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2011届高三数学一轮复习 函数的基本性质巩固与练习


巩固 1.(2010 年皖南八校联考)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 f(-3)=-2,则 f(3)+f(0)=( ) A.3 B.-3 C.2 D.7 解析:选 C.由题意得 f(3)+f(0)=-f(-3)+f(0)=2+0=2.故选 C. 2.(2009 年高考福建卷)下列函数 f(x)中,满足“对任意的 x1, x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有

f(x1)>f(x2)”的是( ) 1 A.f(x)=x B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1) 解析:选 A.由题意知函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数, 1 在 A 中,由 f′(x)=-x2<0 得 f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上为 减函数; 在 B 中,由 f′(x)=2(x-1)<0 得 x<1,所以 f(x)在(-∞,1) 上为减函数. 在 C 中,由 f′(x)=ex>0 知 f(x)在 R 上为增函数. 1 在 D 中, 由 f′(x)= 且 x+1>0 知 f′(x)>0, 所以 f(x)在(- x+1 1,+∞)上为减函数. 1 3.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f(|x |)<f(1)的实数 x 的取值范围是( ) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 1 解析:选 C.∵f(x)在 R 上为减函数且 f(|x|)<f(1), 1 ∴|x |>1, 即|x|<1 且 x≠0,得-1<x<0 或 0<x<1. 1 4 . ( 原创题 ) 已知 f(x) = x2 + x ,则 f(a + a )________f(1) . ( 填 “≤”“≥”). 1 1 解析:∵a+a≥2 或 a+a≤-2, 1 f(x)的对称轴为 x=-2.

1 ∴f(x)在(-2,+∞)上为增函数, 1 在(-∞,-2)上为减函数. 又 f(2)=22+2=6>2=f(1), f(-2)=(-2)2+(-2)=2=f(1), 1 ∴f(a+a)≥f(1). 答案:≥ 5. (2008 年高考上海卷)若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a、 b∈R) 是偶函数,且它的值域为 ( -∞, 4] ,则该函数的解析式 f(x) = ________________. 解析:由于 f(x)的定义域为 R,值域为(-∞,4], 可知 b≠0,∴f(x)为二次函数, f(x)=(x+a)(bx+2a) =bx2+(2a+ab)x+2a2. ∵f(x)为偶函数, 2a+ab ∴其对称轴为 x=0,∴- 2b =0, ∴2a+ab=0,∴a=0 或 b=-2. 若 a=0,则 f(x)=bx2 与值域是(-∞,4]矛盾,∴a≠0, 若 b=-2,又其最大值为 4, 4b×2a2 ∴ 4b =4,∴2a2=4, ∴f(x)=-2x2+4. 答案:-2x2+4 1 1 6.已知函数 f(x)=a-x (a>0,x>0). (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; 1 1 (2)若 f(x)在[2,2]上的值域是[2,2],求 a 的值. 解:(1)证明:设 x2>x1>0, 则 x2-x1>0,x1x2>0. 1 1 1 1 ∵f(x2)-f(x1)=(a-x )-(a-x ) 2 1 1 1 x2-x1 =x -x = x x >0, 1 2 1 2 ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.

1 1 (2)∵f(x)在[2,2]上的值域是[2,2], 1 又 f(x)在[2,2]上单调递增, 1 1 2 ∴f(2)=2,f(2)=2,代入可得 a=5.

练习

1.对于定义在 R 上的任何奇函数,均有( ) A.f(x)· f(-x)≤0 B.f(x)-f(-x)≤0 C.f(x)· f(-x)>0 D.f(x)-f(-x)>0 解析:选 A.∵f(-x)=-f(x), ∴f(x)· f(-x)=-[f(x)]2≤0. 2.(2010 年重庆联合诊断)已知函数 f(x)的定义域为[a,b],函数 y=f(x)的图象如下图所示,则函数 f(|x|)的图象是( )

解析:选 B.∵y=f(|x|)是偶函数,∴y=f(|x|)的图象是由 y=f(x) 把 x>0 的图象保留,x<0 部分的图象关于 y 轴对称而得到的. 3.在 R 上定义的函数 f(x)是偶函数,且 f(x)=f(2-x),若 f(x) 在区间[1,2]上是减函数,则 f(x)( )

A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数 解析:选 B.由 f(x)=f(2-x)知函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对 称,作出函数的特征性质图如下.

A.-1 B.1 C.6 D.12 解析:选 C.由题意知 当-2≤x≤1 时,f(x)=x-2, 当 1<x≤2 时,f(x)=x3-2, 又∵f(x)=x-2,f(x)=x3-2 在定义域上都为增函数, ∴f(x)的最大值为 f(2)=23-2=6. 5.(2009 年高考福建卷)定义在 R 上的偶函 数 f(x)的部分图象如右图所示,则在(-2,0)上 , 下列函数中与 f(x)的单调性不同的是( ) 2 A.y=x +1 B.y=|x|+1 x ? ? ?2x+1,x≥0 ?e ,x≥0 C.y=? 3 D.y=? -x ? ? x + 1 , x < 0 ? ?e ,x<0 解析: 选 C.利用偶函数的对称性知 f(x)在(-2,0)上为减函数. 又 2 y=x +1 在(-2,0)上为减函数;y=|x|+1 在(-2,0)上为减函数;y= ? ?2x+1,x≥0, ? 3 在(-2,0)上为增函数. ?x +1,x<0 ?
x ? ?e ,x≥0, y=? -x 在(-2,0)上为减函数,故选 C. ?e ,x<0 ?

6.(2009 年高考陕西卷)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意 的 x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)(f(x2)-f(x1))>0,则当 n∈N*

时,有( ) A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1) B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1) C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1) D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n) 解析:选 C.对任意 x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)· (f(x2) -f(x1))>0,因此 x2-x1 和 f(x2)-f(x1)同号,所以 f(x)在(-∞,0]上 是增函数.由于 n∈N*,且 n+1>n>n-1,所以-n-1<-n<-n +1≤0,即 f(n+1)=f(-n-1)<f(-n)<f(-n+1)=f(n-1). 7.函数 f(x)在 R 上为奇函数,且 x>0 时,f(x)= x+1,则当 x <0 时,f(x)=________. 解析:∵f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)= x+1, ∴当 x<0 时,-x>0, f(x)=-f(-x)=-( -x+1) 即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1. 答案:- -x-1 8.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是________. 解析:y=-(x-3)|x| 2 ? ?-x +3x,x>0, =? 2 ?x -3x,x≤0. ? 作出该函数的图象, 观察图象知递增区 3 间为[0,2]. 3 答案:[0,2] 9.已知函数 f(x)=x3+x,对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x) <0 恒成立,则 x 的取值范围为________. 解析:易知原函数在 R 上单调递增,且为奇函数,故 f(mx-2) +f(x)<0?f(mx-2)<-f(x)=f(-x),此时应有 mx-2<-x?xm+x -2<0,对所有 m∈[-2,2]恒成立,令 f(m)=xm+x-2,此时只需 ? ?f(-2)<0 2 ? 即可,解之得-2<x<3. ?f(2)<0 ? 2 答案:(-2,3) 1+x 10.求证:f(x)= 在(0,1]上是减函数. x 证明:设 x1,x2∈(0,1],且 x1<x2.

1+x1 1+x2 - x1 x2 x2+x1 x2- x1-x2 x1 = x1· x2 x2- x1+ x1x2( x1- x2) = x1 · x2 ( x2- x1)(1- x1x2) = . x 1 x2 ∵x1,x2∈(0,1],且 x1<x2, ∴ x2- x1>0,1- x1x2>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 1+x 所以 f(x)= 在(0,1]上是减函数. x 11.已知函数 f(x)在定义域[-2,2]内递减,求满足 f(1-m)+f(1 2 -m )<0 的实数 m 的取值范围. 解:∵f(x)的定义域为[-2,2], ? ?-2≤1-m≤2, ∴有? 2 ?-2≤1-m ≤2, ? 则 f(x1)-f(x2)= 解得-1≤m≤ 3,① 又 f(x)为奇函数,在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)?1-m>m2-1, 即-2<m<1.② 综合①②可知,-1≤m<1. -x +2x,x>0 ? ? x=0 12.已知函数 f(x)=?0, ? ?x2+mx, x<0
2

是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值 范围. 解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x, 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx, 所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,

结合 f(x)的图象知
所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. [例 1]求经过两点 P1(2,1)和 P2(m,2) (m∈R)的直线 l 的斜率,并且求出 l 的 倾斜角α 及其取值范围. 选题意图:考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式. 解:(1)当 m=2 时,x1=x2=2,∴直线 l 垂直于 x 轴,因此直线的斜率不存在,倾斜角 α =

? 2

(2)当 m≠2 时,直线 l 的斜率 k= ∴α =arctan

1 ? ,α ∈(0, ) , m?2 2

1 ∵m>2 时,k>0. m?2

∵当 m<2 时,k<0 ∴α =π +arctan

1 ? ,α ∈( ,π ). m?2 2 1 ,m)共线,求 m 的值. 2

说明:利用斜率公式时,应注意斜率公式的应用范围. [例 2]若三点 A(-2,3) ,B(3,-2) ,C(

选题意图:考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解:∵A、B、C 三点共线, ∴kAB=kAC,

?2?3 m?3 ? . 1 3? 2 ?2 2

解得 m=

1 . 2

说明:若三点共线,则任意两点的斜率都相等,此题也可用距离公式来解. [例 3]已知两点 A(-1,-5),B(3,-2),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半,求直 线 l 的斜率. 选题意图:强化斜率公式. 解:设直线 l 的倾斜角α ,则由题得直线 AB 的倾斜角为 2α . ∵tan2α =kAB=

? 2 ? (?5) 3 ? . 3 ? (?1) 4

?

2 tan ? 3 ? 2 1 ? tan ? 4 1 或 tanα =-3. 3

即 3tan2α +8tanα -3=0, 解得 tanα = ∵tan2α =

3 >0,∴0°<2α <90°, 4

0°<α <45°, ∴tanα =

1 . 3 1 3

因此,直线 l 的斜率是

说明:由 2α 的正切值确定α 的范围及由α 的范围求α 的正切值是本例解法中易忽略 的地方.

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