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山西省临汾第一中学2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题


临汾一中 2015 届高三第一次模拟考试

数学(理)试题
参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,…x n 的标准差 锥体体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积, 体积公式

其中 S 为底面面积,h 为高 其中 R 为球的半径 一、

选择题: (本大题共 12 小题, 每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目要求的). 1.设全集 U = R,集合 M= {x | y = lg(x2- 1)} , N= { x|0 < x < 2} ,则 N ? CU M = A.{ x | 0 < x ≤1} B.{ x | - 2 ≤x < 1} C.{ x | - 1 ≤x ≤1} D.{ x | x < 1} 2.若(1 + 2 ai)i = 1-b i ,其中 a 、 b ∈ R, i 是虚数单位,则| a + b i | = A.

1 +i 2

B.

5 2

C.

5 4

D. 5

3.下列有关命题的说法正确的是
2 A.命题“x ∈R,均有 x2- x + 1 > 0”的否定是:“ ? x0 ∈R, 使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ”;

B.在 2 ×2 列联表中,ad - b c 的值越接近 0 ,说明两个分类变量有关的可能性就越大; C. 线性回归方程 y = bx + a 对应的直线一定经过其样本数据点 ( x 1 , y1) 、 ( x2 , y2) 、 ?, (x n, y n) 中的一个; D.在 △ABC 中,“ s i nA > s i nB”是“A > B”成立的充要条件; 4. 已知 a > b > 0 ,椭圆 C1 的方程为
?

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 ,C1 与 C2 的 , 双曲线 C 的方程为 2 a 2 b2 a 2 b2

离心率之积为

3 , 则 C1 、 C2 的离心率分别为 2
B.

A.

1 , 3 2

1 ,2 3 4

C.

6 , 2 4

D.

2 6 , 2 2

5.某几何体的三视图如图所示, 正视图、 侧视图、 俯视图都是边 长为 1 的正方形, 则此几何体的外接球的表面积为

A.4

B.3π

C.2π

D.

5 ? 2

6.函数 f( x) = s i n(ω x + φ ) ( x ∈R ) ( ω>0,| φ |< 果 x1 、 x2 ∈ ( ?

? ?

? )的部分图象如图所示, 如 2

, ) ,且 f(x1)=f(x2) , 则 f(x1 + x2)= 6 3
B.

A.

1 2

2 2

C.

3 2

D.1

7.给出一个如图所示的流程图, 若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等, 则这样的 x 值的个数是 A.1 B.2 C.3 D. 4 8.有 5 盆不同菊花, 其中黄菊花 2 盆、 白菊花 2 盆、 红菊 花 1 盆,现把它们摆放成一排, 要求 2 盆黄菊花必须相邻,2 盆白菊花不能相邻, 则这 5 盆花不同的摆放种数是 A.24 B.12 C.36 D.48 9.若 s i nθ + cosθ = A.1

2 , 则 ta n(θ +
C. ? 1 ? 3

? ) 的值是 3
D. ? 3 ? 2

B. ? 2 ? 3

10.三棱锥 S—ABC 中,∠SBA = ∠SCA = 90° ,△ABC 是斜边 AB= a 的等腰直角三角形,则以下结论中: ① 异面直线 SB 与 AC 所成的角为 90° ; ② 直线 SB ⊥ 平面 ABC ; ③ 平面 SBC ⊥ 平面 SAC; ④ 点 C 到平面 SAB 的距离是 其中正确结论的个数是 A.1 B.4

1 a . 2
C.3 D.2

?x ? 2 y ? 6 ? 11.设实数 x 、y 满足 ? 2 x ? y ? 6 , 则 z = m a x{2x + 3y - 1 , x + 2y + 2} 的取值范围是 ? x ? 0, y ? 0 ?
A. B. C. D. 12.已知函数 y = f(x - 1) 的图象关于点(1 ,0) 对称,且当 x ∈(- ∞,0) 时, f(x) + xf'(x) < 0 成立(其中 f'(x) 是 f(x)的导函数),若 a = (30.3) · f(30.3) , b = ( log?

3 )·f( log? 3 )

,c =(log3

1 1 ) ·f(log 3 )则 a ,b ,c 的大小关系是 9 9
D.a > c > b

A.c > a > b B.a > b > c C.c > b > a 二、填空题:( 本大题共 4 小题,每小题 5 分). 13.设 a

??

e

1

1 dx , ,则二项式 (ax 2 ? 1 )6 展开式中的常数项为 x x



14.在 △ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a ,b ,c , 且 C =

3 5 π , sin A = ,c?a = 4 5

5 ? 10 , 则 b =
15 .若函数 f ( x ) = log a ( x ?



a ? 4) (a ? 0且a ? 1) 的值域为 R, 则实数 a 的取值范围 x

是 . 16.已知 a , b 是单位向量,a · b = 0 , 若向量 c 与向量 a ,b 共面, 且满足| a - b - c | = 1 , 则|c| 的取值范围是 . 三、解答题:( 解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 等差数列{ an} 中公差 d ≠0 , a1 = 3 ,a1 、 a4 、 a13 成等比数列. (Ⅰ) 求 a n ; (Ⅱ) 设{ an} 的前 n 项和为 S n ,求:

1 1 1 ? ?? ? . S1 S2 Sn

18.(本小题满分 12 分) 某公司开发一新产品有甲、 乙两种型号,现分别对这两种型号产品进行质量检测, 从它们的 检测数据中随机抽取 8 次( 数值越大产品质量越好) , 记录如下: 甲: 8.3 , 9.0 , 7.9 , 7.8 , 9.4 , 8.9 , 8.4 , 8.3 乙: 9.2 , 9.5 , 8.0 , 7.5 , 8.2 , 8.1 , 9.0 , 8.5 (Ⅰ) 画出甲、 乙两产品数据的茎叶图; (Ⅱ) 现要从甲、 乙中选一种型号产品投入生产, 从统计学角度, 你认为生产哪种型号产 品合适?简单说明理由; (Ⅲ) 若将频率视为概率, 对产品乙今后的三次检测数据进行预测, 记这三次数据中不低 于 8.5 分的次数为ξ , 求ξ 的分布列及期望 Eξ . 19.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC - A1 B1 C1 中,AB ⊥AC,AC ⊥BB1 , AB = A1 B = AC = 1 ,BB1 = 2 . (Ⅰ) 求证: A1 B ⊥ 平面 ABC ; (Ⅱ) 若 P 是棱 B1 C 1 的中点,求二面角 P - AB - A1 的余弦值.

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? [ax ? (a ?1) x ? a ? (a ?1) ]e (其中 a ∈R ) .
2 2 2 x

(Ⅰ) 若 x = 0 为 f ( x) 的极值点, 求 a 的值; (Ⅱ) 在(Ⅰ) 的条件下,解不等式 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? x ? 1)
2

1 2

21.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C: x2= 2 py( p > 0) 的焦点为 F , 抛物线上一点 A 的横坐标为 x 1( x1 > 0) 过点 A 作抛物线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 D , 交 y 轴于点 Q ,交直线 l ∶y =

p 于点 M,当 2

| FD| = 2 时,∠AF D = 60° . (Ⅰ) 求证: △AFQ 为等腰三角形, 并求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若点 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上, 过点 B 作抛物线 C 的切线 l2 交直线 l1 于点 P , 交直线 l 于点 N , 求 △P MN 面积的最小值, 并求取到最小值时的 x1 值.

请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.( 本小题满分 10 分) 选修 4 - 1 : 几何证明选讲 如图,△ABC 为直角三角形,∠ABC = 90° , 以 AB 为 直径的圆交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边的中点, 连 OD 交圆 O 于点 M. (Ⅰ) 求证: O, B, D, E 四点共圆; (Ⅱ) 求证:2 DE2= DM· AC + DM· AB .

23.(本题满分 10 分) 选修 4—4 : 坐标系与参数方程

4 ? x ? 1 ? t ? ? 5 (t 为参数), 若以 O 为极点,x 轴 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? 3 ? y ? ?1 ? t ? 5 ?
正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ=

2 cos(θ+

? ) 4

(Ⅰ) 求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长; (Ⅱ) 若 M (x , y) 是曲线 C 上的动点, 求 xy 的最大值.

24.(本小题满分 10 分) 选修 4—5 : 不等式选讲 已知函数 f( x) = | x - 1 | (Ⅰ) 解不等式 f(2 x) + f( x + 4)≥8 ; (Ⅱ) 若| a| < 1 , | b | < 1 , a ≠0 , 求证:

f (ab) b ? f( ) a a

选择题正确答案:A、B、D、D、B、C、C、A、B、B、D、A


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