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2.3数学归纳法(1)


①观察:6=3+3,8=5+3,10=3+7,12=5+7,14=3+ 11, 哥德巴赫 不完全归 16=5+11,·78=67+11,·我们能得出什么结论? · · · · 猜想 纳法 任何一个大于等于6的偶数,都可以表示成两个奇质数之和. 完全 ②一个袋子里共有18个球,要判断这一袋球是红球,还是白球, 归纳 请问怎么办? 法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,

通常叫做 归纳法.

完全归纳法:
为了研究一组(或一个)对象所具有的属性,考查它的所有元 素并归纳得出结论。

不完全归纳法:
为了研究一组(或一个)对象所具有的属性,考查它的特有几 个或部分元素并归纳得出结论。

1.在等差数列{an}中,已知首项为a1,公差为d,那么 a1=a1+0?d, a2=a1+1?d, a3=a1+2?d, a4=a1+3?d, …, an=? 归纳 an=a1+(n?1)?d, 2.比较2n与n2+2 (n?N*)的大小

验证可知:n=1、2、3、4都有2n<n2+2 ? 如n=5时2n>n2+2 对任何n?N*, 2n<n2+2
完全归纳法: 优点:考查全面,结论正确。 缺点 :工作量大,有些对象无法全面考查。 不完全归法: 优点:考查对象少,得出结论快。 缺点 :观察片面化,结论不一定正确。

多米诺骨牌效应
1、第一张牌能倒下;
2、假设第k张能倒下,则一定能压倒紧挨的 第k+1张牌。





对于某些与正整数有关的数学命题我们常采用下 面的方法来证明它们的正确性: 先证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立, 然后假设当n=k (k∈N,k≥n0)时命题成立;证明当n=k+1 时命题也成立,这种证明方法叫做数学归纳法.
数学归纳法的两个步骤: (Ⅰ)证明当n=n0 (如n0 =1或2等)时,结论正确; (Ⅱ)假设n=k(k∈N*且k≥n0)时结论正确,并应用此 假设证明n=k+1时结论也正确.

注意:运用数学归纳法证题,以上两个步骤 缺一不可。

用数学归纳法证明: 如果{ a n } 是等差数列,已知首项为 a1,公差为 d ,那么
a n ? a1 ? ( n ? 1)d ? 对一切n ? N 都成立.

证明:(1)当n=1时, 左边 ? a1 , 右边 ? a1 ? 0 ? d ? a1 , 等式是成立的.

(2)假设当n=k时等式成立,就是a k ? a1 ? ( k ? 1)d ,
那么 a k ?1 ? a k ? d

   [ a1 ? ( k ? 1) d ] ? d ? a1 ? [( k ? 1) ? 1]d ?
这就是说,当n=k+1时,等式也成立 由(1)和(2)可知,等式对任何 n ? N 都成立.
?

例题讲解
2 例1 用数学归纳法证明 1 ? 3 ? 5 ? ? ( 2 n ? 1) ? n .

证明: (1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立. (2)假设当 n ? k ?k ? N *? 时,等式成立,就是
1 ? 3 ? 5 ? ? ( 2 k ? 1) ? k .
2

递推基础

那么

1 ? 3 ? 5 ? ? ( 2 k ? 1 ) ? [ 2 ( k ? 1 ) ? 1] ? k ? [( 2( k ? 1) ? 1] ? k ? 2 k ? 1
2 2

递推依据

? ( k ? 1) 2

这就是说,当n=k+1时,等式也成立.
由(1)和(2),可知的等式对任何 n ? N 都成立.
?

数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是:

递推基 础 (1)证明当 n 取第一个值 n(如 n0 ? 1或2等)时结论正确; 0 “找准起点,奠基要稳” (2)假设时 n ? k ( k ? N ?且 k ? n0 ) 结论正确,证明
n ? k ? 1 时结论也正确.

“用上假设,递推才真”

递推依据

小时候学数数的经历:先会数1,2,3;再数到10;再数到20 以内的数再数到30以内的数……,终于有一天我们可以骄傲地说: 我什么数都会数了,为什么呢?因为会数1,2,3……有了数数的 基础,会在前一个数的基础上加班1得到后一个数,进行传递, 所以,可以说什么数都会数了.

例2.用数学归纳法证明
6 证明:1、当n=1时,左=12=1,右= 1(1 ? 1)( 2 ? 1) ? 1 6 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ? n( n ? 1)( 2 n ? 1)

∴n=1时,等式成立

2、假设n=k时,等式成立,即 那么,当n=k+1时
12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? k 2 ?

k ( k ? 1)( 2k ? 1)

6 左=12+22+…+k2+(k+1)2= k ( k ? 1)( 2k ? 1) ? ( k ? 1) 2 6 k ( k ? 1)( 2k ? 1) ? 6( k ? 1) 2 ( k ? 1)( k ? 2)( 2k ? 3) ? ? 6 6

=右 ∴n=k+1时,原不等式成立

由1、2知当n?N*时,原不等式都成立

思 考

下面是某同学用数学归纳法证明命题 1 1 1 n ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 n ? ( n ? 1) n ? 1 的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?
(1).当n=1时,左边=
1 1? 2 ? 1 2

,

右边=

1 1?1

?

1 2

(2).假设n=k(k∈N*)时命题成立 ,
1 1? 2 ? 1 2?3 ??? 1 k ? ( k ? 1) ? k k ?1
? 1 k?2 )

那么n=k+1时,

左边 ? (1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1
? 1? 2 1 2 k?2 ? 3 k ?1 ( k ? 1) ? 1

k ?1

=右边,

即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切正整数,命题均正确.

例3.用数学归纳法证明: 1?4+2?7+3?10+…+n(3n+1)=n(n+1)2

1

1 1 1 1 1 n 例4.求证: + 2 + 3 +?+ n ? 1 ? ( ) 2 2 2 2 2
1 1 ?1? 证明:①当n=1时,左边= 右边= 1 ? ? ? ? 2 2 ? 2?
1

∴n=1时等式成立。

②假设n=k时,命题成立,即 + 2 + 3 +?+
2 2 2
? ? ? ?

1

1

1

? 1 ? ( )k 2k 2

1

1

那么,当n=k+1时,有
1 2 1 2 1 2 1 2k ? 1 2 k ?1 ?



+ 2

+?+ 3

1 ? ?1? ?1 ? ? ? 2 ? ? 2? ? 1 1? 2

k ?1

?1? ? 1? ? ? ? 2?

k ?1

即n=k+1时,命题成立。

根据①②问可知,对n∈N*,等式成立。

课 堂 小 结

①归纳法:由特殊到一般,是数学发现的重要方法; ② 数学归纳法证题程序化步骤:两个步骤,一个结论; ③ 数学归纳法优点:即克服了完全归纳法的繁杂的缺点, 又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足,是一种科学 方法,使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由 有限到无穷. ④数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的 重要方法

数学归纳法的基本思想: 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用 “有限”的手段来解决“无限”的问题

练 习

1、用数学归纳法证明等式 1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,

1+2+3 ; 当n=2时,左边所得项是1+2+3+4+5;
当n=1时,左边所得项是

2、用数学归纳法证明 n?2 1?a 2 n ?1 1 ? a ? a ? ?a ? ( n ? N, a ? 1) 1?a 在验证n=1成立时,左边所得项为( C ) A、1 B、1+a

C、1+a+a2

D、1+a+a2+a3

思考: 用数学归纳法证:

1 n ?1

?

1 n?2

???

1 2n

?

13 24

(n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到 “n=k+1”时,不等式左边的变化是(
( A)
(C )
( D)

):
;

?
?
?

1 2( k ? 1)
1 2k ? 2
1 2k ? 1

;
1 k ?1
1 2k ? 2

( B)

?

1 2k ? 1

?

1 2k ? 2

?
?

;
? 1 k ?1 .


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