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2009年数学竞赛一试模拟试题(四)


2009 年数学竞赛一试模拟试题(四)2009.01.28 答案
1.D. 问题等价于求方程 x1+x2+x3+x4+x5=20 满足 i≠j,xi≠xj 的正整数解组数,先考虑方程 y1+y2+y3+y4+y5=5 满 足 0≤y1≤y2≤y3≤y4≤y5 的 非 负 整 数 解 , 设 满 足 y1+y2+…+yk=n 满 足 0≤y1≤y2≤…≤yk 的非负整数解

组数为 f(k,n).则 f(5,5)=1+f(4,5) =1+1+f(3,5)=2+f(2,2)+f(2, 5)=7. 所以所求方程正整数解有 7×5!组.故选 D. 2. D. 当 x≥10 时, logmx≥-2 即 lgx≤lgm2 或 lgx≥lgm-2(m>0 且 m≠1), 解得 1<m≤ 10 或 10 ? m ? 1.
10

3.A.设椭圆方程为

x2 y2 ? ? ?? ? ? 2 ? 1 (a>b>0), P(r1cosθ,r1sinθ),Q ? , r2 cos?? ? ? ? 2 ? a b 2 ?? ? ? ?

1 1 1 1 ? ? ?? ? r2cosθ), 因为 P, Q 在椭圆上, 所以 2 ? 2 ? 2 ? 2 . 设 ? ? r2 sin?? ? 2 ? ? ? 即 Q(-r2sinθ, r1 r2 a b ? ?? ?
O 到 PQ 距离为 d. 则d ?

r1 r2 r12 ? r22

?

ab a2 ? b2

? c (c ? a 2 ? b 2 ) , 解得

5 ?1 ? e ? 1. 2

4.C. 记 2007=n,往证

? pq ? 2 . 当 n=2 时,显然成立.设当 n=k 时成立,当 n=k+1 时,
1 1 的和记为 S,所有形如 (p<k, (k,p)=1)的和记 pq kp 1 1 1 ,T 中恰有一对分数 , pq pk qk

1

1

取所有满足 p+q=k, (p,q)=1 的

为 T,则 Sk=Sk-1+T-S;再证 S=T,在 S 中任取一个分数

与之对应,而且

1 1 1 1 ? ? ,这样的对应是一一对应,所要 Sk-1=Sk,所以 S n ? . 2 pq pk qk

5.B. 当 A=B→

? ? ,C→0 时,y→-2,设 A≥B≥C,则 C≤ ,所以 sin3C≥0,所以 y>-2;又当 2 3 ? 7? A=B= , C ? 时, y ? 3 3 ,且 9 9 2
y=sin3A+sin3B+sin3C≤ ? 2 cos

3A ? 3( B ? C ) 3A ? ? sin ? cos ?≤ 2 ? 2 2 ?
2

2

1 ? 3 A ?? 3A ? 3 3 ? 3?1 ? sin . ??1 ? sin ? ? 3 ? 2 ?? 2 ? 2
2 k 2 k ?1 2 a 2 ? ak (a ? a k ?1 ) 2 ? a k ? a k ?1 ? ?1 ? ? k ? k ?? ? ? , 2 2 2 ? ? 2

6.C.因为 a ? a k a k ?1 ? a

所以

?
k ?1

n

2 2 ak ? ak ak ?1 ? ak ?1 ? ?

n ak ? ak ?1 ? ? ak . 又当 a1=a2=…=an 时,“=”成立, 2 k ?1 k ?1 n

所以 λ 最大为 1. 7. 900. 延长 AD, BC 交于 E, 连结 PE, 则 DE=DA, PA=PE= 2, AE=2, 所以 PE ? PA, 又 PD ? AB, AB ? AD,所以 AB ? 平面 PAE,所以 PE ? AB,所以 PE ? 平面 PAB.所以 A—PB—C 为直二 面角. 8.由 an+1=(n-1)(an+an-1)得 an+1-nan=-[an-(n-1)an-1],所以{an+1-nan}是首项为 a2-a1=1,公比为(-1) 的等比数列,所以 an+1-nan=(-1)n-1,所以

an?1 an 1 ? ? (?1) n?1 ? n! (n ? 1)! n!



在① 中用 2,3,…,n-1 代替 n 并相加得

an a 1 1 1 . ? 2 ? (?1) ? ? (?1) 2 ? +…+(-1)n-2? (n ? 1)! (n ? 1)! 1! 2! 3!
所以 an ? (n ? 1)!? ? (?1)1 ?

?1 ?1!

1 1 1 ? . ? (?1) 2 ? ? ? ? (?1) n?2 ? 2! 3! (n ? 1)!? ?

9.0.设存在这样的函数 f(x),则由条件知它为单射,且 f(f(0))=0=f(f(1)+1),所以 f(0)=f(1)+1. ① 又 f(f(1))=1=f(f(0)+1),所以 f(1)=f(0)+1,与① 矛盾.
2 10. . 设抛物线方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,点 C(x1,y1)把 AM 参数方程 ?

3 4

? ? x ? x1 ? t cos? , 代 ? ? y ? y1 ? t sin ?

2 入 y2=2px 得 t2sin2θ+2(y1sinθ-pcosθ)t+ y1 -2px1=0,所以 t1 t 2 ?

y12 ? 2 px1 ,又 sin 2 ?

2 px1 ? y12 AC ? CM 2p AE ? EM 2p DE 3 ? ? ? . , 所以 , 同理 , 所以 | BC |? 2 2 BC DE BC 4 sin ? sin ? 2p
11.

?1 3? 1 ? ? ?? ? (tan3 ? ? 3 tan? ),? ? ? ? , ? .由 a?b=( 3 ,-1)? ? ? 2 , 2 ? =0 4 ? 2 2? ? ?

得 a ? b,又 c ? d,则[a+(tan2 ? -3)b+?*-ka+(tan ? )b]=0, 即 ka2=(tan3 ? -3tan ? )b2,所以 k|a|2=(tan3 ? -3tan ? )|b|2, 由题设|a|=2,|b|=1.从而 k ?

1 1 ? ? ?? (tan3 ? ? 3 tan? ),? ? ? ? , ? . 4 4 ? 2 2?

12. 2. 所以

由|2z3-(z1+z2)|≤|z1-z2|得 2|z3|-|z1+z2|≤|z1-z2|和|z1+z2|-2|z3|≤|z1-z2|,

1 1 (|z1+z2|-|z1-z2|)≤|z3|≤ (|z1+z2|+|z1-z2|). 2 2
2(| z1 ? z 2 | 2 ? | z1 ? z 2 | 2 )

2 又|z1+z2|-|z1-z2|= (| z1 ? z 2 | ? | z1 ? z 2 |) ?

4(| z1 | 2 ? | z 2 | 2 ) ? 2 2 .

当且仅当 z1,z2 辐角相差

又|z3|≥0,当且仅当 z2,z1 辐角相差

? 时,z3 可以为 0,所以|z3|min=0. 2
2

? 时,|z3|取最大值 2. 2

? y12 13.解 若抛物线的开口向右,设其方程为 y =2px(p>0),设 A? ? 2 p , y1 ?
2 ? y2 ? ? p ? ? p ? ?p ? ? B? , y 2 ? 2p ? , C ? ? 2 , y 3 ? , D ? ? 2 , y 4 ? , F ? 2 ,0 ? . ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ?, ?

因为 A,O,C 三点共线,所以

y3 y p2 ? 12 ,所以 y3 ? ? . p y1 y1 ? 2 2p

p2 同理,由 B,O,D 共线有 y 4 ? ? ,又因为 A,F,B 共线,所以 y1y2=-p2, y2
所以 y1 ? ?

p2 ? p ? ? p ,所以点 C 坐标为 ? ? , y 2 ? ,D 坐标为 ? ? , y1 y2 ? 2 ? ? 2

? ?. ?
ABCD 面 积

所以 AD//BC//x 轴,所以 ABCD 为直角梯形. 由 抛 物 线 定 义 , |BF|=|BC| , |AF|=|AD| , 设 ∠ BFx=θ , 则 SABCD=

1 ? 2 p2 ? 2 p2 , |AB|2sinθ= 当且仅当 ? ? 时, SABCD 取最小值 2p2, 由已知 2p2=8, 3 2 2 sin ?

所以 p=2.故所求抛物线方程为 y2=±4x. 14. 证明 记 f(x)=x2-2, 则 f(x)在[0, +∞) 上是增函数, 又

? a1 ? 2 a a1 ? 2 ,所以 2 ? f ? ?a ? ? =a -a>a, a1 a0 ? 0?

所以

a a a 2 a1 ,依此类推有 n ?1 ? n ? 2 ,再用数学归纳法证明原命题. ? a1 a 0 an a n?1

(1)当 k=0,1 时,不等式显然成立. (2)设当 k=m 时,原不等式成立. 当 k=m+1 时,因为 an ? 其中 f(0)(a)<a,所以

an an?1 a a ? ? ? ? 2 ? 1 ? f ( n?1) (a) f ( n?2) (a)? f (1) (a) f 0 (a), an?1 an?2 a1 a0

1?

1 1 1 <1+ ? ( 0) ? ? ? ( 0) (1) (1) f ( a) f ( a) f (a) f (a) f (a)? f ( n?1) (a)
( 0)

1 1 1 2 1 ? 2 ? f (1) (a) ? ( f (1) (a)) 2 ? 4 ? 1 ? a ? a a 2 ? 4 ? 1 ? (a ? a 2 ? 4 ). 得证. a 2 2a 2
15.证明 (1)若 0<x≤1,则 0<xy≤y<π,所以 cosxy>cosy,又 cosx≤1,所以 1+cosxy>cosx+cosy;

?

?

?

?

(2)若 0<y≤1,同理可得 1+cosxy>cosx>cosy; (3)若 x>1,y>1,则 xy≤ 0<t2≤

x? y ( x ? y) 2 ? t ,则 ,记 2 4

? ? x? y x? y ,所以 xy≤t2≤ ,所以 cosxy≥cost2, 又 cosx+cosy=2cos cos ? 2 cos t , 2 2 2 2
? ? ?

所以只需证 1+cost2≥2cost,即证 f(t)=1+cost2-2cost≥0. 这里 t ? ?1,

??

? ? sin t ? 2 ? sin t 2 ? ,因为 0<t<t2< , ? ,则 f ' (t ) ? ?(sin t ) ? 2t ? 2 sin t ? 2t ? 2 2? ? t ?
? ?? sin t , 所 以 f ' (t ) ? 0. 所 以 f(t) 在 ?1, ? 上单调递减,又 t 2? ?

所 以 sint2>sint>

? ?? ? ? ?2 ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? 2 cos f? , 而 (因为 ? ) ,所以 cos ? ? cos ? , ? 2? 2 2 9 2 3 2 3 2 ? ?
所以 f ?

? ? ? ? ? 2 ? ? 0 ,所以 f(t)>0.所以原不等式成立. ? ?

第二试试题解答 1. 证明 取 DI 中点 Q,作 AP ? BC 于 P.……

AQ ? BC ?

1 1 ( AD ? AI ) ? BC ? ( BE ? CH ) ? BC = 2 2

1 [| AB | ? | BC | cos ?EBC ? | AC | ? | BC | cos ?BCH ] 2 1 1 ? | BC | ?(? | AB | ? sin ?ABC ? | AC | sin ?ACB ) ? | BC | (? | AP | ? | AP |) ? 0. 所 2 2 以 AQ ? BC,所以 Q,A,P 三点共线.
延长 AP 至 R,使 AR=CG,则 AR//BF ,又因为 AD // BE, 所以 ?ARD ? ?BFE ,所以 RD // EF,同理 RI // GH, 所以 ΔRDI∽ ΔLKM, 且对应边平行, 所以 RQ//LN 或 RQ 与 LN 重合, 因为 RQ ? BC, 所以 LN ? BC. 2.证明 先证对任意 m,n∈ N+,1≤m,n≤2007,有

an am ? 1 ? ,即 man<nam+n. n m



(1)当 m=n=1 时 a1<a1+1,结论成立; (2)设 m,n 都小于 k 时,命题成立,ⅰ )当 m=k,n<k 时,设 m=nq+r,则 am≥anq+ar≥qan+ar, 所以 nam≥nqan+nar,所以 nam+n≥nqan+nar+n=man-ran+nar+n>man; ⅱ )当 n=k, m<k 时,设 n=mq+r, 0≤r<m,则 an≤aqm+ar+1≤a(q-1)m+ar+am+2≤…≤qam+ar+q,由 归纳假设 ram+r≥mar,所以 man≤mqam+mar+mq<mqam+ram+r+mq=nam+n,所以当 m,n 至少 有一个为 k 时结论成立,而 m=n=k 时, 结论也成立,所以由数学归纳法,① 得证. 记 x ? max ?

? an ? N+,1≤n≤2007,有 an≤nx<an+1,所以 an=[nx]. ? ,则对一切 n∈ ?n?

3.解 N=209.先证明 N≤209,用正中的竖直直线将方格表分成两个 20×10 的方格表,将 1 至 200 逐行按递增顺序填入左表中,再在右表中按同样的原则填入 201 至 400,这样一来, 在每一行中所填之数的最大差不超过 210-1=209,在每一列中所填之数的最大差都不超过 191-1=190,所以 N≤209. 再证 N 不能小于 209.考察子集 M1={1,2,…,91}和 M2={300,301,…,400},将凡是填 有 M1 中的数的行和列都染为红色;将凡是填有 M2 中的数的行和列都染为蓝色,只要证明 红色的行和列的数目不小于 20,而蓝色的行和列的数目不小于 21.那么,就有某一行或 某一列既被染为红色,又被染为蓝色,从而其中必有两个数的差不小于 300-91=209. 设有 i 行和 j 列被染为红色,于是,M1 中的元素全部位于这些行与这些列的相交处,所以 ij≥91 , 从 而 i+j≥2

ij ≥2

91 ≥19 . 同 理 , 被 染 为 蓝 色 的 行 数 与 列 数 之 和

i'? j' ? 2 i' j' ? 2 101 ? 20.


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