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上海市徐汇区2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(解析版) - 副本 (2)


2015-2016 学年上海市徐汇区高二(上)期末数学试卷
一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共 12 小题,每个空格填对得 3 分,否则一律得 0 分. 1.直线 3x﹣4y﹣5=0 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示) 2.若 =(﹣5,4) , =(7,9) ,则与 同向的单位向量的坐标是 . 3.若线性方程组的增广矩阵为 ,解为 ,则 a+b= .



4.行列式中

中元素﹣3 的代数余子式的值为 7,则 k=



5.以点 P(3,4)和点 Q(﹣5,6)为一条直径的两个端点的圆的方程是
2 2

. 6.若顶点在原点的抛物线的焦点与圆 x +y ﹣4x=0 的圆心重合,则该抛物线的准线方程 为 . 7.在△ABC 中,|AB|=3,|BC|=7,|CA|=5,则 在 方向上的投影是 . 2 2 8.已知双曲线 kx ﹣y =1 的一条渐进线的方向向量 =(2,﹣1) ,则 k= . 9.在正三角形 ABC 中,D 是 BC 上的点,AB=3,BD=1,则 = . 10.已知 F1、F2 是双曲线 C: 点,且 ⊥ ﹣ =1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是双曲线 C 上一

,若△PF1F2 的面积为 16,则 b=



11.若点 O 和点 F 分别为椭圆

+y2=1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则

|OP|2+|PF|2 的最小值为 . 12.在平面直角坐标系中,两个动圆均过点 A(1,0)且与直线 l:x=﹣1 相切,圆心分别 为 C1、C2,若动点 M 满足 2 = + ,则 M 的轨迹方程为 .

二、本大题共 4 小题,每小题 4 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 13.“ ”是“方程组 有唯一解”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 14.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是(



第 1 页(共 15 页)

A.4

B.5

C.6

D.7

15.已知集合 P={(x,y)||x|+2|y|=5},Q={(x,y)|x2+y2=5},则集合 P∩Q 中元素的 个数是( ) A.0 B.2 C.4 D.8 16.已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为 y=± x(a>0,b>0) ,若双曲线上有 一点 M(x0,y0) ,使 b|x0|<a|y0|,则该双曲线的焦点( A.在 x 轴上 B.在 y 轴上 C.当 a>b 时,在 x 轴上 D.当 a>b 时,在 y 轴上 )

三、解答题(本大题满分 48 分)本大题共 5 小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 17.已知: 、 、 是同一平面内的三个向量,其中 =(1,2) (1)若| |=2 ,且 ∥ ,求 的坐标; (2)若| |= ,且 +2 与 2 ﹣ 垂直,求 与 的夹角 θ. ) ,并且与直线 l0:x﹣ y+2=0 的夹角为 ,求直线 l

18.已知直线 l 经过点 P(﹣2, 的方程. 19.如图所示,A(2

,0) 、B、C 是椭圆 E:

+

=1(a>b>0)上的三点,BC 过

椭圆 E 的中心且斜率为 1,椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形. (1)求椭圆 E 的方程; (2)求△ABC 的面积.

第 2 页(共 15 页)

20. 如图所示的封闭区域的边界是由两个关于 x 轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲 线组合而成的,其中上半圆所在圆的方程是 x2+y2﹣4y﹣4=0,双曲线的左右顶点 A、B 是该 圆与 x 轴的交点,双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于 x 轴的一条直径的两个端点. (1)求双曲线的方程; (2)记双曲线的左、右焦点为 F1、F2, 试在封闭区域的边界上求点 P,使得∠F1PF2 是直角.

21.对于曲线 C:f(x,y)=0,若存在非负实常数 M 和 m,使得曲线 C 上任意一点 P(x, y)有 m≤|OP|≤M 成立(其中 O 为坐标原点) ,则称曲线 C 为既有外界又有内界的曲线, 简称“有界曲线”,并将最小的外界 M0 成为曲线 C 的外确界,最大的内界 m0 成为曲线 C 的 内确界. (1)曲线 y2=4x 与曲线(x﹣1)2+y2=4 是否为“有界曲线”?若是,求出其外确界与内确界; 若不是,请说明理由; (2)已知曲线 C 上任意一点 P(x,y)到定点 F1(﹣1,0) ,F2(1,0)的距离之积为常 数 a(a>0) ,求曲线 C 的外确界与内确界.

第 3 页(共 15 页)

2015-2016 学年上海市徐汇区高二(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共 12 小题,每个空格填对得 3 分,否则一律得 0 分. 1.直线 3x﹣4y﹣5=0 的倾斜角的大小为 arctan 【考点】直线的倾斜角. 【分析】 根据所给的直线 3x﹣4y﹣5=0, 得到直线的斜率时 , 直线的斜率是倾斜角的正切, 得到 tanα= ,α∈[0,π],根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果. 【解答】解:∵直线 3x﹣4y﹣5=0, ∴直线的斜率时 , 直线的斜率是倾斜角的正切, ∴tanα= ,α∈[0,π], ∴α=arctan , 故答案为:arctan . (结果用反三角函数值表示)

2.若

=(﹣5,4) ,

=(7,9) ,则与

同向的单位向量的坐标是 (



) .

【考点】平行向量与共线向量. 【分析】根据坐标运算求出向量 【解答】解:∵ ∴ =(﹣5,4) , |= ,再求与 同向的单位向量 即可.

=(7,9) , =13;

=(12,5) ,|

∴与

同向的单位向量的坐标为

=(



) .

故答案为: (



) .

3.若线性方程组的增广矩阵为 【考点】几种特殊的矩阵变换.

,解为

,则 a+b= 2 .

第 4 页(共 15 页)

【分析】根据增广矩阵的定义得到 【解答】解:由题意知 即 , 是方程组

是方程组 的解,

的解,解方程组即可.

则 a+b=1+1=2, 故答案为:2.

4.行列式中

中元素﹣3 的代数余子式的值为 7,则 k=

3 .

【考点】三阶矩阵. 【分析】由题意可知求得 A12=﹣ =k+4,代入即可求得 k 的值.

【解答】解:由题意可知:设 A=



元素﹣3 的代数余子式 A12=﹣ ∴k+4=7, ∴k=3, 故答案为:3.

=k+4,

5.以点 P(3,4)和点 Q(﹣5,6)为一条直径的两个端点的圆的方程是 (x+1)2+(y ﹣5)2=17 . 【考点】圆的标准方程. 【分析】由中点坐标公式求出圆心,由两点间距离公式求出圆半径,由此能求出圆的方程. 【解答】解:∵点 P(3,4)和点 Q(﹣5,6) , ∴以点 P(3,4)和点 Q(﹣5,6)为一条直径的两个端点的圆的圆心为(﹣1,5) , 圆的半径 r= = = .

∴圆的方程为: (x+1)2+(y﹣5)2=17. 故答案为: (x+1)2+(y﹣5)2=17. 6.若顶点在原点的抛物线的焦点与圆 x2+y2﹣4x=0 的圆心重合,则该抛物线的准线方程为 x=﹣2 . 【考点】抛物线的标准方程;圆的一般方程. 【分析】由已知得抛物线的焦点 F(2,0) ,由此能求出该抛物线的准线方程. 【解答】解:∵顶点在原点的抛物线的焦点与圆 x2+y2﹣4x=0 的圆心重合, ∴抛物线的焦点 F(2,0) , ∴该抛物线的准线方程为 x=﹣2.
第 5 页(共 15 页)

故答案为:x=﹣2.

7.在△ABC 中,|AB|=3,|BC|=7,|CA|=5,则 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】利用余弦定理求出 A,则 【解答】解:cosA= =



方向上的投影是





的夹角为 π﹣A. =﹣ .





方向上的投影是|

|?cos(π﹣A)=3× = .

故答案为 .

8.已知双曲线 kx2﹣y2=1 的一条渐进线的方向向量 =(2,﹣1) ,则 k=



【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据题设条件知求出渐近线的斜率,建立方程求出 k. 【解答】解:∵双曲线 kx2﹣y2=1 的渐近线的一条渐近线的方向向量 =(2,﹣1) , ∴渐近线的斜率为 ∴k= . 故答案为: . = ,

9.在正三角形 ABC 中,D 是 BC 上的点,AB=3,BD=1,则 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】利用向量的加法法则化 【解答】解:如图,

=



,展开后利用数量积运算得答案.

∵AB=3,BD=1,∠B=60°, ∴ = 故答案为: .
第 6 页(共 15 页)

=

= .

10.已知 F1、F2 是双曲线 C: 点,且 ⊥



=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是双曲线 C 上一

,若△PF1F2 的面积为 16,则 b=

4 .

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】Rt△PF1F2 中,由勾股定理及双曲线的定义,△PF1F2 面积为 16,即可求出 b. 【解答】解:设|PF1|=m,|PF2|=n, ⊥ ,得∠F1PF2=90°,∴m2+n2=4c2,

△PF1F2 的面积为 16,∴mn=32 ∴4a2=(m﹣n)2=4c2﹣64, ∴b2=c2﹣a2=16, ∴b=4. 故答案为:4. +y2=1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则

11.若点 O 和点 F 分别为椭圆

|OP|2+|PF|2 的最小值为 2 . 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】先求出左焦点坐标 F,设 P(x,y) ,根据 P(x,y)在椭圆上可得到 x、y 的关系 2 2 式,表示出|OP| +|PF| ,再将 x、y 的关系式代入组成二次函数进而可确定答案. 【解答】解:由题意,F(﹣1,0) ,设点 P(x,y) ,则有 +y2=1,解得 y2=1﹣ ,

因为|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=x2+(x+1)2+2﹣x2=(x+1)2+2, 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x=﹣1, |OP|2+|PF|2 的最小值为 2. 故答案为:2. 12.在平面直角坐标系中,两个动圆均过点 A(1,0)且与直线 l:x=﹣1 相切,圆心分别 为 C1、C2,若动点 M 满足 2 【考点】轨迹方程. 【分析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为 y2=4x,利用 2 定坐标之间的关系,即可求出 M 的轨迹方程. 【解答】解:由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为 y2=4x, 设 C1(a,b) ,C2(m,n) ,M(x,y) ,则 ∵2 = + , = + ,确 = + ,则 M 的轨迹方程为 y2=2x﹣1 .

∴2(x﹣m,y﹣n)=(a﹣m,b﹣n)+(1﹣m,﹣n) , ∴2x=a+1,2y=b, ∴a=2x﹣1,b=2y,
第 7 页(共 15 页)

∵b2=4a, ∴(2y)2=4(2x﹣1) ,即 y2=2x﹣1. 故答案为:y2=2x﹣1. 二、本大题共 4 小题,每小题 4 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 13.“ ”是“方程组 有唯一解”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据两直线间的位置关系,从而得到答案. 【解答】解:由 ?a1 b2≠a2 b1, ?直线 a1x+b1y=c1 和直线 a2x+b2y=c2 不平行, ?方程组 故选:C. 14.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是( ) 有唯一解,

A.4

B.5

C.6

D.7

【考点】程序框图. 【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 k 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:当 S=0 时,满足继续循环的条件,故 S=1,k=1; 当 S=1 时,满足继续循环的条件,故 S=3,k=2; 当 S=3 时,满足继续循环的条件,故 S=11,k=3; 当 S=11 时,满足继续循环的条件,故 S=2059,k=4;
第 8 页(共 15 页)

当 S=2049 时,不满足继续循环的条件, 故输出的 k 值为 4, 故选:A 15.已知集合 P={(x,y)||x|+2|y|=5},Q={(x,y)|x2+y2=5},则集合 P∩Q 中元素的 个数是( ) A.0 B.2 C.4 D.8 【考点】交集及其运算. 【分析】做出 P 与 Q 中表示的图象,确定出两集合的交集,即可做出判断. 【解答】解:对于 P 中|x|+2|y|=5, 当 x>0,y>0 时,化简得:x+2y=5; 当 x>0,y<0 时,化简得:x﹣2y=5; 当 x<0,y>0 时,化简得:﹣x+2y=5; 当 x<0,y<0 时,化简得:﹣x﹣2y=5, 对于 Q 中,x2+y2=5,表示圆心为原点,半径为 的圆, 做出图形,如图所示, 则集合 P∩Q=?,即 P∩Q 中元素的个数是 0 个, 故选:A.

16.已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为 y=± x(a>0,b>0) ,若双曲线上有 一点 M(x0,y0) ,使 b|x0|<a|y0|,则该双曲线的焦点( A.在 x 轴上 B.在 y 轴上 C.当 a>b 时,在 x 轴上 D.当 a>b 时,在 y 轴上 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】利用题设不等式,令二者平方,整理求得 【解答】解:∵a|y0|>b|x0|≥0 ∴平方 a2y02>b2x02 ﹣ )

>0,即可判断出焦点的位置.

第 9 页(共 15 页)





>0

∴焦点在 y 轴 故选:B. 三、解答题(本大题满分 48 分)本大题共 5 小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 17.已知: 、 、 是同一平面内的三个向量,其中 =(1,2) (1)若| |=2 ,且 ∥ ,求 的坐标; (2)若| |= ,且 +2 与 2 ﹣ 垂直,求 与 的夹角 θ.

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系;平面向量共线(平行)的坐标表示;数量积 表示两个向量的夹角. 【分析】 (1)设 标. (2)由 ,知 ,整理得 ,故 ,由| |=2 ,且 ∥ ,知 ,由此能求出 的坐

,由此能求出 与 的夹角 θ.

【解答】解: (1)设 ∵| |=2 ∴ ,且 ∥ , ,…



解得



,…

故 (2)∵ ∴ 即 ∴ 整理得



.… , , ,… , ,…
第 10 页(共 15 页)

∴ 又∵θ∈[0,π],∴θ=π.…

,…

18.已知直线 l 经过点 P(﹣2,

) ,并且与直线 l0:x﹣

y+2=0 的夹角为

,求直线 l

的方程. 【考点】两直线的夹角与到角问题. 【分析】根据条件求出直线 l 的倾斜角,可得直线 l 的斜率,再用点斜式求得直线 l 的方程. 【解答】解:由于直线 l0:x﹣ 由于直线 l 和直线 l0:x﹣ y+2=0 的斜率为 ,故它的倾斜角为 , 或 ,

y+2=0 的夹角为 .

,故直线 l 的倾斜角为

故直线 l 的斜率不存在或斜率为﹣ 再根据直线 l 经过点 P(﹣2, 即 x=﹣2,或 x+ 如图: y﹣1=0.

) ,可得直线 l 的方程为 x=﹣2,或 y﹣

=﹣

(x+2) ,

19.如图所示,A(2

,0) 、B、C 是椭圆 E:

+

=1(a>b>0)上的三点,BC 过

椭圆 E 的中心且斜率为 1,椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形. (1)求椭圆 E 的方程; (2)求△ABC 的面积.

【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
第 11 页(共 15 页)

【分析】 (1)由题意可得 a=2 ,再由正三角形的条件可得 a= b,解得 b,进而得到椭 圆方程; (2)由题意写出 A 点坐标,直线 CB 方程,联立直线方程与椭圆方程可求得交点 C、B 的 纵坐标,S△ ABC= |OA|?|yB﹣yC|,代入数值即可求得面积. 【解答】解: (1)A 的坐标为(2 ,0) ,即有 a=2 , 椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形, 可得 a= b,解得 b=2, 则椭圆 E 的方程为 ,

(2)直线 BC 的方程为 y=x, 代入椭圆方程 x2+3y2=12,得 y=x=± ∴S△ ABC= |OA|?|yB﹣yC|= △ABC 的面积为 6. ×2

, =6,

20. 如图所示的封闭区域的边界是由两个关于 x 轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲 线组合而成的,其中上半圆所在圆的方程是 x2+y2﹣4y﹣4=0,双曲线的左右顶点 A、B 是该 圆与 x 轴的交点,双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于 x 轴的一条直径的两个端点. (1)求双曲线的方程; (2)记双曲线的左、右焦点为 F1、F2, 试在封闭区域的边界上求点 P,使得∠F1PF2 是直角.

【考点】圆锥曲线的实际背景及作用;双曲线的标准方程. 【分析】 (1)根据上半个圆所在圆的方程得出两圆的圆心与半径,再求出双曲线的顶点坐标 与标准方程; (2) 设点 P 的坐标, 根据∠F1PF2 是直角得出方程 x2+y2=8, 分别与双曲线和圆的方程联立, 即可求出点 P 的坐标,注意检验,排除不合题意的坐标. 【解答】解: (1)上半个圆所在圆的方程为 x2+y2﹣4y﹣4=0,圆心为(0,2) ,半径为 2 ; 则下半个圆所在圆的圆心为(0,﹣2) ,半径为 2 ; A B x 双曲线的左、右顶点 、 是该圆与 轴的交点,即为(﹣2,0) , (2,0) ,即 a=2, 由于双曲线与半圆相交于与 x 轴平行的直径的两端点,则令 y=2,解得 x=±2 , 即有交点为(±2 ,2) ; 设双曲线的方程为 ﹣ =1(a>0,b>0) ,
第 12 页(共 15 页)





=1,且 a=2,解得 b=2;

所以双曲线的方程为



=1; ,0) ,

(2)双曲线的左、右焦点为 F1(﹣2 ,0) ,F2(2 2 2 若∠F1PF2 是直角,设点 P(x,y) ,则有 x +y =8, 由 ,

解得 x2=6,y2=2; 由 ,

解得 y=±1(不满足题意,应舍去) ; 所以在封闭区域的边界上所求点 P 的坐标为(±



)和(±

,﹣

) .

21.对于曲线 C:f(x,y)=0,若存在非负实常数 M 和 m,使得曲线 C 上任意一点 P(x, y)有 m≤|OP|≤M 成立(其中 O 为坐标原点) ,则称曲线 C 为既有外界又有内界的曲线, M 简称“有界曲线”,并将最小的外界 0 成为曲线 C 的外确界,最大的内界 m0 成为曲线 C 的 内确界. (1)曲线 y2=4x 与曲线(x﹣1)2+y2=4 是否为“有界曲线”?若是,求出其外确界与内确界; 若不是,请说明理由; (2)已知曲线 C 上任意一点 P(x,y)到定点 F1(﹣1,0) ,F2(1,0)的距离之积为常 数 a(a>0) ,求曲线 C 的外确界与内确界. 【考点】曲线与方程. 【分析】 (1)由外确界与内确界的概念,结合曲线方程,数形结合得答案; (2)由题意求出曲线 C 的方程,进一步得到 x 的范围,把 x2+y2 转化为含有 x 的代数式, 分类讨论得答案. 【解答】解: (1)y2=4x 的图象为开口向右的抛物线,抛物线上的点到原点的距离的最小值 为 0,无最大值, ∴曲线 y2=4x 不是“有界曲线”; ∵曲线(x﹣1)2+y2=4 的轨迹为以(1,0)为圆心,以 2 为半径的圆,如图: 由图可知曲线(x﹣1)2+y2=4 上的点到原点距离的最小值为 1,最大值为 3,则曲线(x﹣1) 2 2 +y =4 是“有界曲线”, 其外确界为 3,内确界为 1; (2)由已知得: 整理得: (x2+y2+1)2﹣4x2=a2, ∴ ∵y2≥0,∴ , ,∴(x2+1)2≤4x2+a2, ,

∴(x2﹣1)2≤a2,∴1﹣a≤x2≤a+1,
第 13 页(共 15 页)

则 ∵1﹣a≤x2≤a+1, ∴(a﹣2)2≤4x2+a2≤(a+2)2, 即 当 0<a<1 时,2﹣a ∴ 当 1≤a≤2 时,2﹣a ∴0 当 2<a≤3 时,a﹣2 ∴0 当 a>3 时,a﹣2 ∴ ,

=



,则 ,则曲线 C 的外确界与内确界分别为 ,则 ,则曲线 C 的外确界与内确界分别为 ,则 a﹣3≤ ,则曲线 C 的外确界与内确界分别为 ,则 a﹣3≤ ,0; ﹣1≤a+1, ,0;

, ; ,

﹣1≤a+1, , .

,则曲线 C 的外确界与内确界分别为

第 14 页(共 15 页)

2016 年 9 月 6 日

第 15 页(共 15 页)


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