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指数函数第一课时教案


《指数函数》第一课时教案

一、本节课教学目标 1.知识与技能: (1)掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.(2) 能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质. 2.过程与方法:引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念,并向学生指出指数 函数的形式特点,在研究指数函数的图象时,遵循由特殊到一般的研究规律,要求学生自己 作出特殊的较为简单的指数函数的图象,然后推广到一般情况,类比地得到指数函数的图象, 并通过观察图象,总结出指数函数当底分别是 0 ? a ? 1 , a ? 1 的性质。 3.情感、态度、价值观:使学生领会数学的抽象性和严谨性,培养他们实事求是的科学 态度,积极参与和勇于探索的精神. 4.重难点:(1)指数函数的定义、图象、性质(2)指数函数的描绘及性质 二、课堂教学实录 一.问题情景 问题 1.某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,…,一个这样的细胞分裂 x 次 以后,得到的细胞个数 y 与 x 有怎样的关系. 问题 2.有一根 1 米长的木棍,第一次截去木棍的一半,第二次再截去剩余木棍的一半,…, 截去 x 次后木棍剩余的长度为 y 米,试写出 y 与 x 之间的关系. 二.学生活动 1.思考问题 1,2 给出 y 与 x 的函数关系? 2.观察得到的函数 y ? 2x , y ? ?
x

?1? 2 ? 与函数 y ? x 的区别. ?2?

x

3.观察函数 y ? 2x , y ? ?

?1? x ? 与 y ? a 的相同特点. ?2?

三.建构数学: [师]:通过问题 1,2 的分析同学们得出 y 与 x 之间有怎样的关系? [生 1]:分裂一次得到 2 个细胞,分裂两次得到 4 ( ? 2 )个细胞,分裂三次得到 8 ( ? 2 ),
2 3

所以分裂 x 次以后得到的细胞为 2 个,即 y 与 x 之间为 y ? 2 .
x x

[生 2]:第一次剩下木棍的 ,第二次剩下木棍的 (?

1 2

1 1 1 ( ? 2 ),第三次剩下木棍的 8 4 2
x

1 1 ?1? ),那么截了 x 次以后剩下的木棍为 x 米,所以木棍长 y 与 x 之间的关系为 y ? ? ? . 3 2 2 ?2?

(学生说完后在屏幕上展示这两个式子)

[师]:这两个关系式能否都构成函数呢? [ 生 ]: 每一个 x 都有唯一的 y 与之对应 , 因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函 数. [师]:(接着把 y ? x2 打出来)既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两个

?1? 函数 y ? 2 , y ? ? ? 在形式上与函数 y ? x2 有什么区别.(引导学生从自变量的位置观察). ?2?
x

x

[生]:前两个函数的自变量都在指数的位置上,而 y ? x2 的自变量在底上. [师]:那么再观察一下 y ? 2 , y ? ?
x

?1? x ? 与函数 y ? a 有什么相同点? ?2?

x

[生]:他们的自变量都在指数的位置,而且他们的底都是常数. [师]:由此我们可以抽象出一个数学模型 y ? a x 就是我们今天要讲的指数函数.(在屏幕 上给出定义) 定义:一般地,函数

y ? a x ( a ? 0, a ? 1 )
叫做指数函数,它的定义域是 R . 概念解析 1: [师]:同学们思考一下为什么 y ? a x 中规定 a ? 0, a ? 1 ?(引导学生从定义域为 R 的角度 考虑).(先把 a ? 0 , a ? 0 , a ? 1 显示出来,学生每分析一个就显示出一个结果)
x 0 [生]:⑴若 a ? 0 ,则当 x ? 0 时, a ? 0 没有意义.

⑵若 a ? 0 ,则当 x 取分母为偶数的分数时,没有意义.例如: (?2) 2 ? ?2 . ⑶若 a ? 1 ,则 a ? 1 ,这时函数就为一个常数 1 没有研究的价值了.
x

1

所以,我们规定指数函数的底 a ? 0, a ? 1 . 概念解析2: [师]:我们知道形如 y ? a ( a ? 0, a ? 1 )的函数称为指数函数.通过观察我们发现:
x

⑴ a 前没有系数,或者说系数为1.既 1? a ;
x x

⑵指数上只有唯一的自变量 x ; ⑶底是一个常数且必须满足: a ? 0, a ? 1 . [师]:上面我们分析了指数函数的定义,那么下面我们就根据解析式来研究它的图象和性 质. 根据解析式我们要作出函数图象一般有哪几个步骤?

[生]:(共同回答)列表,描点,连线. [师]:好,下面我请两个同学到黑板上分别作出 y ? 2x , y ? ?

?1? (等学 ? 的函数图象. ?2?

x

生作好图并点评完以后,再把这两个图用几何画板在屏幕上展示出来)

?1? [师]:那么我们下面就作出函数: y ? 2 , y ? ? ? 的图象 ?2?
x

x

x
2x 2? x

-3

?2

?1

0 1 1

1 2

2 4

3 8

18 14 12
8 4 2

12 14 18

[师]:通过这两个指数函数的图象,你能观察出指数函数具有哪些性质?(先把表格在屏 幕上打出来,中间要填的地方先空起来,根据学生的分析一步步展示出来) [生1]:函数的定义域都是一切实数 R ,而且函数的图象都位于 x 轴上方. [师]:函数的图象都位于 x 轴上方与 x 有没有交点?随着自变量 x 的取值函数值的图象与 x 轴是什么关系? [生1]:没有.随着自变量 x 的取值函数的图象与 x 轴无限靠近. [师]:即函数的值域是: (0, ??) .那么还有没有别的性质?

?1? x [生2]:函数 y ? ? ? 是减函数,函数 y ? 2 是减函数. 2 ? ?
[师]:同学们觉的他这种说法有没有问题啊?(有)函数的单调性是在某个区间上的,因此有 说明是在哪个范围内.又 0﹤

x

1 ﹤1,1﹤2 那么上述的结论可以归纳为: 2

[生2]:当 0 ? a ? 1 时,函数 y ? a x 在 R 上是减函数,当 a ? 1 时,函数 y ? a x 在 R 上是 增函数. [师]:很好,请做! (提问[生3] )你观察我们在作图时的取值,能发现什么性质? [生3]:当自变量取值为0时,所对的函数值为1.一般地指数函数 y ? a x 当自变量 x 取 0时,函数值恒等于1. [师]:也就是说指数函数恒过点 (0,1) ,和底 a 的取值没有关系. [师]:刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质 ,那么同学们在观察函数图象之间 有没有什么联系?

?1? [ 生 4]: 函数 y ? 2 与 y ? ? ? 的图象关于 y 轴 对称 , 关于 y 轴对称 , 所以是偶 函 ?2?
x

x

数.(? ? ? ?) [师]:前面的结论是正确的,同学们说后面那句话对吗?

[生]:(共同回答)不对,因为函数的奇偶性是对一个函数的,所以没有这个性质. [师]:由此我们得到一般的结论, 函数 y ? a x 与 y ? a ? x 的图象关于 y 轴对称. [师]:很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内.

0 ? a ?1

a ?1

图 象

定义 域 值域 性 质 定点 单调 性 对称 性

R

R

? 0, ??? ? 0,1?
在 ? ??, ??? 上是减函数

? 0, ??? ? 0,1?
在 ? ??, ??? 上是增函数

函数 y ? a x 与 y ? a ? x 的图象关于 y 轴对称

四:课堂小结:本节课你收获了?(让学生讨论后,自己小结,不足的教师补充。 ) 1. 数学知识点: 指数函数的概念、图象和性质; 2. 研究函数的一般步骤:定义→图象→性质; 五:课后作业:课本 100 页的练习;101 页的练习 1. 六:教学反思: 本节课较好地体现了以教师为主导,学生为主体,以知识为载体和以培养学生的思维能 力,特别是研究问题能力为重点的教学思想。教学情景的设置,让学生体验到指数函数的价 值,和我们平时的生活是夕夕相关的生活中处处能遇到指数函数,激发他们的学习兴趣和学习 热情。 本堂课的学习任务,都是以问题的形式出现,这有利于培养学生提出问题的意识和能力, 让学生体会研究数学的方法,有利于学生自主构建知识结构。问题的完满解决,增加学生的 自信心,增强他们学习数学的兴趣。合作讨论探究到最后解决问题,还培养了学生的互助精 神! 本堂课还运用了多媒体教学,教师成了整合信息技术和学科教学的探索者,信息技术的 应用加大了师生,生生间信息交流,在平等的对话和共同参与的教学活动中,共同体验了数 学的美。


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