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陕西西工大附中2012届高三下学期第十一模拟试题 数学文


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陕西省西工大附中 2012 届高三第十一次模拟考试

数学(文)试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题

,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a, b ? R , i 是虚数单位则复数 a ? bi ? ( A. 1 ? 2i B. ?1 ? 2i C. ?1 ? 2i 2 2.设全集 U 是实数集 R ,M={x|x >4}, N={x| 1 ? x ? 3 },则图中阴影部分表示 的集合是( ) A.{x|-2≤x<1 } B.{x|-2≤x≤2} C.{x|1<x≤2 } D.{x|x<2} 3.给出如下四个命题: ①若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ②命题“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ” ; ③“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ” ; ④在△ ABC 中, “ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的充要条件. 其中不正确 的命题的个数是( ) ... A.4 B.3 C.2 D.1 4.某程序框图如右图所示,现输入如下四个函数, 则可以输出的函数是( ) A. f ( x) ? x C. f ( x) ? e
2



D. 1 ? 2i

B. f ( x) ?

1 x

x

D. f ( x) ? sin x

5.在⊿ABC 中,若 sin2A=sin2B,则⊿ABC 的形状是( ) 1. A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

6.下列四个几何体中,各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是 (
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A.①②

B.②③

C.②④

D.①③

??? ? ???? ??? ? 7.已知向量 OB ? (2, 0) ,向量 OC ? (2, 2) ,向量 CA ? ( 2 cos ? , 2 sin ? ) ,则向量

??? ? ??? ? OA 与向量 OB 的夹角的取值范围是(
A. [0,



?
4

]

B. [

? 5?
4 12 ,

]

C. [

5? ? , ] 12 2

D. [

, ] 12 12
甲 9 8 2 1 0 8 9 乙 3 3 7 9

? 5?

8.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测 评中的成绩,其中一个数字被污损.则甲的平均成 绩超过乙的平均成绩的概率为( ) A.

2 5

B.

7 10

C.

4 5

D.

9 10

9. 设双曲线 离为

x2 y2 ? ? 1 的半焦距为 c,直线 l 过 A?a,0?, B?0, b ? 两点,若原点 O 到 l 的距 a 2 b2
)

3 则双曲线的离心率为( c, 4

A.

2 3 或2 3
2

B.2

C. 2 或

2 3 3

D.

2 3 3


10. a 是 f ( x ) ? 2 x ? log1 x 的零点,若 0 ? x0 ? a ,则 f ( x 0 ) 的值满足( A. f ( x0 ) ? 0 B. f ( x 0 ) ? 0 C. f ( x 0 ) ? 0

D. f ( x 0 ) 的符号不确定 .

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 ) 11.已知等差数列{ an }的前 n 项和为 S n ,且 S10 ? 12 , S20 ? 17 ,则 S30 为

? 2y ?1 ? 0 ? 12. 若点 P 在区域 ? x ? y ? 2 ? 0 内,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 距离的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
_______. 13. 已知函数 y ? f ( x) ( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ? [?1,1] 时, f ( x) ? x ,则
2

y ? f ( x) 与 g ( x) ? log5 x 的图象的交点个数为
14.观察等式: 式 为: .

.

1 1 2 1 1 1 3 ? ? , ? ? ? ,根据以上规律,写出第四个等 .... 1? 2 2 ? 3 3 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4
.

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15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) A. (不等式选讲选做题)已知方程 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 1|? a ? 1 有实数解,则 a 的取值范围为___________. B.(几何证明选讲选做题)如右图,四边形 ABCD 内接 于⊙ O ,BC 是直径,MN 切⊙ O 于 A, ?MAB ? 25 , 则 ?D ? .
?

M B O

A N D C

? x ? 2 ? 3cos ? C. (坐标系与参数方程选做题) 设曲线 C 的参数方程为 ? ? y ? ?1 ? 3sin ? ? x ? 1 ? 2t ( ? 为参数) ,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,则直线 l 被曲线 C 截得 ? y ? 1? t
的弦长为___. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.设 0 ? ? ? ? , P ? sin 2? ? sin ? ? cos? (1)若 t ? sin ? ? cos? ,用含 t 的式子表示 P; (2)确定 t 的取值范围,并求出 P 的最大值.

17.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方 形,侧棱 PD ? 底面 ABCD , PD ? 4, DC ? 3 ,

P

E

E 是 PC 的中点. (1)证明: PA // 平面BDE ; (2)求 ?PAD 以 PA 为轴旋转所围成的几何体体积.
D

C

B

A

18.汽车是碳排放量比较大的行业之一.欧盟规定,从 2012 年开始,将对 CO2 排放量超过 某检测单位对甲、 乙两类 M1 型品牌车各抽取 5 辆进行 130 g/km 的 M1 型新车进行惩罚.

CO2 排放量检测,记录如下(单位: g/km ).
甲 乙 80 100 110 120 120 140 150 160

x

y

经测算发现,乙品牌车 CO2 排放量的平均值为 x乙 ? 120 g/km . (1)从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆,则至少有一辆不符合 CO2 排放量的概率
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是多少?

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(2)若 90 ? x ? 130 ,试比较甲、乙两类品牌车 CO2 排放量的稳定性.

19. 已知数列 ?an ? , ?bn ? , ?cn ? 满足 (an ?1 ? an )(bn ?1 ? bn ) ? cn (n ? N ) .
?

(1)设 cn ? 3n+6, ?an ? 是公差为 3 的等差数列.当 b 1 ? 1 时,求 bn 的通项公式;
? (2)设 cn ? n ,设 an ? n ? 8n .求正整数 k ,使得对一切 n ? N ,均有 bn ? bk .
3 2

20.已知函数 f ( x) ? ax ?
3

3 (a ? 2) x 2 ? 6 x ? 3 . 2

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 极小值; (2)试讨论函数 y ? f ( x) 图象与 x 轴公共点的个数.

21.设直线 l 与抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 交于 A, B 两点, 已知当直线 l 经过抛物线的焦点且与 . x 轴垂直时, ?OAB 的面积为 (O 为坐标原点) (1)求抛物线的方程; (2)当直线 l 经过点 P(a,0) (a ? 0) 且与 x 轴不垂直时, 若在 x 轴上存在点 C ,使得 ?ABC 为正三角形, 求 a 的取值范围.
1 2

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参考答案
一.选择题: BCCDC 二、填空题: 11. 15 14. CDCAB 12. 4 13. 4

1 1 1 1 1 5 ? ? ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5 ? 6 6

15. A.

? ?3, ?1?

B. 115?

C. 4..

三、解答题: 16.(1)由 t=sin ? ? cos ? , 有 t ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2? .
2

? sin 2? ? 1 ? t 2 ,? P ? 1 ? t 2 ? t ? ?t 2 ? t ? 1.
(2) t=sin ? ? cos ? ?

??

1 ? ? sin(? ? ) ? 1. 即 t 的取值范围是 ?1 ? t ? 2. 4 2 1 5 1 P(t ) ? ?t 2 ? t ? 1 ? ?(t ? ) 2 ? , 在 [?1, ] 内是增函数, 2 4 2 1 在 [ , 2] 内是减函数. 2 5 ? P 的最大值是 . 4

? ? ? 3? 2 sin(? ? ).? 0 ? ? ? ? ,?? ? ? ? ? 4 4 4 4.

P

17. (I)连接 A, C 交 BD 于 O ,连接 EO .

? ABCD 是正方形, ∴ O 为 AC 中点, E 为 PA 的中点,
∴ OE // PA .又? OE ? 平面 BDE , PA ? 平面BDE ,

H D D1 A

PA // 平面BDE .

(II)过 D 作 PA 的垂线,垂足为 H ,则几何体为 DH 为半径,分别以 PH , AH 为高 的两个圆锥的组合体? 侧棱 PD ? 底面 ABCD . ∴ PD ? DA , PD ? 4, DA ? DC ? 3 ,
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∴ PA ? 5 .

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DH ?

PD ? DA 4 ? 3 12 ? ? . PA 5 5

1 1 V ? ? DH 2 ? PH ? ? DH 2 ? AH 3 3

=

1 ? DH 2 ? PA 3

1 12 48 ? ? ? ( )2 ? 5 = ? ? . 3 5 5

18. ( 1 )从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆,共有 10 种不同的 CO 2 排放量结果: ( 80, 110 );( 80, 120 );( 80, 140 );( 80, 150 );( 110 , 120 ); ( 110 , 140 );( 110 , 150 );( 120 , 140 );( 120 , 150 );( 140 , 150 ). 设“至少有一辆不符合 CO 2 排放量”为事件 A ,则事件 A 包含以下 7 种不同的结 果: ( 80, 140 ) ; ( 80, 150 ) ; ( 110 , 140 ) ; ( 110 , 150 ) ; ( 120 , 140 ) ; ( 120 , 150 );( 140 , 150 ). 所以, P( A) ?

7 ? 0.7 10

答:至少有一辆不符合 CO 2 排放量的概率为 0.7 (2)由题可知, x甲 ? x乙 ? 120 , x ? y ? 220 .
2 5S甲 ? ? 80 ? 120 ? ? ?110 ? 120 ? ? ?120 ? 120 ? ? ?140 ? 120 ? ? ?150 ? 120 ? ? 3000 2

2

2

2

2

2 5S乙 ? ?100 ? 120 ? ? ?120 ? 120 ? ? ?x ? 120 ? ? ? y ? 120 ? ? ?160 ? 120 ?

2

2

2

2

2

? 2000 ? ?x ? 120 ? ? ? y ? 120 ?
2

2

2 ? 2000 ? ?x ? 120 ? ? ?x ? 100 ? , ? x ? y ? 220,? 5S乙

2

2

令 x ? 120 ? t ,? 90 ? x ? 130 ,? ?30 ? t ? 10 ,
2 ? 5S乙 ? 2000 ? t 2 ? ?t ? 20 ? ,

2

2 2 ? 5S乙 ? 5S甲 ? 2t 2 ? 40t ? 600 ? 2(t ? 30)(t ? 10) ? 0
2 2 ? x甲 ? x乙 ? 120 , S乙 <S甲 ,∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好.

19.解: (1)? an ?1 ? an ? 3,? bn ?1 ? bn ? n ? 2. 由累加法及 b1 ? 1 可得 bn ?

n 2 ? 3n ? 2 (n ? N ? ) 2

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n3 . 2n ? 7

(2)? an ?1 ? an ? 2n ? 7,? bn ?1 ? bn ? 由 bn ?1 ? bn ? 0. 由 bn ?1 ? bn ? 0. 故 k ? 4,

解得 n ? 4 ,即: b4 ? b5 ? b6 ? ...... 解得 n ? 3 ,即: b1 ? b2 ? b3 ? b4

20.解: (1) f ' ( x) ? 3ax 2 ? 3(a ? 2) x ? 6 ? 3a( x ? )( x ? 1),

2 a

f ( x) 极小值为 f (1) ? ?

a . 2
2

(2)错误!未找到引用源。若 a ? 0 ,则 f (x) ? ?3( x ?1) ,? f ( x) 的图像与 x 轴只有一 个交点; 错误!未找到引用源。若 a ? 0 , ? f ( x) 极大值为 f (1) ? ?

a ? 0, 2

2 ? f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 0 , a
? f ( x) 的图像与 x 轴有三个交点;
错误!未找到引用源。若 0 ? a ? 2 , f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点; 错误!未找到引用源。若 a ? 2 ,则 f ( x) ? 6( x ? 1) ? 0 ,? f ( x) 的图像与 x 轴只有
' 2

一个交点; 错误! 未找到引用源。 若a ? 2, 由 (1) 知 f ( x) 的极大值为 f ( ) ? ?4(

2 a

1 3 2 3 ? ) ? ? 0, a 4 4

? f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点;
综上知,若 a ? 0, f ( x) 的图像与 x 轴只有一个交点;若 a ? 0 , f ( x) 的图像与 x 轴有 三个交点. 21.(1)由条件可得 | AB |? 2 p ,O 点到 AB 距离为 ∴ S ?AOB ?
S ?AOB
p 1 1 ? 2 p ? ? p2 , 2 2 2 1 ? , p ? 0 得: p ? 1 , 2 p , 2

∴ 抛物线的方程为 y 2 ? 2 x . (2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,AB 的中点为 M ( x 0 , y 0 ) , 又设 C (t , 0) ,直线 l 的方程为 x ? my ? a ( m ? 0 ) .
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? x ? my ? a 由? 2 ,得 y 2 ? 2my ? 2a ? 0 . y ? 2 x ?

∴ ? ? 4( m 2 ? 2a ) , y1 ? y 2 ? 2m , y1 y 2 ? ?2a . 所以 y 0 ?
y1 ? y 2 ? m ,从而 x 0 ? m 2 ? a . 2
3 | AB | . 2

∵ ?ABC 为正三角形,∴ MC ? AB , | MC |? 由 MC ? AB ,得 由 | MC |?

y0 1 ? ? ?1 ,所以 t ? m 2 ? a ? 1 . x0 ? t m

3 3 2 | AB | ,得 ( x 0 ? t ) 2 ? y 0 ? ? ( x 1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 , 2 2 3 ( m 2 ? 1) ? 4( m 2 ? 2a ) ,又∵ m 2 ? a ? t ? ?1 , 2

即 (m 2 ? a ? t ) 2 ? m 2 ?

∴ 1 ? m 2 ? 3( m 2 ? 1)(m 2 ? 2a ) ,从而 a ? ∵ m ? 0 ,∴ m 2 ? 0 ,∴ 0 ? a ?
1 ∴ a 的取值范围 (0, ) . 6 1 . 6

1 m2 . ? 6 2

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