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南充高中2011年素质技能邀请赛数学评分标准1


南充高中 2011 年素质技能邀请赛

数 学 试 题
(考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分)

第Ⅱ卷(答题卷)
一、选择题答案:(每小题 5 分,共计 30 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 B 8. ______-18____ 10.______
9 16
0
<

br />5 A

6 C

二、填空题答案:(每小题 5 分,共计 50 分) 7. 3 9.___ y=
x 2 ? 2 _______

_______

11._______ 4 0 _______
48 49

12.____(0,

?2

1004

)__

13.___

________

14_________2S____

15._____5_____________ 16. ②③④ 三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤) 17.(本小题 10 分)设 a b c ? 1 ,求
a ab ? a ? 1 ? b bc ? b ? 1 ? ? c ac ? c ? 1 a ab ? a ? 1 ?

的值.
1

解: a b ? a ? 1 ? a b ? a ? a b c ? a ( b ? 1 ? b c )

b ? 1 ? bc

而 a c ? c ? 1 ? a c ? c ? a b c ? c ( a ? 1 ? b a ) ? a c (b ? 1 ? b c )
c ac ? c ? 1 1 a (b ? 1 ? b c ) b bc ? b ? 1 1 a ( b c ? b ? 1) a ? ab ? 1 a (b ? 1 ? b c )

?

?

? 原式=

1 bc ? b ? 1

?

?

?

?1

18. (本小题 12 分)已知 ? A B C 的两边 A B , A C 的长是关于 x 的一元二次方程
x ? ( 2 k ? 3) x ? k ? 3 k ? 2 ? 0 的两个实数根,第三边长为 5.
2 2

南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题 1

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(1) k 为何值时, ? A B C 是以 B C 为斜边的直角三角形 (2) k 为何值时, ? A B C 是等腰三角形,并求 ? A B C 的周长 解: (1)因为 A B , A C 是方程 x ? ( 2 k ? 3) x ? k ? 3 k ? 2 ? 0 的两个实数根,
2 2

所以 A B ? A C ? 2 k ? 3, A B ? A C ? k ? 3 k ? 2
2

又因为 ? A B C 是以 B C 为斜边的直角三角形,且 B C ? 5 所以 A B ? A C ? B C ,所以 ( A B ? A C ) ? 2 A B ? A C ? 2 5 ,
2 2 2

2

即 ( 2 k ? 3) ? 2 ( k ? 3 k ? 2 ) ? 2 5 ,所以 k ? 3 k ? 1 0 ? 0 所以 k 1 ? ? 5, k 2 ? 2
2 2
2

当 k ? 2 时,方程为 x ? 7 x ? 1 2 ? 0 ,解得 x1 ? 3, x 2 ? 4
2

当 k ? ? 5 时,方程为 x ? 7 x ? 1 2 ? 0 ,解得 x1 ? ? 3, x 2 ? ? 4 (不合题意,舍去)
2

所以当 k ? 2 时, ? A B C 是以 B C 为斜边的直角三角形。 (2)若 ? A B C 是等腰三角形,则有① A B ? A C ② A B ? B C ③ A C ? B C 三种情况。 因为 ? ? ( 2 k ? 3) ? 4 ( k ? 3 k ? 2 ) ? 1 ? 0 ,所以 A B ? A C ,故第①种情况不成立。所以
2 2

当 A B ? B C 或 A C ? B C 时,5 是 x ? ( 2 k ? 3) x ? k ? 3 k ? 2 ? 0 的根,
2 2

所以 2 5 ? 5( 2 k ? 3) ? k ? 3 k ? 2 ? 0, k ? 7 k ? 1 2 ? 0 ,解得 k 1 ? 3, k 2 ? 4
2 2

当 k ? 3 时, x ? 9 x ? 2 0 ? 0 所以 x1 ? 4 , x 2 ? 5 ,所以等腰 ? A B C 的三边长分别为 5、5、4,
2

周长是 14 当 k ? 4 时, x ? 1 1 x ? 3 0 ? 0 所以 x1 ? 5, x 2 ? 6 ,所以等腰 ? A B C 的三边长分别为 5、5、6,
2

周长是 16. 19. (本小题 12 分)在平行四边形 A B C D 中,P 为 C D 边上一点, A P 与 B P 分别为 ? D A B 和 ? C B A 的平分线 (1)判断 ? A P B 是什么三角形,并证明你的结论; (2)比较 D P 与 P C 的大小; (3)以 A B 为直径的⊙ O 交 A D 于点 E ,连接 B E 与 A P 交于 F ,若 AD ? 5, AP ? 8 ,求 P C D 证: ? A E F ∽ ? A P B ,并求 tan ? A F E 的值 解: (1)? A D ∥ B C
南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题 2A 第6页 B 7页 共

? ? D AB ? ? C BA ? 180

0

又 A P 与 B P 分别为 ? D A B 和 ? C B A 的平分线
? ? P A B ? ? P B A ? 9 0 ,? ? A P B ? 9 0 ,? ? A P B 是直角三角形。
0 0

(2)? D C ∥ A B ,? ? B A P ? ? D P A
? ? D A P ? ? P A B , ? ? D A P ? ? D P A ,? D A ? D P

同理, C P ? C B ,? D P ? P C (3) ? A D ? 5, A P ? 8,? A B ? D C ? D P ? P C ? 2 A D ? 1 0 因为 A B 为⊙ O 直径, ? A P B ? 9 0 , P B ?
0
0

AB ? AP
2

2

?

10 ? 8
2

2

? 6

又? ? A E B ? ? A P B ? 9 0 , ? E A F ? ? P A B ? ? A E F ∽ ? A P B
? ? A F E ? ? A B P ? ta n ? A F E ? ta n ? A B P ? AP PB ? 4 3

20. (本小题 12 分)已知 ? A B C 是⊙ O 的内接三角形, B T 为⊙ O 的切线, B 为切点, P 为直 线 A B 上一点,过点 P 做 B C 的平行线交直线 B T 于点 E ,交直线 A C 于点 F (1)当点 P 在线段 A B 上时求证: P A ? P B ? P E ? P F (2)当点 P 为线段 B A 延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证明, 否则说明理由; (3)若 a b ? 4 2 , co s ? E B A ?
1 3

,求⊙ O 的半径 A P A E B T F

解(1)证明:? B T 切⊙ O 于点 B ,? ? E B A ? ? C ,
? E F ∥ B C ,? ? A F P ? ? E B P
? ? A P F ? ? E P B ,? ? P F A ∽ ? P B E

.
O

C

?

PA PE

?

PF PB

,? P A ? P B ? P E ? P F

(2) 当点 P 为线段 B A 延长线上一点时,第(1)题的结论任成立
? B T 切⊙ O 于点 B ,? ? E B A ? ? C , ? E P ∥ B C ,? ? P F A ? ? C ,
? ? P F A ? ? P B E ,? ? F P A ? ? B P E

F

P A A

.O
E B H
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C

T

南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题 3

? P F A ∽ ? P B E ,?

PF PB

?

PA PE

, PA ? PB ? PE ? PF

(3)作直径 A H ,连接 B H
? ? ABH ? 90
0

? B T 切⊙ O 于点 B ,? ? E B A ? ? A H B

? cos ? E B A ?
2

1 3

,? c o s ? A H B ?
2

1 3

? s in ? A H B ? c o s ? A H B ? 1
2 3 2

又因为 ? A H B 为锐角, ? s in ? A H B ? 在直角 ? A B H 中,? s in ? A H B ? 即⊙ O 的半径为 3.
AB AH

, AB ? 4

2 ,? A H ?

AB s in ? A H B

? 6

21. (本小题 12 分)如图所示,已知 A , B 两点的坐标分别为(28,0)和(0,28) ,动点 P 从点 A 开 始,在线段 A O 上以每秒 3 个长度单位的速度向原点 O 运动,动直线 E F 从 x 轴开始,以每 秒 1 个长度单位的速度向上移动(即 E F ∥ x 轴) ,且分别与 y 轴、线段 A B 交于点 E , F ,连接
F P ,设动点 P 与动直线 E F 同时出发,运动时间为 ts

(1)当 t ? 1 s 时,求梯形 O P F E 的面积, t 为何值时,梯形 O P F E 的面积最大?最大面积是多 少? (2)当梯形 O P F E 的面积等于三角形 A P F 的面积时,求线段 P F 的长; (3)设 t 的值分别取 t1 , t 2 时( t1 ? t 2 ) ,所对应的三角形分别为 ? A F1 P1 和 ? A F 2 P2 ,判断这两个三 角形是否相似,请证明你的结论. 解: (1)当 t ? 1 s 时, O E ? 1, A P ? 3,? O P ? 28 ? 3 ? 25
? O A ? O B , E F ∥ O A ,? E F ? E B ? 28 ? 1 ? 27

y B

( OP+EF)OE (25 ? 27 ) ? 1 ? S 梯 形 OPFE ? ? ? 26 2 2

E P

F x A

O
S? (28 ? 3 t ? 28 ? t ) t 2
? t ? 7 s ,梯形 O P F E 的面积最大,最大面积是 98
南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题 4

? ? 2 t ? 28 t ? ? 2( t ? 7 ) ? 98,
2 2

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(2)? S 梯 形 O P F E ?

(56 ? 4 t ) t 2

, S ?AFP ?

3t 2

2

当? S 梯 形 O P F E ? S ? A F P 时,有

(56 ? 4 t ) t 2

?

3t 2

2

,? t1 ? 8, t 2 ? 0 (舍去)

过点作 FH ? AO ,垂足为 H
? ? O A B ? 4 5 ,? A H ? F H ? 8, P H ? 3 ? 8 ? 8 ? 1 6
0

在 R t ? F H P 中, F P ? (3)相似,下面证明

FH

2

? PH

2

?

8 ? 16
2

2

?8 5

分别过点 F1 , F 2 ,作 F1 H 1 ? A P1 , F 2 H 2 ? A P2 ,垂足分别为 H 1 , H 2
? ? O A B ? 4 5 ,? A H 1 ? F1 H 1 ? t1 , A H 2 ? F 2 H 2 ? t 2
0

y B

? A F1 ?

2 t1 , A F 2 ?

2t2 .?

A F1 A F2

?

t1 t2

E 2E
, A P1 AP 2 ? A F1 A F2 ? t1 t2

F
2

又? A P1 ? 3 t1 , A P2 ? 3 t 2 ,?

A P1 A P2

?

3 t1 3t 2

F H A

O

P
2

P H1
2

x

且 ? O A B ? ? O A B ,? ? A F1 P1 ∽ ? A F 2 P2 22. (本小题 14 分)如图,已知点 B (-2,0) C (-4,0),过点 B , C 的⊙ M 与直线 x ? ? 1 相切于点
A ( A 在第二象限),点 A 关于 x 轴的对称点是 A1 ,直线 A A1 与 x 轴相交点 P

y

(1)求证:点 A1 在直线 M B 上 (2)求以 M 为顶点且过 A1 的抛物线的解析式; (3)设过点 A1 且平行于 x 轴的直线与(2)中 的抛物线的另一交点为 D ,当⊙ D 与⊙ M 相切时, 求⊙ D 的半径和切点坐标 解:易知 P (-1,0), B P ? 1, C P ? 3 .
? P A 与⊙ M 相切于 A , P B C 是⊙ M 的割线,
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M C D
A1

A B P O

x

? P A ? P B ? P C 即 P A ? 1 ? 3 ? 3, P A ? 3
2

2

A 在第二象限, 点 A 关于 x 轴的对称点是 A1

? A ( ? 1, 3 ), A1 ( ? 1, ? 3 ) ,可得 M ( ? 3, 3 )

从而直线 M B 的解析式为 y ? ? 3 x ? 2 3 当 x ? ? 1 时 y ? 3 ? 2 3 ? ? 3 ,即点 A1 在直线 M B 上 (2)? 所求抛物线以 M ( ? 3, 3 ) 为顶点,
3 2

? 抛物线的解析式可设为 y ? a ( x ? 3) ? 3 ,将点 A1 坐标带入,可得 a ? ?
2

? 抛物线的解析式为 y ? ?

3 2

( x ? 3) ? 3
2

(3)过点 A1 且平行于 x 轴的直线为 y ? ? 3 由y ? ?
3 2 ( x ? 3) ? 3 和 y ? ? 3 解得 x1 ? ? 1, y1 ? ? 3. x 2 ? ? 5, y 2 ? ? 3
2

? A1 ( ? 1, ? 3 ), D ( ? 5, ? 3 )

以点 D 为圆心且与⊙ M 相切的圆有两种情况:外切或内切 当⊙ D 与⊙ M 外切时, D M ? 4
? ⊙ D 的半径为 2,点 C ? ? 4, 0 ? 就是切点,

当⊙ D 与⊙ M 内切时,⊙ D 的半径为 6,点⊙ E ( ? 2, ? 2 3 ) 是切点

南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题 6

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南充高中 2011 年素质技能邀请赛数学试题 7

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