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第4章 第3讲 两角和与差的正弦、余弦、正切


第3讲 两角和与差的正弦、余弦、正切
最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;2. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;3.能

利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,
导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系; 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和 差化积、半角

公式,但对这三组公式不要求记忆).

基础诊断

考点突破

课堂总结

知识梳理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sinαcosβ±cosαsinβ sin(α±β)=______________________________. cosαcosβ±sinαsinβ cos(α?β)=______________________________. tan α± tan β 1?tan αtan β tan(α±β)=____________.

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课堂总结

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sinαcosα sin 2α=__________. cos 2cos2α-1 2α = ________________ = ________________ = cos2α-sin2α

1-2sin2α _____________. 2tan α 1-tan2α tan 2α=__________.

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课堂总结

3.有关公式的逆用、变形等 tan(α±β)(1?tanαtanβ) . (1)tan α±tan β=________________________
1-cos 2α 1+cos 2α (2)cos2α=__________ ,sin2α=__________. 2 2

(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, sin α± cos α=
? π? ?. 2sin?α± ? 4?

4.函数 f(α)=asin α+bcos α(a,b 为常数),可以化为 f(α)= a +b
2 2

? sin(α + φ) ?其中tan ?

b? φ=a? 或 f(α) = a2+b2 · cos(α - ?

? φ)?其中tan ?

a? φ=b?. ?
基础诊断 考点突破 课堂总结

诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α,β 是任意的. ( √ ) (2)存在实数 α,β,使等式 sin(α+β)=sin α+sin β 成立 ( √ ) tan α+tan β (3)公式 tan(α+β)= 可以变形为 tan α+tan β 1-tan αtan β =tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角 α,β 都成立. ( × ) (4)存在实数 α,使 tan 2α=2tan α. ( √ )
基础诊断 考点突破 课堂总结

10 2.(2015· 长沙模拟)已知 α∈R,sin α+2cos α= 2 ,则 tan 2α = 4 A.3 3 C.-4
解析

( 3 B.4 4 D.-3

)

1-cos 2α 5 依题意得(sin α+2cos α)2=2,即 + 2

5 3 3 2(1+cos 2α)+2sin 2α=2,sin 2α=-4cos 2α,tan 2α=-4, 故选 C.

答案 C

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课堂总结

3.(人教A必修4P137A13(5)改编)sin 347°cos 148°+ sin 77°·cos 58°=________.

解析 sin 347° cos 148° +sin 77° cos 58° =sin(270° +77° )cos(90° +58° )+sin 77° cos 58° =(-cos 77° )· (-sin 58° )+sin 77° cos 58° =sin 58° cos 77° +cos 58° sin 77° 2 =sin(58° +77° )=sin 135° =2.
答案 2 2

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4.设 sin 2α=-sin

?π ? α,α∈?2,π?,则 ? ?

tan 2α 的值是________.

解析

∵sin 2α=-sin α,∴sin α(2cos α+1)=0,又 α∈ 1 3 α≠0,2cos α+1=0,即 cos α=-2,sin α= 2 ,

?π ? ? ,π?,∴sin ?2 ?

-2 3 2tan α tan α=- 3,∴tan 2α= = = 3. 1-tan2α 1-?- 3?2
答案 3

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5 . (2015· 青岛质量检测 ) 设 α 为锐角,若
? π? sin?2α+12?的值为________. ? ?

? π? 4 cos ?α+6? = 5 ,则 ? ?

解析 ∵α 为锐角且 π ?π 2π? ∴α+6∈?6, 3 ?, ? ?
? π? 3 ∴sin?α+6?=5. ? ?

? π? 4 cos?α+6?=5, ? ?

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? ? ? π? π? π? ∴sin?2α+12?=sin?2?α+6?-4? ? ? ? ? ? ?

=sin =

? π? 2?α+6?cos ? ?

? π? π π ? ? α+6 sin 4-cos 2? 4 ? ? ? π? 2? 2 ?2cos ?α+ ?-1? 6? 2? ? ?

? π? ? π? 2sin?α+6?cos?α+6?- ? ? ? ?

? 3 4 2? ?4?2 = 2×5×5- 2 ?2×?5? -1? ? ? ? ?

12 2 7 2 17 2 = 25 - 50 = 50 .
17 2 答案 50

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考点一

三角函数式的化简与给角求值

【例 1】 (1)已知 α∈(0,π),化简: α α ?1+sin α+cos α?· ?cos 2-sin 2? =________. 2+2cos α (2)[2sin 50° + sin 10° (1 + ________________. 3 tan 10° )]· 2sin280° =

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解析

(1)原式=

? α α ?2cos2 +2sin cos 2 2 ?

α? ? α α? ?· ?cos -sin ? 2? ? 2 2? 2α 4cos 2

? α? 2α α 2α ? ? cos2 cos 2-sin 2 cos 2cos α ? ? = = ? ? α? α? . ?cos ? ?cos ? 2 2? ? ? ?

α π α 因为 0<α<π,所以 0<2<2,所以 cos 2>0,所以原式= cos α.

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? (2)原式=? ?2sin ?

? cos 10° + 3sin 10° ? 50° +sin 10° · ?· cos 10° ?

1 3 + 2 sin 10° 2cos 10° 2sin 80° =(2sin 50° +2sin 10° · )· cos 10° 2cos 10° =2 2[sin 50° · cos 10° +sin 10° · cos(60° -10° )] 3 =2 2sin(50° +10° )=2 2× 2 = 6.

答案 (1)cos α (2) 6

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规律方法

(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则:

①一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,正确使 用公式;②二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常 见的有“切化弦”;③三看结构特征,找到变形的方向,常 见的有 “ 遇到分式要通分 ” , “ 遇到根式一般要升幂 ” 等.(2)对于给角求值问题,一般给定的角是非特殊角,这时 要善于将非特殊角转化为特殊角. 另外此类问题也常通过代 数变形(比如:正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值.

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课堂总结

【训练 1】 (1)4cos 50° -tan 40° = A. 2 C. 3 1 2cos 2αcos 2β=________. 2+ 3 B. 2 D.2 2-1

(

)

(2)(2014· 临沂模拟)化简:sin2αsin2β+cos2αcos2β-

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课堂总结

解析

sin 40° (1)原式=4sin 40° -cos 40°

4cos 40° sin 40° -sin 40° = cos 40° 2sin 80° -sin 40° = cos 40° 2sin?120° -40° ?-sin 40° = cos 40° 3cos 40° +sin 40° -sin 40° = cos 40° 3cos 40° = cos 40° = 3,故选 C.
基础诊断 考点突破 课堂总结

(2)法一 (从“角”入手,复角化单角) 1 原式=sin αsin β+cos αcos β-2(2cos2α-1)(2cos2β-1)
2 2 2 2

1 = sin αsin β + cos αcos β - 2 (4cos2αcos2β - 2cos2α - 2cos2β +
2 2 2 2

1) 1 =sin αsin β-cos αcos β+cos α+cos β-2
2 2 2 2 2 2

1 =sin αsin β+cos αsin β+cos β-2
2 2 2 2 2

1 =sin β+cos β-2
2 2

1 1 =1-2=2.
基础诊断 考点突破 课堂总结

法二

(从“名”入手,异名化同名)
2 2 2 2

1 原式=sin αsin β+(1-sin α)cos β-2cos 2αcos 2β 1 =cos β-sin α(cos β-sin β)-2cos 2αcos 2β
2 2 2 2

1 =cos β-cos 2β(sin α+2cos 2α)
2 2

1+cos 2β 1 1 = -2cos 2β=2. 2

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法三 (从“幂”入手,利用降幂公式先降次) 1-cos 2α 1-cos 2β 1+cos 2α 1+cos 2β 原式= · 2 + · 2 2 2 1 -2cos 2α· cos 2β 1 1 =4(1+cos 2α· cos 2β-cos 2α-cos 2β)+4(1+cos 2α· cos 2β 1 +cos 2α+cos 2β)-2cos 2α· cos 2β 1 1 1 =4+4=2.

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法四 (从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方) 原式=(sin αsin β-cos αcos β)2+2sin αsin β· cos αcos β 1 -2cos 2αcos 2β 1 1 =cos (α+β)+2sin 2α· sin 2β-2cos 2α· cos 2β
2

1 =cos (α+β)-2cos(2α+2β)
2

1 1 2 =cos (α+β)-2[2cos (α+β)-1]=2.
2

1 答案 (1)C (2)2

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考点二

三角函数的给值求值、给值求角

? ?α ? 2 β? π 1 【例 2】 (1)已知 0<β<2<α<π, 且 cos?α-2?=-9, sin?2-β?=3, ? ? ? ?

求 cos(α+β)的值; 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)=2,tan β=-7,求 2α -β 的值.

基础诊断

考点突破

课堂总结



π (1)∵0<β<2<α<π,

深度思考

运用两角和

π β ∴4<α-2<π, π α π -4<2-β<2,
? β? ∴sin?α-2?= ? ? ?α ? cos?2-β?= ? ?

( 差 ) 的三角函数公式, 其关键在于构造角的和

(差),在构造的过程
中,要尽量使其中的角 为特殊角或已知角,这 吗?

1-cos 1-sin
2

2

? β? 4 5 样的变角过程你掌握了 ?α- ?= , 2 9 ? ?

?α ? ? -β?= ?2 ?

5 3,

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考点突破

课堂总结

?? ?? α+β β? ?α ∴cos 2 =cos??α-2?-?2-β?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? β? ?α β? ?α =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? =?-9?× ? ?

5 4 5 2 7 5 3 + 9 ×3= 27 ,
2α+β

∴cos(α+β)=2cos

49×5 239 2 -1=2× 729 -1=-729.

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tan?α-β?+tan β (2)∵tan α=tan[(α-β)+β]= 1-tan?α-β?tan β 1 1 2-7 1 = 1 1=3>0,又 α∈(0,π). 1+2×7 π ∴0<α<2,

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考点突破

课堂总结

1 2×3 2tan α 3 又∵tan 2α= =4>0, 2 = ? ? 1 1-tan α 1-?3?2 ? ? π ∴0<2α<2, 3 1 tan 2α-tan β 4+7 ∴tan(2α-β)= = =1. 3 1 1+tan 2αtan β 1-4×7 1 π ∵tan β=-7<0,∴2<β<π,-π<2α-β<0, 3π ∴2α-β=- 4 .
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法

α+β ? β? (1) 解题中注意变角,如本题中 2 = ?α-2? - ? ?

?α ? ? -β?;(2)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数 ?2 ?

时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已
? π? 知正、 余弦函数值, 选正弦或余弦函数; 若角的范围是?0,2?, ? ?

选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角
? π π? 的范围为?-2,2?,选正弦较好. ? ?

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π π (2)∵0<β<α<2,∴0<α-β<2, 3 3 ∴sin(α-β)= 14 , ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2. π ∴β=3.

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考点三

三角变换的简单应用
? ?5π? π? f(x)=Asin?x+3?, x∈R, 且 f?12? ? ? ? ?

【例 3】 (2014· 广东卷)已知函数 3 2 = 2 . (1)求 A 的值; (2)若 f(θ)-f(-θ)=

? ?π ? π? 3,θ∈?0,2?,求 f?6-θ?. ? ? ? ?

解 (1)由

?5π? 3 2 f?12?= 2 ,得 ? ?

?5π π? Asin?12+3?=Asin ? ?

3π 4=

2 3 2 2 A= 2 ,所以 A=3.

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(2)由
?? 3??sin ??

? ? π? π? f(θ)-f(-θ)=3sin?θ+3?-3sin?-θ+3?= ? ? ? ?

π π? ? π π?? θcos 3+cos θsin 3?-?-sin θcos 3+cos θsin 3?? ? ? ??

π =6sin θcos 3=3sin θ= 3, 3 ∴sin θ= 3 .
? π? ∵θ∈?0,2?,∴cos ? ?

6 θ= 3 ,

?π ? ?π π? ∴f?6-θ?=3sin?6-θ+3? ? ? ? ? ?π ? =3sin?2-θ?=3cos ? ?

θ= 6.
基础诊断 考点突破 课堂总结

规律方法

解三角函数问题的基本思想是“变换”, 通过适

当的变换达到由此及彼的目的,变换的基本方向有两个,一 个是变换函数的名称,一个是变换角的形式.变换函数名称 可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式 等;变换角的形式,可以使用两角和与差的三角函数公式、 倍角公式等.

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【训练 3】 (2014· 四川卷)已知函数 (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 α

? π? f(x)=sin?3x+4?. ? ?

?α? 4 ? π? 是第二象限角,f?3?=5cos?α+4?cos ? ? ? ?

2α,

求 cos α-sin α 的值.

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(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为

? π ? π ?- +2kπ, +2kπ?,k∈Z, 2 ? 2 ?

π π π 由-2+2kπ≤3x+4≤2+2kπ,k∈Z, π 2k π π 2kπ 得-4+ 3 ≤x≤12+ 3 ,k∈Z. 所以函数 f(x)的单调递增区间为
? π 2kπ π 2kπ? ?- + ?,k∈Z. , + 3 12 3 ? ? 4

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(2)由已知,有

? π? 4 ? π? sin?α+4?=5cos?α+4?(cos2α-sin2α), ? ? ? ?

π π 所以 sin αcos 4+cos αsin4 π π? 4? =5?cos αcos 4-sin αsin 4?(cos2α-sin2α), ? ? 4 即 sin α+cos α=5(cos α-sin α)2(sin α+cos α). 当 sin α+cos α=0 时,由 α 是第二象限角, 3π 知 α= 4 +2kπ,k∈Z. 此时 cos α-sin α=- 2.
基础诊断 考点突破 课堂总结

5 当 sin α+cos α≠0 时,有(cos α-sin α) =4.
2

由 α 是第二象限角,知 cos α-sin α<0, 5 此时 cos α-sin α=- 2 . 5 综上所述,cos α-sin α=- 2或- 2 .

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[思想方法] 1.三角函数求值的类型及方法 (1)给角求值:关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的

三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的 三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有

某种关系.
(3)给值求角:实质上也转化为给值求值,关键也是变角, 把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该 函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围.
基础诊断 考点突破 课堂总结

2.巧用公式变形 和差角公式变形:tan x± tan y=tan(x± y)· (1?tan x· tan y);倍角 1+cos 2α 1-cos 2α 2 公式变形:降幂公式 cos α= ,sin α= , 2 2
2

配方变形:1± sin 1-cos α=2sin 2.


? α=?sin ?

α α?2, 2α ? cos 2 1+cos α=2cos , 2± 2 ?

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课堂总结

[易错防范] 1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍 角的相对性,要注意升幂、降幂的灵活运用,要注意 “1”的 各种变通. 2 2.在(0,π)范围内,sin α= 2 所对应的角 α 不是唯一的. 3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.

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