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浙江省台州中学2013届高三高考模拟数学理试题


台州中学 2012 学年第二学期第四次统练试题
高三 数学(理)
命题人:高三数学备课组
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。

参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 柱体的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A、B 相

互独立,那么
m]

V ? Sh
其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 锥体的体积公式

P( A ? B) ? P( A) P( B)

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p , 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) ? Cn p k (1 ? p) n ?k (k ? 0,1, 2, …n)

V?

1 Sh 3

其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高

球的表面积公式

台体的体积公式

S ? 4? R2

1 V ? h S1 ? S1S2 ? S2 3

?

?

球的体积公式

其中 S1 , S 2 分别表示台体的上、下底面积,

4 V ? ? R3 3
其中 R 表示球的半径

h 表示台体的高

选择题部分(共 50 分) 一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.复数 z ?

(1 ? i ) 2 ( i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第三象限

( D.第四象限



A.第一象限

2.若集合 A ? 1, m , B ? ?2,4?,则“ m ? 2 ”是“ A ? B ? ?4?”的
2

?

?





A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) 。可得这个几何体的 体积是 ( )

1 3 3 4 3 C. cm 3
A. cm 4. 二项式 ( 3 x ? A. 5 5.将函数

B.

2 3 cm 3 8 3 D. cm 3
( C. ?20 D. 40 )

2 5 ) 的展开式中常数项为 x
B. 10

f ?x ? ? 2 sin?2 x ? ? ? ? 3 的图象 F 向右平移
?
4

? ,再向上平移 3 个单位,得到图 6
( D. )

象 F′,若 F′的一条对称轴方程是 x ? A. ?

,则 ? 的一个可能取值是 C.

?
6

B. ?

?
3

? 2

? 3

6. 一支足球队每场比赛获胜(得 3 分)的概率为 a,与对手踢平(得 1 分)的概率为 b,负 于对手 (得 0 分) 的概率为 c, a, b, c ? ? 0,1? .已知该足球队进行一场比赛得分的期望是 1, 则

1 1 ? 的最小值为 a 3b 16 14 A. B. 3 3
x

( C.

)

17 3

D.

10 3

7.已知函数 f ( x) ? 2 ? log 1 x ,且实数 a ? b ? c ? 0 满足 f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 ,若实
2

数 x 0 是函数 y = f (x) 的一个零点,那么下列不等式中不可能成立的是 ( ... A. x 0 ? a B. x0 ? a C.



x0 ? b

D. x 0 ? c

0 8. 已知点G 是?ABC 的重心, AG ? ? AB ? ? AC ?、? ? R) ?A ? 120 , AB ? AC ? ?2 , ( ,若

则 AG 的最小值是





A.

3 3

B.

2 2

C.

2 3

D.

3 4

9. 点 P 在 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上 , F1、F2 是 这 条 双 曲 线 的 两 个 焦 点 , a 2 b2


?F1 PF2 ? 90? ,且 ?F1 PF2 的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是(
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5

10.已知 x ? R, 符号

? x ? 表示不超过 x 的最大整数,若函数 f ? x ? ?
B. ? , ? ?2 3? ? ?
1 2 3 4? C. ? , ? ? ? 4 5?

? x? ? a
x

? x ? 0? 有且仅
( )

有 3 个零点,则 a 的取值范围是
? A. ? , ? ? ? 2 3? 1 2

3 4 D. ? , ? ?4 5? ? ?

Ks5u 非选择题部分(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.已知

cos 2? sin(? ?

?
4

? )

2 ,则 cos? ? sin? ? ___________. 2

12. 已知函数 f ( x) 满足 f (1) =1 且 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ,则

f (1) ? f (2) ? … ? f (10) =________.
13.执行右面的框图,若输出 p 的值是 720,则输入的正整数 N 应该 是_________. ? y ≥ 0??? x, y 满足约束条件 ? y ≤ x 14.设 ,若目标函数 3x ? y 的最大 ? ? x +2 y ? a ≤ 0 ? 值为 6,则 a ? ______. 15.三位老师和三名学生排成一排照相,学生甲必须排在三位老师的 左边,共有__________种排法.(用数字作答) 16.圆 C1 的方程为 ( x ? 3) ? y ?
2 2

4 1 2 2 ,圆 C2 的方程 ( x ? 3 ? cos? ) ? ( y ? sin ? ) ? , 25 25

? ? R ,过 C2 上任意一点 P 作圆 C1 的两条切线 PM、PN,切点分别为 M、N,则∠MPN
最大值为___________. 17.四面体 ABCD 中,AD 与 BC 互相垂直,AD=2BC=4,且 AB+BD=AC+CD=2 14 ,则 四面体 ABCD 的体积的最大值是__________. 三、解答题本大题共 5 小题.共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 . 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 向 量 m ? ( c o s (

??

? x ? 1) ,? , n 2

x ( 3 sin 2

x ,2c o s, 设 函 数 ) 2

?? ? f ( x) ? m ? n +1
(1)若 x ? [0,

?
2

] , f ( x) ?

11 ,求 cos x 的值; 10

(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 2b cos A ? 2c ? 3a ,求 f (B) 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分)已知数列 ?a n ?的首项 a1 ? 2a ? 1 ( a 是常数,且 a ? ?1 ) ,

a n ? 2a n ?1 ? n 2 ? 4n ? 2 (n ? ?1) ,数列 ?bn ? 的首项 b1 ? a , bn ? an ? n 2 (n ? 2)
(1) 证明: ?bn ? 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列; (2) 设 S n 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,且 ?S n ? 是等比数列,求实数 a 的值.

20. (本小题满分 14 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底 面 ABCD 为平行四边形, AB ? 2 AD ? 2 , BD ?

3,

PD ⊥底面 ABCD .
(1)证明:平面 PBC ? 平面 PBD ; (2)若二面角 P ? BC ? D 为 角的正弦值.

? , AP 与平面 PBC 所成 求 6

21. (本小题满分 15 分)已知圆 M : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? r 2 ( r ? 0 ).若椭圆 C : ( a ? b ? 0 )的右顶点为圆 M 的圆心,离心率为

x2 y2 ? ?1 a 2 b2

2 . 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若存在直线 l : y ? kx ,使得直线 l 与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,与圆 M 分别交 于 G , H 两点,点 G 在线段 AB 上,且 AG ? BH ,求圆 M 半径 r 的取值范围.

22. (本小题满分 15 分)已知 x ? (1)求证: f ( x) ? h( x) ;

1 2 ,函数 f ( x) ? x , ( x) ? 2e ln x e 为自然对数的底数) ( , h 2

(2)若 f ( x) ? h( x) 且 g ( x) ? h( x) 恒成立,则称函数 h(x ) 的图像为函数 f (x) , g (x) 的边界.已知函数 g ( x) ? ?4 x ? px ? q( p, q ? R) ,试判断“函数 f (x) , g (x) 以函
2

数 h(x ) 的图像为边界”和“函数 f (x) ,g (x) 的图像有且仅有一个公共点”这两个条 件能否同时成立?若能同时成立,请求出实数 p, q 的值;若不能同时成立,请说明理 由.

台州中学 2012 学年第二学期第四次统练参考答案 高三
BACDB ADCDC

数学(理)
180

1 2

1023

6

2

? 3

4

18.解: f ( x) ? ∵ f ( x) ?

3 1 1 ? 1 sin x ? cos x ? ? sin(x ? ) ? ????????4 分 2 2 2 6 2

11 ? 3 ? ? ? ? ? 4 ,∴ sin( x ? ) ? ; 又∵ x ? [0, ] , x ? ? ? , ] , c x ? ) ? ∴ 即 os( [ 10 6 5 2 6 6 3 6 5

? ? ? ? ? ? 4 3 3 ? cos x ? cos[( x ? ) ? ] ? cos( x ? ) cos ? sin( x ? )sin ? ? ???7 分 6 6 6 6 6 6 10 10
(2)由2bcosA ? 2c-得: B cos A ? 2sin c ? 3 sin A 2sin ? 2sin B cos A ? 2sin( A ? B) ? 3 sin A ? 2sin B cos A ? 2[sin A cos B ? cos A sin B] ? 3 sin A ? 2sin A cos B ? 3 sin A ? cos B ? 3 ? ? B ? (0, ] 2 6
??Ks5u???11 分 ∴ sin( B ?

?

1 ? 1 1 ) ? (? , 0] ,即 f ( B) ? sin( B ? ) ? ? f ( B) ? (0, ] 6 2 6 2 2
2 2

??14 分

19. (1) bn ?1 ? a n ?1 ? (n ? 1) ? 2a n ? 2n ? 2bn (n ? 2) ,由 a1 ? 2a ? 1 , a 2 ? 4a , 解: 得

b2 ? 4a ? 4 ,因为 a ? ?1 ,所以 b2 ? 0 ,即 ?bn ? 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列。
??????7 分 (2)S n ? ?3a ? 4 ? (2a ? 2)2 , n ? 2 时, 当
n

Sn 3a ? 4 ? 2? , 因为 ?S n ? S n ?1 (a ? 1)2 n ?1 ? 3a ? 4
????14 分

是等比数列,故

Sn 4 为常数,因为 a ? ?1 ,故 a ? ? S n ?1 3

20.解: (1)∵ CD ? BC ? BD
2 2

2

∴ BC ? BD ∴ PD ? BC ∴ BC ? 平面 PBD ?????6 分

又∵ PD ⊥底面 ABCD 又∵ PD ? BD ? D 而 BC ? 平面 PBC ∴平面 PBC ? 平面 PBD

(2)由(1)所证, BC ? 平面 PBD 所以∠ PBD 即为二面角P-BC-D的平面角,即∠ PBD ? 而 BD ?

? 6

3 ,所以 PD ? 1

????????????????9分

分别以 DA 、 DB 、 DP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系。 则 A(1,0,0) , B (0, 3 ,0) , C (?1, 3 ,0) , P(0,0,1) 所以, AP ? (?1,0,1) , BC ? (?1,0,0) , BP ? (0,? 3 ,1) 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( a, b, c) ,则 ?

? ?n ? BC ? 0 ? n ? BP ? 0 ?

即?

?? a ? 0 ?? 3b ? c ? 0

可解得 n ? (0 , 1 , 3 )

∴ AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为 sin ? ?

AP ? n AP n

?

3 2 ?2

?

6 4

?????14 分

21.解: (I)设椭圆的焦距为 2c , 因为 a ?

2,

x2 c 2 ,所以 c ? 1 ,所以 b ? 1 . 所以椭圆 C : ? y 2 ? 1 ??4 分 ? 2 a 2

(II)设 A ( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 ) , 由直线 l 与椭圆 C 交于两点 A , B ,则 ?

? y ? kx
2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

所以 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 2 ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? ?

2 ??????6 分 1 ? 2k 2

所以 AB ?

(1 ? k 2 )

8 8(1 ? k 2 ) ??????7 分 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2k 1? k
2

点 M ( 2 ,0)到直线 l 的距离 d ?

H B G

2k 2 则 GH ? 2 r ? ??????10 分 1? k2
2

显然,若点 H 也在线段 AB 上,则由对称性

A

可知,直线 y ? kx 就是 y 轴,矛盾,所以要使 AG ? BH ,只要 AB ? GH

所以

8(1 ? k 2 ) 2k 2 ? 4( r 2 ? ) 1 ? 2k 2 1? k2 2k 2 2(1 ? k 2 ) 2(3k 4 ? 3k 2 ? 1) k4 ? ? ? 2(1 ? 4 ) ??????12 分 1 ? k 2 1 ? 2k 2 2k 4 ? 3k 2 ? 1 2k ? 3k 2 ? 1
2
??????13 分

r2 ?

当 k ? 0 时, r ?

1 1 ) ? 2(1 ? ) ? 3 1 3 当 k ? 0 时, 2 ? 2 ?2 4 k k 1 r 2 ? 2(1 ? )?2 1 3 又显然 , 所以 2 ? r ? 3 ? 2 ?2 4 k k r 2 ? 2(1 ?
综上, 2 ? r ?

3

??????15 分
2 ?l x 2n , e

h ? 22. 记 u (x) ?f (x) ?(x) x (1)
所以 x ?

则 u '( x) ? 2 x ?

2e 1 因为 x ? , , 令 u '( x) ? 0 , x 2

e.

所以函数 u ( x ) 在 ( , e ] 上单调递减,在 [ e , ?? )上单调递增.

1 2

u ( x)min ? u ( e ) ? f ( e ) ? h( e ) ? e ? e ? 0, 即 u( x) ? 0, 所以 f ( x) ? h( x).
( 2 ) 由 ( 1 ) 知 f ( x) ? h( x) 对 x ? ,

1 恒成立,当且仅当 x ? e 时等号成立,记 2

v( x) ? h( x)? g ( x)? 2e l n x 24x ? p ? ,则“ v( x) ?0 恒成立”与“函数 f ( x), g ( x) 的 ? x q
图象有且仅有一个公共点”同时成立,即 v( x) ? 0 对 x ?

1 恒成立,当且仅当 x ? e 时等 2
2e 8 x 2 ? px ? 2e ? 8x ? p ? , 2 x

号成立, 所以函数 v ( x ) 在 x ? e 时取极小值, 注意到 v '( x) ?

由 v '( e ) ? 0 , 解得 p ? 10 e , 此时 v '( x) ?

8( x ? e )( x ? x
[ e ?? ,

e ) 4 , 由 x ? 1 知, 函数 v ( x ) 在 2
单 调 递 增 , 即

1 ( , e] 2
v(
m















) 上

x) ? i

n

v( ? e )

h( ?

e)

? ( ? e ) ? 综上,两个条件能同时成立,此 g 5e ? q ?0 ?q , 5e ,

时 p ? 10 e , q ? ?5e. Ks5u


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