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法向量(学生)


向量法在立体几何中的应用 一、用向量法处理空间角问题
一)用向量求两条异面直线所成的角 求异面直线 m, n 所成的角,我们只需要分别在直线 ? ? m, n 上取定方向向量 a,b , 则异面直线 m, n 所成的角 ? ? ? 等于向量 a, b 所成的角或其补角(如图 1 所示) ,即
C a

A

n
m
b B

n
D 图1
P

cos? ? cos ? a, b ? ?

a ?b a?b


B A D 图2 P C
?
?

?ABC ? 90 , 【例题】 如图 2, 底面 ABCD 为直角梯形,
?

PB ? 面 ABCD , BA ? BC ? BP ? 2CD ? 2 , E 为 PD

C

的中点。求异面直线 BD 与 PA 所成角的大小 二)用向量求直线与平面所成的角 如图 4,求直线 L 和平面

L

? 所成的角,只需在 L

n

上 取 定 CP , n 是 平 面 ? 的 法 向 量 , 再 求
cos ? ? | CP ? n | | CP | ? | n |

?

图4 P

,则 ? ?

?
2

? ? 为所求的角.

?ABC ? 90? , 【例题】 如图 5, 底面 ABCD 为直角梯形,
PB ? 面 ABCD , ? BC ? BP ? 2CD ? 2 , 为 PD 的 E BA
B C A D 图5

中点,求直线 CP 与面 ADP 所成角的大小; 三)用向量求二面角的大小 如图 7,求平面 ? 和 ? 的二面角的平面角的大小,设 二面角的 n1 ,n2 分别为二面角的两个半平面的法向量, 大小转化为两个法向量的夹角或它的补角;可由

?

n1
?
图7

n2

?

1

cos? ? cos ? n1 , n2 ? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

求得 ? 值, 再观察二面角,

P

若是锐二面角则二面角大小 ? ? ? , 若二面角为钝二面角 则二面角大小 ? ? ? ? ? 。而在几何法中,求二面角的平 面角的大小,首先得找出平面角是哪个,这是比较困难 的事情。
C B A D 图8

【例题】如图 8,底面 ABCD 为直角梯形, ?ABC ? 90? , PB ? 面 ABCD ,
BA ? BC ? BP ? 2CD ? 2 , E 为 PD 的中点,求面 CDP 与面 ADP 所成二面角的

大小。

二、用向量法处理空间距离问题
一)求两点之间的距离 用向量求两点间的距离,可以先求出以这两点为始点和终点的向量,然后 求出该向量的模,则模就是两点之间的距离. 【例题】已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 是 AD1 的中点,Q 是 BD 上一
1 点,DQ= DB,求 P、Q 两点间的距离. 4
P

二)求点到直线之间的距离 如图 11,P 为直线 a 外一点,Q 为 a 上任意一点, PO⊥a 于点 O,所以点 P 到直线 a 的距离为|PO|=d.
O

图 11

Q

a

, 则有 QP ? QO ? QP ? QO ? cos ? QP QO ? ,所以 cos ? QP QO ?? ,
d ? PO ? PQ ? sin ?PQO ? QP ? sin ? QP, ? QO

QP ? QO QP ? QO



? ? ? QP ? QO ? 2 ? QP ? 1 ? cos ? QP, ? ? QP ? 1 ? ? QO ? ? ? QP ? QO ? ? ?
2

2

2

QP

?QP ? QO? ?
2

2

QO

【例题】在长方体 OABC-O1A1B1C1 中,OA=2,AB=3,AA1=2.求点 O1 到直线 AC 的距 离. 三)求点到平面的距离 如图 13,设 A 是平面α 外一点,AB 是平面α 的 一条斜线,交平面α 于点 B,而 n 是平面α 的法向 量,那么向量 BA 在 n 方向上的射影长就是点 A 到 平面α 的距离 d,所以
α B d A

n

图 13

d ? BA ? cos ? BA, ? ? BA ? n

BA ? n BA ? n

?

BA ? n n
.

【例题】 如图 14,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2 ,AF=1,M 是线段 EF 的中点,N 为 AC 与 BD 的交点,求点 B 到平面 CMN 的距离. 四)求异面直线间的距离 如图 16,假设 a、b 是异面直线,平移直线 a 至 a′且交 b 于点 A,那么直线 a′和 b 确定平面α ,且直线 a∥α ,设
D E M C N F B

图 14

A

n ⊥ a , n ⊥ b ,即 n 为异面直线 a、b 的公垂线
的方向向量.所以异面直线 a 的 b 的距离等于 直线 a 上任意一点至平面α 的距离.若 F∈a, E ∈b,则异面直线 a、b 之间的距离
d ? EF ? cos ? EF , ? ? EF ? n EF ? n EF ? n ? EF ? n n
α a′ E A b

n

F

a



图 16

即为异面直线 a、b 之间的距离. 【例题】在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求异面直线 A1C1 与 B1C 的距离.
3

5)求直线与它平行平面及求两个平行平面之间的距离 求直线与它平行平面及两个平行平面之间的距离可以转化为求点到 平面的距离,即运用 d ?
BA ? n n

求它们之间的距离.

【例题】设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,M、N、E、F 分别是 A1B1、A1D1、B1C1 C1D1 的中点.求平行平面 AMN 与平面 EFDB 的距离.

三、用空间向量证明垂直与平行
一)证明线与线垂直 证明直线与直线垂直,可转化为证明

? n
a b
? m

图 18

? ? 两条直线的方向向量互相垂直。(如图 18),设 m , n 分别是直线 a,b 的方向 ? ? 向量,则证明直线 a,b 垂直,只需说明 m ? n ? 0 即可。

【例题】 设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,求证 A1C1 ? BD 二)证明线与面垂直

l
A C n B N

m

D O 证明直线与平面垂直, 可转化为证明 ? 直线的方向向量与平面的法向量垂直(如 M ?? ?? ???? 图 20 图 20)。设 直线m、n ? ? , ABCD 分别是 , 直线 m、n 的方向向量,直线 l 与平面 ? 相交, MN 是 l 的方向向量,要证明 ???? ??? ? ? ? MN ? AB ? 0 ? l ? ? , 只需证明 ? ???? ??? ,或证明直线MN的方向向量与平面的法向量共线即可。 ? ? ? MN ? CD ? 0 ? 【例题】已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BB1 的中点,F 是 CD 的中点。

求证:D1F⊥平面 ADE 三)证明面与面垂直 证明平面与平面垂直,可转化为证明这两个平面的法向量互相垂直(如 ? ? ? ? 图)。 设平面 ?、? 的法向量分别为 m、n , 欲证 ? ? ? , 只需证明 m ? n =0 即可。
4

?

? m

P

? n
D

N C M A B

?

图 23 ,M、

【例题】如图 23,已知 ABCD 是矩形,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=a,AD= N 分别是 AD、PB 的中点,求证:平面 MNC⊥平面 PBC。 四)证明线与面平行

证明直线与平面平行,可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 ? ? (如图 25),设直线 l 的方向向量为 v , 平面 ? 的法向量 n ?? ? ? ? ? 为 n ,则只要说明: v ? n ? 0 ? l // ? ;或者说明: v ? v ? ? MN 。 【例题】已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F 分别是 BB1、DD1 的中点,求证:FC1//平面 ADE M N 五)证明面与面平行

?

图 25

证明平面与平面平行,可转化为证明这两个平面的法向量平行(如图)。 ?? ? ? ? ? ? ? 设平面 ? 的方向向量为 m , 平面 ? 的法向量为 n ,则只要说明 m ? n 或 m ? ?n ? ? m n

?

?

【例题】在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,M、N 分别是棱 A1 B1 、 A1 D1 的中点,E、 F 分别是棱 B1C1 、 C1 D1 的中点,求证:平面 AMN//平面 BDFE。

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