(-8,0,0). 设平面 BMC 的法向量 n1=(x1,y1,z1), 平面 APC 的法向量 n2=(x2,y2,z2). → ? ?BM· n1=0, 由? → ? ?BC· n1=0,
? ?-4x1-?2+3λ?y1+?4-4λ?z1=0, 得? ?-8x1=0, ?

x =0, ? ?1 即? 2+3λ z = 1 ? 4-4λy1, ? → ? ?AP· n2=0, 由? → ? ?AC· n2=0, 5 ? x = 2 ? 4y2, 得? 3 ? z =- y, 2 ? 4 2

? 2+3λ? ?. 可取 n1=?0,1, 4-4λ? ?

? ?3y2+4z2=0, 即? ? ?-4x2+5y2=0,

可取 n2=(5,4,-3).

2+3λ 由 n1· n2=0,得 4-3· =0, 4-4λ

2 解得 λ= ,故 AM=3. 5 综上所述,存在点 M 符合题意,AM=3. 方法二:(1)由 AB=AC,D 是 BC 的中点,得 AD⊥BC. 又 PO⊥平面 ABC,得 PO⊥BC. 因为 PO∩AD=O,所以 BC⊥平面 PAD, 故 BC⊥PA. (2)如图,在平面 PAB 内作 BM⊥PA 于 M,连接 CM. 由(1)中知 PA⊥BC,得 AP⊥平面 BMC. 又 AP?平面 APC,所以平面 BMC ⊥平面 APC. 在 Rt△ADB 中,AB2=AD2+BD2 =41,得 AB= 41. 在 Rt△POD 中,PD2=PO2+OD2, 在 Rt△PDB 中,PB2=PD2+BD2, 所以 PB2=PO2+OD2+DB2=36,得 PB=6. 在 Rt△POA 中,PA2=AO2+OP2=25,得 PA=5. PA2+PB2-AB2 1 又 cos∠BPA= = , 2PA· PB 3 从而 PM=PBcos∠BPA=2,所以 AM=PA-PM=3. 综上所述,存在点 M 符合题意,AM=3. 4.(13 分)(2011· 天津)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱 子里装有 3 个白球, 2 个黑球, 乙箱子里装有 1 个白球, 2 个黑球, 这 些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个

球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回 原箱). (1)求在 1 次游戏中; (ⅰ)摸出 3 个白球的概率; (ⅱ)获奖的概率; (2)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X). 解:(1)(ⅰ)设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai=(i= 0,1,2,3),则
1 C2 1 3 C2 P(A3)= 2· 2= . C5 C3 5

(ⅱ)设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B,则 B=A2∪A3.又 P(A2)
2 1 1 C2 C1 1 3 C2 3C2 C2 = 2· 2+ 2 · 2= . C5 C3 C5 C3 2

1 1 7 且 A2,A3 互斥,所以 P(B)=P(A2)+P(A3)= + = . 2 5 10 (2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2.
? 7? 9 P(X=0)=?1-10? = . 100 ? ?
2

7 ? 21 7? ?1- ?= . P(X=1)=C1 2 10? 10? 50
?7? 49 P(X=2)=?10? = . 100 ? ?
2

所以 X 的分布列是 X P 0 9 100 1 21 50 2 49 100

X 的数学期望 E(X)=0×

9 21 49 7 +1× +2× = . 100 50 100 5


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