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2005年全国高中数学联赛几道试题的向量解法


2005 年第 12 期

15

2005 年全国高中数学联赛几道试题的向量解法
王连笑
( 天津市实验中学 ,300074)

   2005 年高中数学联赛第一试第 15 题及 加试第 1 题都可以用向量解决 . 由于向量本 身既具有代数形式又具有几何形式 ,所以 ,用 向量解题 ,可以更加程序

化 ,用代数运算和向 量运算帮助几何推理 . 第一试第 15 题 : 如图 1 , 过抛物线 2 y = x 上一点 A ( 1 ,1 ) 作抛物线的切线 , 分别 交 x 轴于点 D 、 交 y轴 于点 B . 点 C 在抛物线 上 ,点 E 在线段 AC 上 ,
AE 满足 =λ 1 ,点 F 在 EC
图1

F E = CE - CF =

1 1 CA CB . 1 +λ 1 +λ 1 2

② 因为 F P 与 F E 共线 ,则存在 t ∈R ,使得
F P = t F E.



由式 ①、 ②、 ③ 有 α t = , 2 1 +λ 1 α 1 - t = . 2 1 +λ 1 +λ 2 2 则
1 (1 + λ 1 )α= t , 2 1 (1 + λ 2 )α- 1 = - t . 2 2 . 3

④ ⑤

BF 线段 BC 上 , 满足 =λ 2 ,且 λ 1 +λ 2 = 1 ,线 FC

④+ ⑤ 得 α= 故 CP =

段 CD 与 EF 交于点 P. 当点 C 在抛物线上移 动时 ,求点 P 的轨迹方程 . 解 :因为 y′ = 2x
x =1

2 CD , P 是 △ABC 的重心 . 3
x0 + 1

设 C ( x0 , y 0 ) 、 P ( x , y ) ,得
x= y= x0 + 1 + 0

= 2 , 所以 , 过点 A

的切线方程为 y - 1 = 2 ( x - 1) ,即 y = 2 x - 1. 1 故 A ( 1 ,1) , B ( 0 , - 1) , D ,0 . 2 从而 , D 是 AB 的中点 , CD 是 △ABC 的 一条中线 . 由题设有 1 1 CE = CA , CF = CB , 1 +λ 1 +λ 1 2 CP = α CD . α 则 CP = ( CA + CB ) , 2 F P = CP - CF α α 1 = CA + CB , ① 2 1 +λ 2 2

3
x0 + 1 - 1
2

= =

3
x0
2

,

3

3

.

消去 x0 得 y =

1 ( 3 x - 1) 2 . 3

又点 C 与点 A 不重合 ,所以 , x0 ≠ 1 ,即
x≠ .

2 3

因此 ,所求轨迹方程为
y=

1 2 ( 3 x - 1) 2 ( x ≠ ) . 3 3

顺便指出 , 本题实质上是一道地方高考 模拟题的逆命题 . 原题为 : 设 G 为 △ABC 的重心 , 过点 G 的直线 l 分别交 AB 、 AC 于点 P 、 Q , 已知 AP = λ AB ,
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16

中 等 数 学

AQ = μ AC . 求证 :

1 1 λ + μ = 3.

加试第 1 题 : 在 △ABC 中 , 设 AB > AC , 过 点 A 作 △ABC的外接圆的切线 l , 又以点 A 为圆心 、 AC 为半径作圆分别交线段 AB 于点 D , 交直 线 l 于点 E 、 F. 证明 : 直线 DE 、 DF 分别通过 △ABC的内心与一个旁心 . 解 : 如图 2 , 以 A 为 坐标原点 、 直线 l 为 x 轴建立直角坐标系 . 设 ⊙A 的 半 径 为 1 ,其方程为 2 2 x + y = 1. ① 设 △ABC 的外接圆 半径为 R ,其方程为 2 2 2 x + ( y + R ) = R ( R > 0) .

sin C? cos B - cos C? sin C - 1, sin A + sin B + sin C - sin C ( sin B + sin C) , sin A + sin B + sin C

于是 , EI =

ED = ( - ( cos C + 1) , - sin C) .

由于
= -

sin C? cos B - cos C? sin C - 1 sin A + sin B + sin C ( sin B + sin C) ( cos C + 1) , sin A + sin B + sin C

所以 , EI 与 ED 共线 ,即点 I 在 ED 上 . 又设 IA 为 △ABC 的一个旁心 ,则
a IA A - bIA B - c IA C = 0.

故 x IA =
图2

- sin C? cos C + sin C? cos B , sin B + sin C - sin A
2

y IA =

- sin C - sin C? sin B . sin B + sin C - sin A

由 F ( - 1 ,0) 可得 ②
FD = ( 1 - cos C , - sin C) , FI A =

由弦切角的性质有 C (cos B , - sin B ) , D ( - cos C , - sin C) .
1 由方程 ①、 ② 解得 yC = . 2R

- sin C? cos C + sin C? cos B + 1, sin B + sin C - sin A - sin C - sin C? sin B ) sin B + sin C - sin A
2



1 1 = sin B ,2 R = . 2R sin B sin C x. cos C
2

=

( sin B + sin C) ( 1 - cos C) , sin B + sin C - sin A - sin C ( sin B + sin C) . sin B + sin C - sin A

又直线 lAD : y =



由方程 ②、 ③ 解得
B

故 FD 与 FI A 共线 ,即点 IA 在 FD 上 . 第一试第 2 题也是一个向量题 , 该题反 映了一个重要的性质 : 空间四点满足 AB + CD = BC + DA , 则 AC? BD = 0. 这一性质对平面四点与空间四点均成 立. 该性质证明如下 : 由 AB + CD = BC + DA ,有
( OB - OA ) 2 + ( OD - OC) 2
2 2 = ( OC - OB ) + ( OA - OD ) , 2 2 2 2 2 2 2 2

-

sin C? cos C sin C ,. sin B sin B

设 AC = b = 1 , BC = a = 2 R sin A =
sin A sin C , AB = c = 2 R sin C = . sin B sin B

若 I 为 △ABC 的内心 ,则
a IA + b IB + c IC = 0 . axA + bxB + cx C , a+ b+ c

故 xI =
yI =

ayA + byB + cy C , a+ b+ c

即  x I =

sin C? cos B - cos C? sin C , sin A + sin B + sin C
2

即  OA? OB + OC? OD = OB ? OC + OA? OD ,
( OD - OB ) = 0. 则 ( OC - OA ) ?

- sin C? sin B - sin C yI = . sin A + sin B + sin C

故 AC? BD = 0.
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