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经典线性规划题型总结+例题解析


线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件,并作出可行域,进而通过平移直线在可行域内求线性 目标函数的最优解是最常见的题型,除此之外,还有以下六类常见题型。 ?y ? 0 ? t ? x ? t ?1 例 4. 在平面直角坐标系中, 不等式组 ? x ? 2 y ? 0 表示的区域为 M, ?x ? y ? 3 ? 0 ? 的区域为 N,若 1 ? t ? 2 ,则 M 与 N 公共部分面积的最大值为 解:因为先根据题意中的条件画出约束条件所表示的图形,再结合图形求公共部 面积为 f(t)即可, 表示 一、求线性目标函数的取值范围 ?x ? 2 ? 例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 , 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 ?x ? y ? 2 ? A、 [2,6] B、 [2,5] C、 [3,6] D、 ( 3,5] ( ) 分的 注 意 将 公 共 部 分 的 面 积 分 解 成 两 个 图 形 面 积 之 差 , 那 么 可 知 公 共 部 分 的 面 积 为 S ? S?AOE ? S?BOC ? S?FOE ? 5 1 1 1 EO ?1 ? t ? (2 ? (t ? 1)) 2 ,借助于二次函数得到最大值 6 2 2 2 y 2 B A y =2 三、求可行域中整点个数 x x + y =2 例 5、 满 足 |x|+ |y|≤ 2 的 点 ( x, y) 中 整 点 ( 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ) 有 ( A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个 ) 解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l: x+2y= 0, 将 l 向 右 上 方 平 移 , 过 点 A( 2,0) 时 , 有 最 小 值 2, 过 点 B( 2,2) 时 , 有 最 大 值 6, 故 选 A O 2 x=2 二、求可行域的面积 ?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 例 2 、不 等 式 组 ?x ? y ? 3 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 ?y ? 2 ? A、 4 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大 ( ) ?x ? y ? 2 ?x ? y ? 2 ? 解 : |x|+ |y|≤ 2 等 价 于 ? ?? x ? y ? 2 ? ?? x ? y ? 2 ( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0) y 作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界) ,容易得到整 点 个 数 为 13 个 , 选 D O x y x+y – 3 = 0 解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , △ ABC 的 面 积 即 为 所 求 , 由 梯 形 OMBC 的 面 积 减 去 梯 形 OMAC 的 面 积 即 可 , 选 B 四、求线性目标函数中参数的取值范围 B y =2 ?x ? y ? 5 ? 例 6 、已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ? x ? y ? 5 ? 0 ,使 z = x + a y ( a > 0 ) ?x ? 3 ? 取得最小值的最优解有无数个,则 a 的值为 A、 - 3 B、 3 C、 - 1 D、 1 ( ) M A O y x+y=5 x–y+5=0 C x 2x + y – 6= 0 =5 O x=3 x 例 3..在平面直角坐标系 xoy 中,已知集合 ? ? x

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