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高考第一轮复习数学:4.6 三角函数的图象与性质(二)答案


付国教案

4.6
●知识梳理 1.三角函数的图象和性质
函 性 质 定义域 值域 图象 奇偶性 周期性 单调性 对称性 数

三角函数的图象与性质(二)答案

y=sinx

y=cosx

y=tanx

注:读者自己填写. 2.图象与性质是一个密不可分的整体,研究性质要注意联想图象. ●点击双基 π 1.函数 y=sin( -2x)+sin2x 的最小正周期是 3
A.2π B.π C. π 2 D.4π

解析:y=

3 1 3 1 π cos2x- sin2x+sin2x= cos2x+ sin2x=sin( +2x) =π. ,T 2 2 2 2 3

答案:B 2.若 f(x)sinx 是周期为π的奇函数,则 f(x)可以是 B.cosx C.sin2x D.cos2x A.sinx 解析:检验. 答案:B π (x∈[0,π] )为增函数的区间是 3.(天津,理 9)函数 y=2sin( -2x) 6
A.[0, C.[
π ] 3

B.[ D.[

π 7π , ] 12 12

π 5π , ] 3 6

5π ,π] 6

解析:由 y=2sin(
2kπ+

π π π -2x)=-2sin(2x- )其增区间可由 y=2sin(2x- )的减区间得到,即 6 6 6

π π 3π ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z. 2 6 2 π 5π ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 3 6

∴kπ+

令 k=0,故选 C. 答案:C
4.(北京东城区高三期末检测题)把 y=sinx 的图象向左平移
π 个单位,得到函数____________的图 3

象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,而纵坐标保持不变,得到函数____________ 的图象.
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解析:向左平移

π π π 个单位,即以 x+ 代 x,得到函数 y=sin(x+ ) ,再把所得图象上所有点的横 3 3 3

坐标伸长到原来的 2 倍,即以 答案:y=sin(x+

1 1 π x 代 x,得到函数:y=sin( x+ ). 2 2 3

π 1 π ) y=sin( x+ ) 3 2 3

5.函数 y=lg(cosx-sinx)的定义域是_______. 解析:由 cosx-sinx>0 ? cosx>sinx.由图象观察,知 2kπ-
y y= sinx

3π π <x<2kπ+ (k∈Z). 4 4

O

π 2 y= cosx



x

答案:2kπ- ●典例剖析

3π π <x<2kπ+ (k∈Z) 4 4
π )的最大值是_______; 3

【例 1】 (1)y=cosx+cos(x+ (2)y=2sin(3x-

π )的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______. 4

剖析: (1)y=cosx+
=

1 3 cosx- sinx 2 2

3 3 3 1 cosx- sinx= 3 ( cosx- sinx) 2 2 2 2 π = 3 sin( -x). 3

所以 ymax= 3 . (2)T=
2π π ,相邻对称轴间的距离为 . 3 3
π 3

答案: 3

【例 2】 (1)已知 f(x)的定义域为[0,1) ,求 f(cosx)的定义域; (2)求函数 y=lgsin(cosx)的定义域. 剖析:求函数的定义域: 1)要使 0≤cosx≤1, 2)要使 sin(cosx)>0,这里的 cosx 以它的值充 ( ( 当角. 解: 1)0≤cosx<1 ? 2kπ- (
π π ≤x≤2kπ+ ,且 x≠2kπ(k∈Z). 2 2 π π ,2kπ+ ]且 x≠2kπ,k∈Z}. 2 2

∴所求函数的定义域为{x|x∈[2kπ-

(2)由 sin(cosx)>0 ? 2kπ<cosx<2kπ+π(k∈Z).又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1.故所求 定义域为{x|x∈(2kπ-
π π ,2kπ+ ) ,k∈Z}. 2 2

评述:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角函数线.
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【例 3】 求函数 y=sin x+cos x 的最小正周期,并求 x 为何值时,y 有最大值. 剖析:将原函数化成 y=Asin(ωx+ ? )+B 的形式,即可求解. 解: y=sin6x+cos6x= (sin2x+cos2x) 4x-sin2xcos2x+cos4x) (sin =1-3sin2xcos2x=1- ∴T=
π . 2 kπ (k∈Z)时,ymax=1. 2 3 2 3 5 sin 2x= cos4x+ . 4 8 8

6

6

当 cos4x=1,即 x=

深化拓展
函数 y=tan ax+θ) a>0) x 从 n 变化为 n+1 n∈Z) y 的值恰好由-∞变为+∞, a=_______. ( ( 当 ( 时, 则 分析:你知道函数的周期 T 吗? 答案:π ●闯关训练 夯实基础 1.(辽宁,11)若函数 f(x)=sin(ωx+ ? )的图象(部分)如下图所示,则ω和 ? 的取值是
y 1 - π O 2π 3 3

x

A.ω=1, ? = C.ω=

π 3

B.ω=1, ? =- D.ω=

π 3

1 π ,? = 2 6

1 π , ? =- 2 6

解析:由图象知,T=4( 又当 x=

2π π 2π 1 + )=4π= ,∴ω= . 3 3 ω 2

2π 1 2π 时,y=1,∴sin( × + ? )=1, 3 2 3

π π π + ? =2kπ+ ,k∈Z,当 k=0 时, ? = . 3 2 6

答案:C
2.(北京海淀区二模题)f(x)=2cos2x+ 3 sin2x+a(a 为实常数)在区间[0, π ]上的最小值为 2

-4,那么 a 的值等于 A.4

B.-6

C.-4

D.-3

解析:f(x)=1+cos2x+ 3 sin2x+a
=2sin(2x+
π )+a+1. 6 π π π 7π ] 2x+ ∈[ , ,∴ ]. 2 6 6 6

∵x∈[0,

∴f(x)的最小值为 2×(- ∴a=-4. 答案:C
3.函数 y= ? sin

1 )+a+1=-4. 2

x 的定义域是_________. 3
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解析:-sin

x x x ≥0 ? sin ≤0 ? 2kπ-π≤ ≤2kπ ? 6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z). 3 3 3

答案:6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z) 4.(北京海淀区高三期末练习题)函数 y=tanx-cotx 的最小正周期为____________. 解析:y= 答案:
π 2 sin x cos x π - =-2cot2x,T= . cos x sin x 2

5.(全国Ⅰ,17)求函数 f(x)=

sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x cos 2 x 的最小正周期、最大值和最小值. 2 ? sin 2 x

2 (sin 2 x + cos 2 x) ? sin 2 x cos 2 x 解:f(x)= 2 ? 2 sin x cos x

1 ? sin 2 x cos 2 x 1 = (1+sinxcosx) ( ? sin x cos x) 2 21 1 1 = sin2x+ , 4 2 = 所以函数 f(x)的最小正周期是π,最大值是 6.已知 x∈[ 3 1 ,最小值是 . 4 4

3π 3π 9 , ] ,函数 y=cos2x-sinx+b+1 的最大值为 ,试求其最小值. 4 2 8 1 2 17 ) + +b, 4 8

解:∵y=-2(sinx+ 又-1≤sinx≤ ymax=

2 1 ,∴当 sinx=- 时, 2 4

17 9 +b= ? b=-1; 8 8 2 2 . 时,ymin=- 2 2

当 sinx= 培养能力

7.求使 1 ? sin θ = 2 sin(

θ
2



π )成立的θ的区间. 4

解: 1 ? sin θ = 2 sin(

θ
2



π θ θ 2 ) ? (sin ? cos ) 4 2 2

= 2(

2 2 θ θ θ θ θ θ sin - cos ) ? |sin -cos |=sin -cos 2 2 2 2 2 2 2 2 θ θ π θ 5π ? sin ≥cos ? 2kπ+ ≤ ≤2kπ+ (k∈Z). 2 2 4 2 4

因此θ∈[4kπ+

π 5π ,4kπ+ ] k∈Z). ( 2 4
y 2 1 -π O 4 y=k 3π 4 π x

8.已知方程 sinx+cosx=k 在 0≤x≤π上有两解,求 k 的取值范围.

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解:原方程 sinx+cosx=k ? 的图象.对于 y= 2 sin(x+

2 sin(x+

π π )=k,在同一坐标系内作函数 y1= 2 sin(x+ )与 y2=k 4 4

π ) ,令 x=0,得 y=1. 4

∴当 k∈[1, 2 )时,观察知两曲线在[0,π]上有两交点,方程有两解. 评述:本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的个数,应重视这种方法. 探究创新
?sin x (sin x ≥ cos x), 9.已知函数 f(x)= ? . ?cos x (cos x > sin x) (1)画出 f(x)的图象,并写出其单调区间、最大值、最小值; (2)判断 f(x)是否为周期函数.如果是,求出最小正周期. 解: (1)实线即为 f(x)的图象.
y 1 y=sinx -2π -π y=cosx O -1 π 2π x

单调增区间为[2kπ+

π π 5π ,2kπ+ ][2kπ+ , , ,2kπ+2π] (k∈Z) 4 2 4 π π 5π ][2kπ+ ,2kπ+ , , ] (k∈Z) 4 2 4

单调减区间为[2kπ,2kπ+ f(x)max=1,f(x)min=-

2 . 2 (2)f(x)为周期函数,T=2π. ●思悟小结 1.三角函数是函数的一个分支,它除了符合函数的所有关系和共性外,还有它自身的属性 . 2.求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数,且三角函数的次数为 1 的形 式,否则很容易出现错误. ●教师下载中心 教学点睛 1.知识精讲由学生填写,起到回顾作用. 2.例 2、例 4 作为重点讲解,例 1、例 3 诱导即可. 拓展题例 【例 1】 已知 sinα>sinβ,那么下列命题成立的是 A.若α、β是第一象限角,则 cosα>cosβ B.若α、β是第二象限角,则 tanα>tanβ C.若α、β是第三象限角,则 cosα>cosβ D.若α、β是第四象限角,则 tanα>tanβ 解析:借助三角函数线易得结论. 答案:D

【例 2】 函数 f(x)=-sin2x+sinx+a,若 1≤f(x)≤ 解:f(x)=-sin2x+sinx+a

17 对一切 x∈R 恒成立,求 a 的取值范围. 4

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=-(sinx-

1 2 1 ) +a+ . 2 4 17 4 1 2 1 17 ) +a+ ≤ 2 4 4 1 2 3 ) ≤a- . 2 4 3 1 1 ≤sinx- ≤ 2 2 2

由 1≤f(x)≤

? 1≤-(sinx-

? a-4≤(sinx-



由-1≤sinx≤1 ? -
? (sinx-

1 2 9 1 ) max = , sinx- ) 2 =0. ( min 2 4 2

∴要使①式恒成立,
?a ? 4 ≤ 0 ? 只需 ? 3 9 ? 3≤a≤4. ?a ? 4 ≥ 4 ?

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