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函数的 单调性


函 函数 数 3.1.3 函数的单调性

函数 函数

1.请谈谈图象的变化趋势怎样?
y

O

x

2.你能看出当自变量增大或减少时,函数值如何

变化吗? y

O

x

结论:

自变量增大,函数值也增大.

在函数 y = f (x)的图象上任取两点 A(x1,y1),B(x2, y2) ,



?x = x2-x1,?y = f (x2)-f (x1) = y2-y1.
y
f(x2)

?y
f(x1)

?x
x1
x2

O

x

自变量增大,函数值也增大.

自变量减小,函数值也减小.

?y ? x>0

增函数:在给定的区间上任取 x1,x2,且 x1 ≠ x2 ,函 给定的区间 ?y 数 f (x) 在给定区间上为增函数的充要条件是 ? x >0, 这个给定的区间就为单调增区间. y
f(x2)
f(x1)

O

x1

x2

x

类比得到减函数概念
y
f(x2) f(x1)

O

x1

x2

x

增函数:在给定的区间上任 取x1,x2,( x1 ? x2 ) 函数f (x)

在给定区间上为增函数的充要 ?y 条件是 ? x >0,这个给定的区 间就为单调增区间。

类比得到减函数概念
y
f(x2) f(x1)

y
f(x1) f(x2) x1 x2

O

x

O

x1

x2

x

增函数:在给定的区间上任 减函数:在给定的区间上任 取x1,x2,( x1 ? x2 ) 函数f (x) 取x1,x2,( x1 ? x2 ) 函数f (x)

在给定区间上为增函数的充要 在给定区间上为减函数的充要 ?y ?y 条件是 ? x > 0 ,这个给定的区 条件是 ? x <0 ,这个给定的区 >0 间就为单调减区间。 间就为单调增区间。

例1 给出函数 y = f (x) 的图象,如图所示,根据图

象说出这个函数在哪些区间上是增函数?哪些区间
上是减函数?
y

-1

O

1

2

3

4

x

解:函数在区间[-1,0],[2,3]上是减函数;

在区间[0,1],[3,4]上是增函数.

(1)观察教材 P 64,例1 的函数图象,说出函数在

(-∞,+∞)上是增函数还是减函数.
(2)观察教材 P 64,例2 的函数图象,分别说出函 数在(-∞,0)和(0,+∞)上是增函数还是减函数.

怎样利用函数解析式判断单调性
y
f(x2)

y
f(x1)

y=f(x)
f(x1) f(x2) x1 x2

y=f(x)

O

x

O

x1

x2

x

增函数
自变量增大(?x>0) 函数值增大(?y>0)
?y ?0 ?x

减函数
自变量增大(?x>0) 函数值减小(?y<0)
?y ?0 ?x

例2

证明函数 f(x) = 3 x+2在区间(-∞,+∞)上是 增函数. 计算 ?x 和?y 计算 k ?
?y ?x

证明:设 x1,x2 是任意两个不相等的实数,则 ?x = x2 - x1 ?y = f(x2) - f(x1) = (3x2+2) -(3x1+2)

= 3(x2 - x1)
k? ?y ?3?0 ?x

当 k>0时,函数在这个区 间上是增函数; 当 k<0时,函数在这个区 间上是减函数.

因此,函数 f(x)=3 x+2在区间(-∞,+∞)上是增函数.

总结:由函数的解析式判定函数单调性的步骤: S1 计算 ?x 和 ?y. ?y 计算 k = ?x . 当 k>0时,函数在这个区间上是增函数;

S2
S3

当 k<0时,函数在这个区间上是减函数.

1 例3 求证:函数 f (x) = 在区间(0,+∞)上是减函数. x 证明:设 x1,x2 是(0,+∞)内的任意两个不相等的正实数,则

?x = x2- x1
? y = f (x2)- f (x1)

计算 ?x 和?y 计算 k ?
?y ?x

?y 1 k? ?? ?0 ?x x1 x2

1 1 ?x ?? . ? ? x1 x2 x2 x1

当 k>0时,函数在这个区 间上是增函数; 当 k<0时,函数在这个区 间上是减函数.

1 因此 f (x) = 在区间(0 ,+∞)上是减函数. x

3 证明函数 f (x) = 在区间(-∞,0)上是减函数. x

1.增函数减函数定义.

2.证明函数单调性的步骤:
(1)计算 ?x 和 ?y;

?y (2)计算 k = ; ?x
当 k>0时,函数 y = f (x)在这个区间上是增函数; 当 k<0时,函数 y = f (x)在这个区间上是减函数.

教材P69,练习 A 组第 2 题;

练习 B 组第 2 题.


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