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2015-2016学年福建省厦门市高二(下)期末数学试卷(文科) 解析版


2015-2016 学年福建省厦门市高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题(每题 5 分) 1. (5 分) (2016 春?厦门期末)已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 3+bi 与 a﹣i 互为共轭复数, 则|a+bi|等于( ) A. B.5 C. D.10 2. (5 分) (2016 春?厦门期末) 用反证法证明命题: “若 a, b, c 为不全相等的实数, 且 a+b+c=0, 则 a,b,c 至少有一个负数”,假设原命题不成立的内容是( ) A.a,b,c 都大于 0 B.a,b,c 都是非负数 C.a,b,c 至多两个负数 D.a,b,c 至多一个负数 3. (5 分) (2016 春?厦门期末)已知命题 p:? x∈R,x +x+1≤0,则( ) 2 A.p 是真命题,¬p:? x0∈R,使得 x0 +x0+1>0 2 B.p 是真命题,¬p:? x∈R,使得 x +x+1>0 2 C.p 是假命题,¬p:? x0∈R,使得 x0 +x0+1>0 2 D.p 是假命题,¬p:? x∈R,使得 x +x+1>0 4. (5 分) (2016 春?厦门期末)函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,若 f(x)=sinx,则下列等 式正确的是( ) A.f( ( )=f′( )=f′( ) ) B.f( )=f′( ) C.f( )=f′( ) D .f
2

5. (5 分) (2016 春?厦门期末)2016 法国欧洲杯比赛于 6 月中旬揭开战幕,随机询问 100 人是否喜欢足球,得到如下的 2×2 列联表: 不喜 喜欢 欢足 总计 足球 球 35 15 50 男 25 25 50 女 60 40 100 总计 参考公式 k = 临界值表: 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 k0 参照临界值表,下列结论正确的是( ) A.有 95%的把握认为“喜欢足球与性别相关” B.有 95%的把握认为“喜欢足球与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下,认为“喜欢足球与性别无关” D.在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下,认为“喜欢足球与性别有关” 6. (5 分) (2016 春?厦门期末)下列选项中,与其他三个选项所蕴含的数学推理不同的是 ( ) A.独脚难行,孤掌难鸣 B.前人栽树,后人乘凉 P(K ≥k0)
2 2

, (其中 n=a+b+c+d)

C.物以类聚,人以群分

D.飘风不终朝,骤雨不终日 =1(a>0,b>0)的右焦点 F2

7. (5 分) (2016 春?厦门期末)已知过双曲线 Г:
2 2 2

作圆 x +y =a 的切线,交双曲线 Г 的左支交于点 A,且 AF1⊥AF2,则双曲线的渐近线方程 是( ) A.y=±2x B.y=± x C.y=± x D.y=± x

8. (5 分) (2016 春?厦门期末)定义在 R 上的函数 f(x) ,其导函数是 f′(x) ,若 x?f′(x) +f(x)<0,则下列结论一定正确的是( ) A.3f(2)<2f(3) B.3f(2)>2f(3) C.2f(2)<3f(3) D.2f(2)>3f(3) 9. (5 分) (2016 春?厦门期末)“a=4 或 a=﹣3“是”函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极 值 10“的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10. (5 分) (2016 春?厦门期末)记半径为 1 的圆为 C1,C1 的外切正三角形的外接圆为 C2, C2 的外切正三角形的外接圆 C3,…Cn﹣1 的外切正三角形的外接圆为 Cn,则 C16 的面积是 ( )
3 2 2

A.2 ?π B.2 ?πC.2 ?πD.2 ?π 11. (5 分) (2016 春?厦门期末)函数 f(x)图象如图所示,则 f(x)的解析式可能是(

15

16

30

32



A.f(x)=lnx﹣sinx B.f(x)=lnx+cosx

C.f(x)=lnx+sinx
2

D.f(x)=lnx﹣cosx

12. (5 分) (2016 春?厦门期末)点 M 在抛物线 C:x =2py(p>0)上,以 M 为圆心的圆 与 x 轴相切于点 N, 过点 N 作直线与 C 相切于点 P (异于点 O) , OP 的中点为 Q, 则 ( ) A.点 Q 在圆 M 内 B.点 Q 在圆 M 上 C.点 Q 在圆 M 外 D.以上结论都有可能 二、填空题(每题 5 分) 13. (5 分) (2016 春?厦门期末)若 i 为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是 1,复平 面内点 Z 表示复数 z,则复数 = .

14. (5 分) (2016 春?厦门期末)已知命题 p:a≥2;命题 q:对任意实数 x∈[﹣1,1],关 2 于 x 的不等式 x ﹣a≤0 恒成立,若 p 且 q 是真命题,则实数 a 的取值范围是 . 15. (5 分) (2016 春?厦门期末)已知点 P 是椭圆 Г: =1(a>b>0)上的一点,F1、
2

F2 为椭圆的左、右焦点,若∠F1PF2=60°,且△PF1F2 的面积为 是 .

a ,则椭圆的离心率

16. (5 分) (2016 春?厦门期末)已知函数 f(x)=

(m≠0) ,则下列结论正确的是

①函数 f(x)是奇函数,且过点(0,0) ; ②函数 f(x)的极值点是 x=± ; ③当 m<0 时,函数 f(x)是单调递减函数,值域是 R; ④当 m>0 时,函数 y=f(x)﹣a 的零点个数可以是 0 个,1 个,2 个. 三、解答题 17. (10 分) (2016 春?厦门期末)已知函数 f(x)=x ﹣3x ﹣9x﹣3 (1)若函数 f(x)在点(x0,f(x0) )处的切线方程为 y=﹣9x+b,求 b 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 18. (12 分) (2016 春?厦门期末)网购已成为当今消费者喜欢的购物方式,某机构对 A、B、 C、D 四家同类运动服装网店的关注人数 x(千人)与其商品销售件数 y(百件)进行统计 对比,得到表格: 网店 A B C D 名称 x 3 4 6 7 y 11 12 20 17 由散点图得知,可以用回归直线方程 y=bx+a 来近似刻画它们之间的关系 (1)求 y 与 x 的回归直线方程; 2 (2)在(1)的回归模型中,请用 R 说明,销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起 的?(精确到 0.01)
3 2

参考公式: :



;R ═1﹣

2

参考数据:

xiyi=320;

x =110.

2

19. (12 分) (2016 春?厦门期末)椭圆 Г:

=1(a>b>0)过点(1,

) ,且直线

l 过椭圆 Г 的上顶点和左焦点,椭圆中心到直线 l 的距离等于焦距长的 . (1)求椭圆 Г 的方程; (2)若一条与坐标轴不平行且不过原点的直线交椭圆 Г 于不同的两点 M、N,点 P 为线段 MN 的中点,求证:直线 MN 与直线 OP 不垂直. 20. (12 分) (2016 春?厦门期末)厦门日报讯,2016 年 5 月 1 日上午,厦门海洋综合行政 执法支队在公务码头启动了 2016 年休渔监管执法的首日行动,这标志着厦门海域正式步入 为期 4 个半月的休渔期.某小微企业决定囤积一些冰鲜产品,销售所囤积鱼品的净利润 y 万元与投入 x 万元之间近似满足函数关系:

f(x)=

若投入 2 万元,可得到净利润为 5.2 万元. (1)试求该小微企业投入多少万元时,获得的净利润最大; (2)请判断该小微企业是否会亏本,若亏本,求出投入资金的范围;若不亏本,请说明理 由(参考数据:ln2=0.7,ln15=2.7) 2 21. (12 分) (2016 春?厦门期末)抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与抛物线 和 y 轴分别交于点 P、Q,且|PF|=2|PQ| (1)求抛物线的方程; (2)过点 F 作互相垂直的两直线分别交抛物线于点 A、B、C、D,求四边形 ACBD 面积的 最小值. 2 x 22. (12 分) (2016 春?厦门期末)函数 f(x)=(﹣x +ax+a)e (a>0,e 是自然常数) (1)当 x∈[0,1]时,函数 f(x)的最大值是 (2)当 x∈(0,1]时,证明:2x ﹣x ﹣x>
3 2

,求 a 的值; .

2015-2016 学年福建省厦门市高二 (下) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分) 1. (5 分) (2016 春?厦门期末)已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 3+bi 与 a﹣i 互为共轭复数, 则|a+bi|等于( ) A. B.5 C. D.10 【分析】由已知求得 a,b 的值,然后代入复数模的计算公式得答案. 【解答】解:∵3+bi 与 a﹣i 互为共轭复数, ∴a=3,b=1, 则|a+bi|=|3+i|= .

故选:C. 【点评】本题考查共轭复数的概念,考查了复数相等的条件及复数模的求法,是基础题. 2. (5 分) (2016 春?厦门期末) 用反证法证明命题: “若 a, b, c 为不全相等的实数, 且 a+b+c=0, 则 a,b,c 至少有一个负数”,假设原命题不成立的内容是( ) A.a,b,c 都大于 0 B.a,b,c 都是非负数 C.a,b,c 至多两个负数 D.a,b,c 至多一个负数 【分析】用反证法证明数学命题时,应先假设结论的否定成立. 【解答】解:“a,b,c 中至少有一个负数”的否定为“a,b,c 都是非负数”, 由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“a,b,c 都是非负数”, 故选:B. 【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题,把要证的结论进行否定,得到要证的结论的 反面,是解题的突破口,属于基础题. 3. (5 分) (2016 春?厦门期末)已知命题 p:? x∈R,x +x+1≤0,则( ) 2 A.p 是真命题,¬p:? x0∈R,使得 x0 +x0+1>0 2 B.p 是真命题,¬p:? x∈R,使得 x +x+1>0 2 C.p 是假命题,¬p:? x0∈R,使得 x0 +x0+1>0 2 D.p 是假命题,¬p:? x∈R,使得 x +x+1>0 【分析】 根据一元二次函数和不等式的关系判断命题的真假, 根据全称命题的否定是特称命 题进行判断即可. 【解答】解:命题是全称命题, ∵判别式△=1﹣4=﹣3<0, 2 ∴? x∈R,x +x+1>0,故命题 p 是假命题, 2 ∵命题是全称命题则命题的否定是¬p:? x0∈R,使得 x0 +x0+1>0, 故选:C. 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定以及全称命题的真假判断,比较基础.
2

4. (5 分) (2016 春?厦门期末)函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,若 f(x)=sinx,则下列等 式正确的是( ) A.f( ( )=f′( )=f′( ) ) B.f( )=f′( ) C.f( )=f′( ) D .f

【分析】根据基本导数公式求导,再根据各选项可知若 f(x)=f′(x) ,则 sinx=cosx,判断 即可. 【解答】解:∵f(x)=sinx, ∴f′(x)=cosx, 若 f(x)=f′(x) , ∴sinx=cosx, ∴sin ∴f( =cos )=f′( , ) ,

故选:D. 【点评】本题考查了导数的运算法则和三角函数值,属于基础题. 5. (5 分) (2016 春?厦门期末)2016 法国欧洲杯比赛于 6 月中旬揭开战幕,随机询问 100 人是否喜欢足球,得到如下的 2×2 列联表: 不喜 喜欢 欢足 总计 足球 球 35 15 50 男 25 25 50 女 60 40 100 总计 参考公式 k = 临界值表: 0.025 0.010 P(K ≥k0) 0.05 3.841 5.024 6.635 k0 参照临界值表,下列结论正确的是( ) A.有 95%的把握认为“喜欢足球与性别相关” B.有 95%的把握认为“喜欢足球与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下,认为“喜欢足球与性别无关” D.在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下,认为“喜欢足球与性别有关” 【分析】根据条件求出观测值,同所给的临界值进行比较,根据 4.17>3.841,即可得到结 论. 【解答】解:由题意 K = 由于 P(x ≥3.841)≈0.05,
2 2 2 2

, (其中 n=a+b+c+d)

≈4.17,

∴有 95%把握认为“喜欢足球与性别相关”. 故选:A. 【点评】本题考查独立性检验的应用,解题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义. 6. (5 分) (2016 春?厦门期末)下列选项中,与其他三个选项所蕴含的数学推理不同的是 ( ) A.独脚难行,孤掌难鸣 B.前人栽树,后人乘凉 C.物以类聚,人以群分 D.飘风不终朝,骤雨不终日 【分析】利用归纳推理、演绎推理的定义,即可得出结论. 【解答】解:由题意,根据归纳推理是由特殊到一般的推理过程, 可得 A,C,D 是归纳推理,B 是演绎推理, 故选:B. 【点评】 判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义, 即是否是 由特殊到一般的推理过程. 判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理 的定义, 即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程. 判断一个推理过程是否是演 绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义,即是否是由一般到特殊的推理过程.

7. (5 分) (2016 春?厦门期末)已知过双曲线 Г:
2 2 2

=1(a>0,b>0)的右焦点 F2

作圆 x +y =a 的切线,交双曲线 Г 的左支交于点 A,且 AF1⊥AF2,则双曲线的渐近线方程 是( ) A.y=±2x B.y=± x C.y=± x D.y=± x

【分析】设切点为 M,连接 OM,运用切线的性质,以及中位线定理,可得 AF1=2a,由双 2 2 曲线的定义,可得 AF2=2a+AF1=4a,再由勾股定理,可得 c =5a ,结合 a,b,c 的关系,可 得 b=2a,进而得到双曲线的渐近线方程. 【解答】解:设切点为 M,连接 OM, 可得 OM⊥AF2, AF1⊥AF2,可得 AF1∥OM, 且 OM=a,AF1=2a, 由双曲线的定义,可得 AF2=2a+AF1=4a, 在直角三角形 AF1F2 中, 2 2 2 AF1 +AF2 =F1F2 , 2 2 2 即为 4a +16a =4c , 2 2 即有 c =5a , 2 2 2 由 c =a +b ,可得 b=2a, 可得双曲线的渐近线方程为 y=± x, 即为 y=±2x. 故选:A.

【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质,主要是渐近线方程的求法,注意运用直线和 圆相切的条件和中位线定理、勾股定理,考查运算能力,属于中档题. 8. (5 分) (2016 春?厦门期末)定义在 R 上的函数 f(x) ,其导函数是 f′(x) ,若 x?f′(x) +f(x)<0,则下列结论一定正确的是( ) A.3f(2)<2f(3) B.3f(2)>2f(3) C.2f(2)<3f(3) D.2f(2)>3f(3) 【分析】构造函数 g(x)=xf(x)求函数的导数,利用函数的单调性即可求不等式. 【解答】解:设 g(x)=xf(x) , 则 g′(x)=[xf(x)]′=xf′(x)+f(x)<0, 即函数 g(x)=xf(x)单调递减, 显然 g(2)>g(3) , 则 2f(2)>3f(3) , 故选:D. 【点评】本题主要考查函数单调性的应用,根据条件构造函数,求函数的导数,利用函数的 单调性和导数之间的关系是解决本题的关键. 9. (5 分) (2016 春?厦门期末)“a=4 或 a=﹣3“是”函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极 值 10“的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】利用导数与极值的关系、简易逻辑的判定方法即可判断出结论. 【解答】解:f(x)=x +ax +bx+a ,f′(x)=3x +2ax+b. ∵f(x)在 x=1 处有极值 10, 2 ∴f′(1)=3+2a+b=0,1+a+b+a =10, 2 化为 a ﹣a﹣12=0, 解得 a=4 或 a=﹣3. 反之不成立,f(x)在 x=1 处不一定有极值 10. 3 2 2 故“a=4 或 a=﹣3“是”函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极值 10”的必要不充分条件. 故选:A. 【点评】 本题考查了导数与极值的关系、 简易逻辑的判定方法, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 10. (5 分) (2016 春?厦门期末)记半径为 1 的圆为 C1,C1 的外切正三角形的外接圆为 C2, C2 的外切正三角形的外接圆 C3,…Cn﹣1 的外切正三角形的外接圆为 Cn,则 C16 的面积是 ( )
3 2 2 2 3 2 2

A.2 ?π B.2 ?πC.2 ?πD.2 ?π 15 【分析】由题意,C1 的半径为 1,C2 的半径为 2,…C16 的半径为 2 ,即可求出 C16 的面积. 15 【解答】解:由题意,C1 的半径为 1,C2 的半径为 2,…C16 的半径为 2 , 30 ∴C16 的面积是 2 ?π, 故选:C. 【点评】本题考查归纳推理,考查学生的计算能力,确定 C16 的半径是关键. 11. (5 分) (2016 春?厦门期末)函数 f(x)图象如图所示,则 f(x)的解析式可能是( )

15

16

30

32

A.f(x)=lnx﹣sinx B.f(x)=lnx+cosx 【分析】由图象可知,f(1)>f( 再比较即可. 【解答】解:由图象可知,f(1)>f(

C.f(x)=lnx+sinx

D.f(x)=lnx﹣cosx ) ,

)>0,分别对 A,B,C,D 计算 f(1) ,f(

)>0,

当 x=1 时,对于 A:f(1)=ln1﹣sin1<0,不符合, 对于 D,f(1)=ln1﹣cos1<0,不符合, 对于 B:∵f( 对于 C:∵f( )=ln )=ln +cos +sin =ln =ln ,f(1)=ln1+cos1=cos1, +1,f(1)=ln1+sin1=sin1,∴f( )>f(1) ,不

符合 故选:B 【点评】本题考查了函数图象的识别,最关键是利用排除法和函数值得变化趋势,属于基础 题. 12. (5 分) (2016 春?厦门期末)点 M 在抛物线 C:x =2py(p>0)上,以 M 为圆心的圆 与 x 轴相切于点 N, 过点 N 作直线与 C 相切于点 P (异于点 O) , OP 的中点为 Q, 则 ( ) A.点 Q 在圆 M 内 B.点 Q 在圆 M 上 C.点 Q 在圆 M 外 D.以上结论都有可能 【分析】设切点的坐标,可得切线方程,进而可得 N,M 的坐标,即可得出结论. 【解答】解:设 P(a,b) ,则 ∵x =2py,∴y=
2 2

x ,∴y′= ,

2

∴过 P 的切线的方程为 y﹣b= (x﹣a) ,即 y= x﹣b,

令 y=0,可得 x=
2

= ,

代入抛物线 C:x =2py,可得 y=

= ,

∴M( , ) OP 的中点为 Q( , ) ,∴|MQ|= , ∴点 Q 在圆 M 上, 故选:B. 【点评】本题考查抛物线与圆的方程的综合,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计 算能力,属于中档题. 二、填空题(每题 5 分) 13. (5 分) (2016 春?厦门期末)若 i 为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是 1,复平 面内点 Z 表示复数 z,则复数 = .

【分析】由图得到点 Z 对应的复数 z,代入复数 化简,则答案可求. 【解答】解:由图可知:z=﹣1+2i. 则复数 故答案为: = . =

,然后利用复数代数形式的乘除运算



【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 14. (5 分) (2016 春?厦门期末)已知命题 p:a≥2;命题 q:对任意实数 x∈[﹣1,1],关 2 于 x 的不等式 x ﹣a≤0 恒成立,若 p 且 q 是真命题,则实数 a 的取值范围是 [2,+∞) . 【分析】根据不等式恒成立求出命题 q 的等价条件,结合 p 且 q 是真命题,建立不等式关系 进行求解即可. 2 【解答】解:命题 q:对任意实数 x∈[﹣1,1],关于 x 的不等式 x ﹣a≤0 恒成立, 2 即 a≥x ,恒成立, 2 ∵0≤x ≤1,

∴a≥1, 若 p 且 q 是真命题,则 p,q 同时为真命题, 则 ,即 a≥2,

故答案为:[2,+∞) 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用,求出命题的等价条件是解决本题的关键.

15. (5 分) (2016 春?厦门期末)已知点 P 是椭圆 Г:

=1(a>b>0)上的一点,F1、
2

F2 为椭圆的左、右焦点,若∠F1PF2=60°,且△PF1F2 的面积为 . 【分析】由∠F1PF2=60°,△PF1F2 的面积为

a ,则椭圆的离心率是

a ,可得|PF1|?|PF2|.再根据椭圆的定义可

2

得|PF1|+|PF2|=2a,利用余弦定理得到 a,c 的关系,即可求出椭圆的离心率. 【解答】解:由∠F1PF2=60°,△PF1F2 的面积为 F1PF2= |PF1|?|PF2|=
2

a ,可得 |PF1|?|PF2|?sin∠

2

a,

2

∴|PF1|?|PF2|=a . 再根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a. 2 2 2 2 再利用余弦定理可得 4c =|PF1| +|PF2| ﹣2|PF1||PF2|?cos60°=(|PF1|+|PF2|) ﹣ 2 2 3PF1?PF2=4a ﹣3a , 求得 a=2c,∴e= = . 故答案为: . 【点评】本题主要考查余弦定理,椭圆的定义、标准方程,以及简单性质的应用,属于中档 题. 16. (5 分) (2016 春?厦门期末) 已知函数 ( f x) = (m≠0) , 则下列结论正确的是 ①④

①函数 f(x)是奇函数,且过点(0,0) ; ②函数 f(x)的极值点是 x=± ; ③当 m<0 时,函数 f(x)是单调递减函数,值域是 R; ④当 m>0 时,函数 y=f(x)﹣a 的零点个数可以是 0 个,1 个,2 个. 【分析】利用函数的解析式对 4 个选项分别进行判断,即可得出结论. 【解答】解:①∵f(﹣x)=﹣ =﹣f(x) ,∴函数 f(x)是奇函数,

∵f(0)=0,∴函数 f(x)过点(0,0) ,故正确; ②m>0,函数 f(x)的极值点是 x=± ; ,故不正确

③当 m<0 时,x=0,f(0)=0,x≠0,f(x)= 单调递减函数,故不正确; ④当 m>0 时,x=0,f(0)=0,x≠0,f(x)=

,函数 f(x)在(﹣∞,0) , (0,+∞)

,大致图象如图所示

所以函数 y=f(x)﹣a 的零点个数可以是 0 个,1 个,2 个.正确. 故答案为:①④. 【点评】本题考查函数的解析式与性质,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题 的能力,属于中档题. 三、解答题 3 2 17. (10 分) (2016 春?厦门期末)已知函数 f(x)=x ﹣3x ﹣9x﹣3 (1)若函数 f(x)在点(x0,f(x0) )处的切线方程为 y=﹣9x+b,求 b 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 2 【分析】 (1)求导数,f′(x)=3x ﹣6x﹣9,根据函数在图象上某点导数值和过该点切线斜 率的关系即可求出 x0 的值,从而求出切点的坐标,进而求出 b 的值; (2)根据二次函数的图象容易判断导数的符号,根据极值的定义便可求出函数 f(x)的极 大值和极小值. 【解答】解: (1)f′(x)=3x ﹣6x﹣9, 根据题意, ∴x0=0,或 2; ∴①当 x0=0 时,f(x0)=﹣3; ∴切线方程为 y=﹣9x﹣3; ∴b=﹣3; ②当 x0=2 时,f(x0)=﹣25; 切线方程为 y=﹣9x﹣7; ;
2

∴b=﹣7; (2)f′(x)=3(x﹣3) (x+1) ; ∴x<﹣1 时,f′(x)>0,﹣1<x<3 时,f′(x)<0,x>3 时,f′(x)>0; ∴f(x)的极大值为 f(﹣1)=2,f(x)的极小值为 f(3)=﹣30. 【点评】考查函数在函数图象上某点的导数的几何意义,直线的点斜式方程,以及二次函数 的图象,极大值和极小值的概念及求法. 18. (12 分) (2016 春?厦门期末)网购已成为当今消费者喜欢的购物方式,某机构对 A、B、 C、D 四家同类运动服装网店的关注人数 x(千人)与其商品销售件数 y(百件)进行统计 对比,得到表格: 网店 A B C D 名称 x 3 4 6 7 y 11 12 20 17 由散点图得知,可以用回归直线方程 y=bx+a 来近似刻画它们之间的关系 (1)求 y 与 x 的回归直线方程; (2)在(1)的回归模型中,请用 R 说明,销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起 的?(精确到 0.01)
2

参考公式: :



;R ═1﹣

2

参考数据:

xiyi=320;

x =110.

2

【分析】 (1)根据所给的数据,做出 x,y 的平均数,即得到这组数据的样本中心点,根据 最小二乘法做出线性回归方程的系数,写出线性回归方程. 2 2 (2)相关指数 R 的计算公式,求得 R 的值,即可求得销售件数的差异有多大程度是由关 注人数引起的. 【解答】解: (1)由 = =5, = =15, xiyi=320, =110,

=

=

=2,



=15﹣2×5=5,

∴线性回归方程为 =2x+5; (2) (yi﹣ ) =54,
2

(yi﹣

) =14,

2

R ═1﹣

2

=1﹣

=0.74,

说明销售件数的差异有 74%程度是由关注人数引起的. 【点评】 本题考查线性回归方程, 考查最小二乘法求线性回归方程的系数及相关指数的计算, 考查样本中心点的求法,属于基础题.

19. (12 分) (2016 春?厦门期末)椭圆 Г:

=1(a>b>0)过点(1,

) ,且直线

l 过椭圆 Г 的上顶点和左焦点,椭圆中心到直线 l 的距离等于焦距长的 . (1)求椭圆 Г 的方程; (2)若一条与坐标轴不平行且不过原点的直线交椭圆 Г 于不同的两点 M、N,点 P 为线段 MN 的中点,求证:直线 MN 与直线 OP 不垂直. 【分析】 (1)利用点到直线的距离公式整理可知 a=2b,将点(1, 可知 a=2、b=1,进而可得结论; (2)通过设点 M(x1,y1) 、N(x2,y2) 、P(x0,y0) ,结合中点坐标公式,将点 M、N 代 入椭圆方程并做差,计算即得结论. 【解答】 (1)解:椭圆中心到 l 的距离为 = = ×2c,即 a=2b, )代入椭圆方程计算

点(1,

)代入椭圆方程,得:a=2、b=1, +y =1;
2

∴椭圆 Г 的方程为:

(2)证明:法一:设点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,P(x0,y0) ,









?

=﹣ ,即

?

=﹣ ,

∴kMN?kOP=﹣ ≠﹣1,即直线 MN 与直线 OP 不垂直. 法二:设直线方程为 y=kx+b,M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,P(x0,y0) , 联立 ,整理得: (1+4k )x +8kbx+4b ﹣4=0,
2 2 2

∴x1+x2=﹣

,y1+y2=k(x1+x2)+2b=



∴kOP=

=

=﹣



∵kMN?kOP=﹣ ≠﹣1, ∴直线 MN 与直线 OP 不垂直. 【点评】本题考查椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考 查数形结合思想,注意解题方法的积累,属于中档题. 20. (12 分) (2016 春?厦门期末)厦门日报讯,2016 年 5 月 1 日上午,厦门海洋综合行政 执法支队在公务码头启动了 2016 年休渔监管执法的首日行动,这标志着厦门海域正式步入 为期 4 个半月的休渔期.某小微企业决定囤积一些冰鲜产品,销售所囤积鱼品的净利润 y 万元与投入 x 万元之间近似满足函数关系:

f(x)=

若投入 2 万元,可得到净利润为 5.2 万元. (1)试求该小微企业投入多少万元时,获得的净利润最大; (2)请判断该小微企业是否会亏本,若亏本,求出投入资金的范围;若不亏本,请说明理 由(参考数据:ln2=0.7,ln15=2.7) 【分析】 (1)由题意可得 f(2)=5.2,解得 a=﹣4,讨论 2≤x≤15 时,求得导数和单调区 间、极值和最值;由 0<x<2 时,f(x)的单调性可得 f(x)的最大值; (2)讨论 0<x<2 时,f(x)<0 的 x 的范围,由 f(x)在[2,15]的端点的函数值,可得 f(x)>0,即可判断企业亏本的 x 的范围. 【解答】解: (1)由题意可知,当 x=2 时,f(2)=5.2, 即有 aln2﹣ ×2 + ×2=5.2,解得 a=﹣4.
2

则 f(x)=



当 2≤x≤15 时,f(x)=﹣4lnx﹣ x + x, f′(x)=﹣ ﹣ x+ =﹣ ,

2

当 2<x<8 时,f′(x)>0,f(x)递增; 当 8<x<15 时,f′(x)<0,f(x)递减. 当 2≤x≤15 时,f(x)max=f(8)=﹣4ln8﹣16+36=11.6. 当 0<x<2 时,f(x)<2×4﹣(2ln2)×2=5.2. 故该小微企业投入 8 万元时,获得的净利润最大; 2 (2)当 0<x<2 时,2x ﹣(2ln2)x<0,

解得 0<x<ln2,该企业亏本; 当 2≤x≤15 时,f(2)=5.2,f(15)=﹣4ln15﹣ ×15 + ×15=0.45>0, 则 f(x)min=f(15)=0.45>0, 综上可得,0<x<ln2,即 0<x<0.7 时,该企业亏本. 【点评】本题考查导数在实际问题中的运用:求最值,考查化简整理的运算能力,正确求导 是解题的关键,属于中档题. 21. (12 分) (2016 春?厦门期末)抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与抛物线 和 y 轴分别交于点 P、Q,且|PF|=2|PQ| (1)求抛物线的方程; (2)过点 F 作互相垂直的两直线分别交抛物线于点 A、B、C、D,求四边形 ACBD 面积的 最小值. 【分析】 (1)求得抛物线的焦点和准线方程,以及 P,Q 的坐标,运用抛物线的定义和两点 的距离公式,解方程可得 p=4,进而得到抛物线的方程; (2)设 AB:x=my+2,CD:x=﹣ y+2(m≠0) ,联立抛物线方程,消去 x,得到 y 的方程, 运用韦达定理和弦长公式可得|AB|,|CD|,由四边形的面积公式可得 S= |AB||CD|,运 用基本不等式即可得到所求最小值. 【解答】解: (1)抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F( ,0) ,准线方程为 x=﹣ , 由题意可得 P( ,4) ,Q(0,4) , 由|PF|=2|PQ|,结合抛物线的定义可得|PF|= + , 即有 + =2? (p>0) ,解得 p=4, 则抛物线的方程为 y =8x; (2)由(1)知:F(2,0) , 设 AB:x=my+2,CD:x=﹣ y+2(m≠0) , 联立 AB 方程与抛物线的方程得:y ﹣8my﹣16=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=8m,y1y2=﹣16, ∴|AB|= = ? ? =8(1+m ) , ) .
2 2 2 2 2 2 2

同理:|CD|=8(1+

∴四边形 ACBD 的面积:S= |AB||CD|=32(1+m ) (1+ =32(2+m +
2



)≥128.

当且仅当 m =

2

即:m=±1 时等号成立.

∴四边形 ACBD 的面积的最小值为 128. 【点评】本题考查抛物线的标准方程的求法,直线与抛物线的位置关系的应用,四边形面积 的最值以及基本不等式的应用,考查转化思想以及计算能力. 22. (12 分) (2016 春?厦门期末)函数 f(x)=(﹣x +ax+a)e (a>0,e 是自然常数) (1)当 x∈[0,1]时,函数 f(x)的最大值是 (2)当 x∈(0,1]时,证明:2x ﹣x ﹣x>
3 2 2 x

,求 a 的值; .

【分析】 (1) 求出函数的导数, 通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间, 得到函数的最大值, 从而求出 a 的值即可; (2)问题转化为(﹣x + x+ )e < (x)= (1﹣
2 x

(1﹣

) ,设 g(x)=﹣x + x+ )e ,设 h

2

x

) ,根据函数的单调性分别求出其最大值和最小值,从而证出结论.
x

【解答】解: (1)由题意得:f′(x)=﹣(x+2) (x﹣a)e , a>0 时,由 f′(x)≥0,解得:﹣2≤x≤a, ∴f(x)在[﹣2,a]递增,在(﹣∞,﹣2],[a,+∞)递减, a≥1 时,f(x)在[0,1]递增, ∴f(x)max=f(1)=(2a﹣1)e= ,解得:a= + <1,不合题意,舍,

0≤a<1 时,f(x)在[0,a]递增,在[a,1]递减, ∴f(x)max=f(a)=ae =
a

,解得:a= ,符合题意, ;

综上,存在 a= ,使得 x∈[0,1]时,f(x)的最大值是 (2)当 x∈(0,1]时,要证:2x ﹣x ﹣x>
2 x 3 2



即证(﹣x + x+ )e <
2 x

(1﹣

) ,

设 g(x)=﹣x + x+ )e , 由(1)可得 g(x)max=g( )= 设 h(x)= (1﹣ ,

) ,h′(x)=



h(x)在(0,1]递减,h(x)min=h(1)=



∴(﹣x + x+ )e < 即 2x ﹣x ﹣x>
3 2

2

x

(1﹣ .

) ,

【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,是一 道中档题.

参与本试卷答题和审题的老师有:sxs123;546278733@qq.com;maths;whgcn;双曲线; 沂蒙松;wkl197822;990524069@qq.com;cst;1619495736(排名不分先后) 菁优网 2016 年 9 月 4 日


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