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2005第22届全国中学生物理竞赛预赛试题及参考答案


第 22 届全国中学生物理竞赛预赛
一、 (10 分)在横线上填上恰当的内容 1.在 2004 年 6 月 10 日联合国大会第 58 次会议上,鼓掌通过一项决议。决议摘录如下: 联合国大会, 承认物理学为了解自然界提供了重要基础, 注意到物理学及其应用是当今众多 技术进步的基石, 确信物理教育提供了建设人类发展所必需的科学基础设施的工具, 意识到 2005 年是爱因斯坦科学发现一百周年,这些发现为现代物理学奠定了基础, i . ……; ii . ……; 年. iii .宣告 2005 年为 2.爱因斯坦在现代物理学领域作出了很多重要贡献,试举出其中两项: 二、 (17 分)现有一个弹簧测力计(可随便找地方悬挂) ,一把匀质的长为 l 的有刻度、零点 位于端点的直尺,一个木块及质量不计的细线.试用这些器件设计一实验装置(要求画出示 意图) ,通过一次测量(弹簧测力计只准读一次数) ,求出木块的质量和尺的质量. (已知重 力加速度为 g) 三、 (18 分)内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径 为 R 的黑球,距球心为 2R 处有一点光源 S,球心 O 和光 r 源 S 皆在圆筒轴线上,如图所示.若使点光源向右半边发 2R R 出的光最后全被黑球吸收,则筒的内半径 r 最大为多少? O S

四、 (20 分)处在激发态的氢原子向能量较低的状态跃迁 时会发出一系列不同频率的光, 称为氢光谱. 氢光谱线的波长? 可以用下面的巴耳末—里德 伯公式来表示
1 ? ? 1 ? R? 2 ? 2 ? ? n ? ?k 1

n, k 分别 表示氢原子跃迁前后所处状态的量子数. k ? 1, 2 ,3 , ? ,对于每一 个 k,有 n ? k ? 1 , k ? 2 , k ? 3 ,? ,R 称为里德伯常量,是一个已知量.对于 k ? 1 的一系列谱线其波 长处在紫外线区,称为赖曼系; k ? 2 的一系列谱线其波长处在可见光区,称为巴耳末系. 用氢原子发出的光照射某种金属进行光电效应实验,当用赖曼系波长最长的光照射时, 遏止电压的大小为 U1,当用巴耳末系波长最短的光照射时,遏止电压的大小为 U2. 已知 电子电量的大小为 e ,真空中的光速为 c ,试求:普朗克常量和该种金属的逸出功. 五、 (25 分)一质量为 m 的小滑块 A 沿斜坡由 静止开始下滑, 与一质量为 km 的静止在水平地 A 面上的小滑块 B 发生正碰撞,如图所示.设碰 撞是弹性的,且一切摩擦不计.为使二者能且 只能发生两次碰撞,则 k 的值应满足什么条 件? B 六、 (25 分)如图所示,两根位于同一水平面内 的平行的直长金属导轨,处于恒定磁场中,磁 场方向与导轨所在平面垂直.一质量为 m 的均 R0 v0

匀导体细杆,放在导轨上,并与导轨垂直,可沿导轨无摩擦地滑动,细杆与导轨的电阻均可 忽略不计.导轨的左端与一根阻值为 R0 的电阻丝相连,电阻丝置于一绝热容器中,电阻丝 的热容量不计.容器与一水平放置的开口细管相通,细管内有一截面为 S 的小液柱(质量不 计) ,液柱将 1mol 气体(可视为理想气体)封闭在容器中.已知温度升高 1K 时,该气体的 内能的增加量为 5 R 2 (R 为普适气体常量) ,大气压强为 p0,现令细杆沿导轨方向以初速 v0 向右运动,试求达到平衡时细管中液柱的位移. 七、 (25 分)三个电容器分别有不同的电容值 C1、C2、C3 .现把这三个电容器组成图示的 (a)、(b)、(c)、(d)四种混联电路,试论证:是否可以通过适当选择 C1、C2、C3 的数值,使其 中某两种混联电路 A、B 间的等效电容相等.

A C1 C2 B (a) C3 C1 C3

A C2 C1 B (b)

A C 2 C1 C3 B (c)

A C3 C2 B (d)

八、 (30 分)如图所示,一根长为 l 的细刚性轻杆的两端分别连结小球 a 和 b ,它们的质量 分别为 ma 和 mb. 杆可绕距 a 球为 l 处的水平定轴 O 在竖
4 1

a

F

直平面内转动.初始时杆处于竖直位置.小球 b 几乎接触桌 面.在杆的右边水平桌面上,紧挨着细杆放着一个质量为 m 的立方体匀质物块, 图中 ABCD 为过立方体中心且与细杆共 面的截面. 现用一水平恒力 F 作用于 a 球上, 使之绕 O 轴逆 时针转动,求当 a 转过??角时小球 b 速度的大小.设在此过 程中立方体物块没有发生转动, 且小球 b 与立方体物块始终 接触没有分离.不计一切摩擦.

O

B

C

b

A

D

九、 (30 分)如图所示,水平放置的金属细圆环半径为 a, 竖直放置的金属细圆柱(其半径比 a 小得多)的端面与金属 B B 圆环的上表面在同一平面内,圆柱的细轴通过圆环的中心 O.一质量为 m,电阻为 R 的均匀导体细棒被圆环和细圆柱 A 端面支撑,棒的一端有一小孔套在细轴 O 上,另一端 A 可 a O 绕轴线沿圆环作圆周运动,棒与圆环的摩擦系数为?.圆环 d 处于磁感应强度大小为 B ? Kr 、方向竖直向上的恒定磁场 中,式中 K 为大于零的常量,r 为场点到轴线的距离.金属 e 细圆柱与圆环用导线 ed 连接.不计棒与轴及与细圆柱端面 的摩擦,也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电流产生 的磁场.问沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的 A 端才能使棒以角速度? 匀速

转动.注: ? x ? Δ x ? ? x 3 ? 3 x 2 Δ x ? 3 x ?Δ x ? ? ?Δ x ?
3 2

3

第 22 届全国中学生物理竞赛预赛参考解答
一、 国际物理(或世界物理) . 相对论;光的量子性 评分标准:本题 10 分.第 1 小问 4 分.第 2 小问 6 分(填写任意两项爱因斯坦的成果只要 正确都给 6 分) . 二、找个地方把弹簧测力计悬挂好,取一段细线做成一环,挂在 弹簧测力计的挂钩上,让直尺穿在细环中,环与直尺的接触点就 是直尺的悬挂点,它将尺分为长短不等的两段.用细线栓住木块 挂在直尺较短的一段上,细心调节直尺悬挂点及木块悬挂点的位 置,使直尺平衡在水平位置(为提高测量精度,尽量使二悬挂点 相距远些) ,如图所示.设木块质量为 m,直尺质量为 M.记下二 悬挂点在直尺上的读数 x1、x2,弹簧测力计读数 G.由平衡条件 和图中所设的直尺零刻度线的位置有
(m ? M ) g ? G
? l ? mg ( x 2 ? x 1 ) ? Mg ? ? x 2 ? ?2 ?

G 0 x1 x2 M

m (1) (2)

(1)、(2)式联立可得
m ? G ?l ? 2 x 2 g

?l

?

? 2 x1 ?

(3)

M ?

2G g

? x 2 ? x1 ? ?l ? 2 x 1 ?

(4)

评分标准:本题 17 分. 正确画出装置示意图给 5 分. (1)式、 (2)式各 4 分, (3)式、 (4)式各 2 分.

三、

S?

S?

M r S

M S N

??
2R

O

??
2R

R ??

r O O N

图1

图2

自 S 作球的切线 S?,并画出 S 经管壁反射形成的虚像点 S ? ,及由 S ? 画出球面的切线
S ? N,如图

1 所示,由图可看出,只要 S ?M 和 S ?N 之间有一夹角,则筒壁对从 S 向右的光

线的反射光线就有一部分进入球的右方,不会完全落在球上被吸收. 由图可看出,如果 r 的大小恰能使 S ?N 与 S ?M 重合,如图 2,则 r?就是题所要求的筒的 内半径的最大值.这时 SM 与 MN 的交点到球心的距离 MO 就是所要求的筒的半径 r.由图 2 可得? ????????????????????????????????????? 由几何关系可知
sin ? ? ? R 2 R ?

r ?

R cos ?

?

R 1 ? sin ?
2

(1)

(2)

由(1)(2)式得 、
r ? 2 3 3 R

(3)

评分标准:本题 18 分.? 给出必要的说明占 8 分,求出 r 占 10 分. 四、由巴耳末—里德伯公式
1

?

? R(

1 k
2

?

1 n
2

)

可知赖曼系波长最长的光是氢原子由 n = 2→ k = 1 跃迁时发出的,其波长的倒数
1

? 12

?

3R 4

(1)

对应的光子能量为
E 12 ? hc 1 ? 3 Rhc 4

? 12

(2)

式中 h 为普朗克常量.巴耳末系波长最短的光是氢原子由 n = ∞→ k = 2 跃迁时发出的,其 波长的倒数

1

?2?

?

R 4

(3)

对应的光子能量
E 2? ? Rhc 4

(4)

用 A 表示该金属的逸出功,则 eU 1 和 eU 2 分别为光电子的最大初动能.由爱因斯坦光 电效应方程得
3 Rhc 4 Rhc 4 ? eU
2

? eU

1

? A ? A

(5) (6)

解得
A? h ? e 2 (U 1 ? 3U 2 )

(7) (8)

2 e (U 1 ? U 2 ) Rc

评分标准:本题 20 分. (1)式 3 分,(2)式 2 分, (3)式 3 分,(4)式 2 分, (5)、 (6)式各 3 分, (7)、(8)式各 2 分. 五、设 A 与 B 碰撞前 A 的速度为 v0,碰后 A 与 B 的速度分别为 v1 与 V1,由动量守恒及机 械能守恒定律有
m v 0 ? m v 1 ? kmV 1

(1)
2

1 2

mv0 ?
2

1 2

m v1 ?
2

1 2

kmV 1

(2)

由此解得
v1 ? ? ( k ? 1) k ?1
2 k ?1 v0

v0

(3) (4)

V1 ?

为使 A 能回到坡上,要求 v1<0,这导致 k>1;为使 A 从坡上滑下后再能追上 B,应有
? v 1 ? V 1 ,即 ( k ? 1) ? 2 ,这导致 k ? 3 ,于是,为使第二次碰撞能发生,要求

k>3 对于第二次碰撞, v2 和 V2 分别表示碰后 A 和 B 的速度, 令 同样由动量守恒及机械能守 恒定律有:
m ( ? v 1 ) ? kmV 1 ? m v 2 ? kmV
2

(5)

1 2

m v1 ?
2

1 2

kmV 1 ?
2

1 2

mv2 ?
2

1 2

kmV

2 2

由此解得

v2 ?

4 k ? ( k ? 1) ( k ? 1)
2

2

v0

(6)

V2 ?

4 ( k ? 1) ( k ? 1)
2

v0

(7)

若 v2>0,则一定不会发生第三次碰撞,若 v2<0,且 ? v 2 ? V 2 ,则会发生第三次碰撞.故 为使第三次碰撞不会发生,要求 A 第三次从坡上滑下后速度的大小 ( ? v 2 ) 不大于 B 速度的 大小 V 2 ,即
? v2 ? V2

(8)

由(6)、 、 (7)(8)式得
k
2

? 10 k ? 5 ? 0

(9)

由 k2-10 k + 5 = 0 可求得
k ? 10 ? 2 80 ? 5?2 5

(9)式的解为
5?2 5 ?k ?5? 2 5

(10)

(10)与(5)的交集即为所求:
3?k ?5? 2 5

(11)

评分标准:本题 25 分. 求得(3)、(4) 式各得 3 分,求得(5)式得 4 分,求得(6)(7)(8)(10)和(11) 、 、 、 式各得 3 分. 六、导体细杆运动时,切割磁感应线,在回路中产生感应电动势与感应电流,细杆将受到 安培力的作用,安培力的方向与细杆的运动方向相反,使细杆减速,随着速度的减小,感应 电流和安培力也减小,最后杆将停止运动,感应电流消失.在运动过程中,电阻丝上产生的 焦耳热,全部被容器中的气体吸收. 根据能量守恒定律可知,杆从 v0 减速至停止运动的过程中,电阻丝上的焦耳热 Q 应等 于杆的初动能,即
Q ? 1 2 mv0
2

(1)

容器中的气体吸收此热量后,设其温度升高?T,则内能的增加量为
ΔU ? 5 2 RΔT

(2)

在温度升高?T 的同时, 气体体积膨胀, 推动液柱克服大气压力做功. 设液柱的位移为 Δ l , 则气体对外做功
A ? p0 SΔl
S Δ l 就是气体体积的膨胀量

(3)

ΔV ? SΔl

(4)

由理想气体状态方程 pV ? RT ,注意到气体的压强始终等于大气压 p 0 ,故有
p 0 ΔV ? RΔT

(5)

由热力学第一定律
Q ? A ? ΔU

(6)

由以上各式可解得
Δl ? mv0
2

(7)

7 p0S

评分标准:本题 25 分. (1)式 6 分, (2)式 4 分, 、 、 (3)(4)(5)式各 2 分, (6)式 5 分, (7)式 4 分.

七、由电容 C ? 、 C ?? 组成的串联电路的等效电容
C串 ? C ?C ?? C ? ? C ??

由电容 C ? 、 C ?? 组成的并联电路的等效电容
C 并 ? C ? ? C ??

利用此二公式可求得图示的 4 个混联电路 A、B 间的等效电容 Ca、Cb、Cc、Cd 分别为
Ca ? C 1C 2 C1 ? C 2 C 1C 3 C1 ? C 3 ? C3 ? C 1C 2 ? C 1C 3 ? C 2 C 3 C1 ? C 2 C 1C 2 ? C 1C 3 ? C 2 C 3 C1 ? C 3 C 1C 3 ? C 2 C 3 C1 ? C 2 ? C 3 C 1C 2 ? C 2 C 3 C1 ? C 2 ? C 3 ? C3

(1)

Cb ?

? C2 ?

? C2

(2)

Cc ?

?C 1 ?C 1

? C 2 ?C 3

? C2 ?? C3 ? C 3 ?C 2

?

? C3

(3)

Cd ?

?C 1

?C 1

? C3 ?? C2

?

? C2

(4)

由(1)(3)式可知 、
Ca ? Cc

(5)

由(2)(4)式可知 、

Cb ? Cd

(6)

由(1)(2)式可知 、
Ca ? Cb

(7)

由(3)(4)式可知 、
Cc ? Cd

(8)

若 C a ? C d ,由(1)(4)式可得 、
C 1 ? 2C 1C 2 ? C 1C 3 ? C 2 C 3 ? 0
2

因为 C 1 、 C 2 和 C 3 均大于 0,上式不可能成立,因此
Ca ? Cd

(9)

若 C b ? C c ,由(2)(3)式可得 、
C 1 ? 2C 1C 3 ? C 1C 2 ? C 2 C 3 ? 0
2

因为 C 1 、 C 2 和 C 3 均大于 0,上式不可能成立,因此
Cb ? Cc

(10)

综合以上分析,可知这四个混联电路的等效电容没有一对是相等的. 评分标准:本题 25 分. (1)(2)(3)(4)式各 4 分,得到(5)(6)(7)(8)式各 1 分,得到(9)(10) 、 、 、 、 、 、 、 式共 5 分. 八、如图所示,用 v b 表示 a 转过 ? 角时 b 球速度的大小, v 表 示此时立方体速度的大小,则有
v b cos ? ? v

a O

F

(1)

由于 b 与正立方体的接触是光滑的, 相互作用力总是沿水平 方向,而且两者在水平方向的位移相同,因此相互作用的作用 力和反作用力做功大小相同,符号相反,做功的总和为 0.因此 在整个过程中推力 F 所做的功应等于球 a 、 b 和正立方体机械 能的增量.现用 v a 表示此时 a 球速度的大小,因为 a 、 b 角速 度相同, Oa ?
1 4 l

??
3l 4

B

C

, Ob ?

3 4

b
l

,所以得

A

D

va ?

1 3

vb

(2)

根据功能原理可知
F ? l 4 sin ? ? 1 l 3l ? l ? 1 ? 3l ? 1 2 2 2 m a v a ? m a g ? ? cos ? ? ? m b v b ? m b g ? ? cos ? ? ? m v 2 4 4 ?4 ? 2 ? 4 ? 2

(3) 将(1)(2)式代入可得 、

F ?

l 4

sin ? ?

1

?1 ? ma ? vb ? 2 ?3 ?

2

l 3l ? l ? 1 ? 3l ? 1 2 2 ? m a g ? ? cos ? ? ? m b v b ? m b g ? ? cos ? ? ? m ( v b cos ? ) 4 4 ?4 ? 2 ? 4 ? 2

解得
vb ? 9 l ? F sin ? ? ? m a ? 3 m b ? g ?1 ? cos ? 2 m a ? 18 m b ? 18 m cos
2

??

?

(4)

评分标准:本题 30 分. (1)式 7 分, (2)式 5 分, (3)式 15 分, (4)式 3 分. 九、将整个导体棒分割成 n 个小线元, 小线元端点到轴线的距离分别为 r0(=0), 1,r2,……, r ri-1,ri,……,rn-1,rn(= a),第 i 个线元的长度为 Δ ri ? ri ? ri ?1 ,当 Δ ri 很小时,可以认为该 线元上各点的速度都为 v i ? ? ri ,该线元因切割磁感应线而产生的电动势为
Δ Ei ? B v i Δ ri ? Kr i ? ri Δ ri ? K ? ri Δ ri
2

(1)

整个棒上的电动势为
E ?

?
3

n

Δ Ei ? K ?

i ?1

?r
i ?1

n

2

i

Δ ri

(2)



?r

? Δr ? ? r
3

? 3 r Δ r ? 3 r ?Δ r ? ? ?Δ r ? ,
2 2 3

略去高阶小量(Δr)2 及(Δr)3,可得
r ?r ?
2

1 3

[( r ? ? r ) ? r ]
3 3

代入(2)式,得
E ? 1 3 K?

? (r
i ?1

n

3 i

? ri ? 1 ) ?
3

1 3

K ? [( r1 ? r 0 ) ? ( r 2 ? r1 ) ? ? ? ? ( r n ? r n ? 1 )] ?
3 3 3 3 3 3

1 3

K?a

3

(3)

由全电路欧姆定律,导体棒通过的电流为
I ? E R ? K?a 3R
3

(4)

导体棒受到的安培力方向与棒的运动方向相反.

第 i 个线元 ? ri 受到的安培力为
Δ f Ai ? BI Δ ri ? Kr i I Δ ri

(5)

作用于该线元的安培力对轴线的力矩
Δ M i ? Δ f Ai ? ri ? KIr i Δ ri
2

作用于棒上各线元的安培力对轴线的总力矩为
M ?

?

n

ΔM

i

? KI

i ?1

?

n

ri Δ ri ?
2

1 3

KI

i ?1

? (r
i ?1

n

3 i

? ri ? 1 ) ?
3

1 3

KIa

3


M ? K ωa 9R
2 6

(6)
1 2

因棒 A 端对导体圆环的正压力为

1 2

mg,所以摩擦力为
M
?

? mg ,对轴的摩擦力矩为

?

1 2

? mga

(7)

其方向与安培力矩相同,均为阻力矩.为使棒在水平面内作匀角速转动,要求棒对于 O 轴所受的合力矩为零,即外力矩与阻力矩相等,设在 A 点施加垂直于棒的外力为 f,则有
fa ? M ? M
?

(8)

由(6)、(7)、 (8)式得
f ? K ωa 9R
2 5

?

1 2

μmg

(9)

评分标准:本题 30 分. 求得(3)式得 10 分, (4)式 2 分;求得(6)式得 8 分, (7)式 4 分, (8)式 4 分, (9) 式 2 分.


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