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1.2函数及其表示(2012学年版)


平桥中学 2012 学年第一学期高一数学期末复习资料

1.2 函数及其表示(自学版)
班级 姓名 学号

知识点 1:函数、映射的概念
[来源:学科网 ZXXK]

例 1(1)下列四个图形中,不是以 x 为自变量的函数的图象是 ( ..
y y y


y



.
o
x


A B

o

x

o

x

o

x

C

D

解:此题的关键是理解函数概念中“对于集合 A 中任意一个数 x 在集合 B 中都有唯一的 y 与之对应.选 C. 例 1(2) .下列从 P 到 Q 的各对应关系 f 中,不是映射的是 ( .. A. P ? N , Q ? N ? , f : x → x ? 8 ; B. P ? ?1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ? , Q ? ?? 4 , ? 3 , 0 , 5 ,12 ? , f : x → x ( x ? 4 ) ; C. P ? N , Q ? ?? 1,1? , f : x → ( ? 1 ) ;
n

)

D. P ? Z , Q ? {有理数}, f : x → x .
2

解:对于选项 A,当 x ? 8 时, x ? 8 ? 0 ? N ? ,故选 A. 例 1(3)1.集合 A={a,b,c},B={d,e}则从 A 到 B 可以建立不同的映射个数为( A.5 B.6 C.8 D.9 解:用树状图写出所有的映射为: )

?b→d c→e a→d? c→d b→e ? c→e
? ? ? ? ?

?c→d ? ? ? ?

?b→d c→e a→e? c→d b→e ? c→e
? ? ? ? ?
x
2

?c→d ? ? ? ?

共 8 个.选 C.

知识点 2:同一函数 例 2.下列各组函数中,表示同一函数的是 ( A. f ( x ) ? x ? 1 和 g ( x ) ? C. f ( x ) ?
x x
?1 x ?1


x
2

B. f ( x ) ? D. f ( x ) ?

和 g (x) ? x
2 和 g (x) ? ( x )

和 g (x) ? 1

x

3

解:选 B.判断是否同一函数的关键是两个函数的定义域、值域是否相同.
1

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知识点 3:函数的定义域求法 函数定义域的基本求法 1.分式中的分母不为零; 2.偶次方根的被开方数(或式子)大于等于零; 3.指数式,对数式中的底数大于零且不等于 1; 4.对数式中的真数大于零,底数大于零且不等于 1;
0 5.幂函数 y ? x 中 x ? 0

例 3(1).求函数 y ?
?3 x ? 2 ? 0 ? 解: ? x ? 3 ? 0 ? ?2 x ? 3 ? 0 ?

3x ? 2 ?

?x
3

? 3?

0

的定义域.

2x ? 3

2 ? x ? ? 3 2 3? 2 3 ? ? .∴函数的定义域为 ? x x ? 且 x ? ? . ? x ? ?3 ? x ? 且 x ? 3 2? 3 2 ? 3 ? x ? ? 2 ?

解后语:当函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的,则它的定义域是各基本初 等函数的定义域的交集,通过列不等式组来实现. 例 3(2) .若函数 y ? f ( 3 x ? 1 ) 的定义域是[1,3],则 y ? f ( x ) 的定义域是( A.[1,3] 义域为[2,8],选 C. 例 3(3) .若函数 y ? f ( x ) 的定义域为 [ ? 1 ,1 ] ,则函数 y ? f (log 解:? 函数 y ? f ( x ) 的定义域为 [ ? 1 ,1 ] ,∴ ? 1 ? log ∴函数 y ? f (log
x ) 的定义域为
?1 ? ,2 . ? ? ?2 ?
2

)

B.[2,4]

C.[2,8]

D.[3,9]

解:? 函数 y ? f ( 3 x ? 1 ) 的定义域为[1,3],∴ x ? [1, 3 ] , 3 x ? 1 ? [ 2 ,8 ] , y ? f ( x ) 的定

2

x ) 的定义域为

.

x ? 1,

1 2

? x ? 2.

2

解后语:解决例 3(2) (3)必须紧紧抓住两点. (1)定义域指的是变量 x 的取值范围; (2)在对应法则 f 的作用下,括号内变量的取值范围相等. 知识点 4:函数的解析式求法 一.待定系数法 例 4(1) .设 f ( x ) 是一元二次函数, g ( x ) ? 2 ? f ( x ) ,且 g ( x ? 1 ) ? g ( x ) ? 2
x x ?1

?x ,
2

求 f (x) 与 g (x) . 解:设一元二次函数表达式为 f ( x ) ? ax
g (x) ? 2
x 2

? bx ? c ( a ? 0 ) ,
x ?1

f ( x ) ? 2 ( ax
x

2

? bx ? c ) 又? g ( x ? 1 ) ? g ( x ) ? 2
2

?x ,
2

g ( x ? 1) ? g ( x ) ? 2 ? 2
x ?1

x ?1

[ a ( x ? 1)

? b ( x ? 1 ) ? c ] ? 2 ( ax
x x 2

2

? bx ? c )

[ ax
2

2

? ( 2 a ? b ) x ? a ? b ? c ] ? 2 ( ax

? bx ? c )

? 2 [ ax
x

? (4 a ? b ) x ? 2 a ? 2b ? c]
2

? 2

x ?1

?x

? 2

x

? (2 x )
2

2

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?a ? 2 ?a ? 2 ? ? 即?4a ? b ? 0 ? ?b ? ? 8 ?2a ? 2b ? c ? 0 ? c ? 12 ? ?

从而 f ( x ) ? 2 x ? 8 x ? 12
2

, g ( x ) ? 2 ? ( 2 x ? 8 x ? 12 ) .
x 2

解后语:对于明确给定函数类型的题目可以用待定系数法求解,先待定系数设出函数解析 式,然后根据多项式相等原理得到对应系数相等,解出系数,求出函数解析式. 二.换元法 例 4(2)已知 f ( 3 x ? 1 ) ? 4 x ? 3 , 求 f ( x ) 的解析式. 解:令 t ? 3 x ? 1 ,则 x ? ∴ f (x) ? 三.配凑法 例 4(3)已知 f ( x ? 解:? f ( x ?
1 x ) ? x 1 x
2

1 3

( t ? 1) , f ( t ) ?

4 3

( t ? 1) ? 3 ?

4 3

t ?

5 3

4 3

x ?

5 3 1 x ? 1 x
2 2

) ? x

2

?

, 求 f ( x ) 的解析式.
1 x )
2

? (x ?

? 2 ∴ f (x) ? x

2

? 2

四.解方程组法(构造法) 例 4(4)设函数 f ( x ) 是定义 ( ?? , 0 ) ? ( 0 , ?? ) 在上的函数,且满足关系式
3 f (x) ? 2 f ( 1 x ) ? 4 x ,求 f ( x ) 的解析式.

解:将 3 f ( x ) ? 2 f ( ) ? 4 x 式中的 x 都用
x
3f( 1 x ) ? 2 f (x) ? 4 x

1

1 x

代替,得到一新等式

,联立两式组成方程组

1 ? 3 f (x) ? 2 f ( ) ? 4 x ? 12 8 ? x x ? ? f (x) ? ? 5 5x ?3 f ( 1 ) ? 2 f ( x ) ? 4 ? x x ?

知识点 5:分段函数
? 2e , x ? 2 ? 例 5(1)设 f ( x ) ? ? ,则 f ( f ( 2 )) 的值为( 2 lo g 3 ? x ? 1 ? , x ? 2 ? ?
x ?1



A. 0

B. 1
2

C. 2

D. 3
3

2 解:? 当 x ? 2 时, f ( x ) ? log 3 ( x ? 1 ) ,∴ f ( 2 ) ? log 3 ( 2 ? 1 ) ? log

3 ?1



又? 当 x ? 2 时, f ( x ) ? 2 e

x ?1

,∴ f ( f ( 2 )) ? f (1 ) ? 2 e

1?1

? 2 .选 C.

解后语:给出的函数是分段函数,应注意在不同的范围上用不同的关系式.根据自变量的值 所在的区间,选用相应的关系式求函数值.
3

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? ? ? 例5(2)已知函数 f ( x ) ? ? ? ? ?

x ? 2, 2x, x
2

x ? ?1 ?1? x ? 2 , x ? 2

2

①求 f ? f ? f ( ? ) ? ? 的值; ②若 f ( a ) ? 3 , 求 a 的值; ③求 f ( x ) 的定义域和值域. 4 ?? ? ? ①解:? ?
?
7 4 ? ? 1 ,∴ f ( ? 7 4 ) ? ? 7 4 ? 2 ? 1 4

?

?

7 ??

, f [ f (?

7 4

)] ? f (

1 4

) ? 2?

1 4

?

1 2

∴ f ? f ? f (? )? ? ? f ( ) ? 2 ? ? 1 4 ?? 2 2 ? ? ②解:当 a ? ? 1 时, a ? 2 ? 3 , a ? 1 ? ? 1 (舍去) ; 当 ? 1 ? a ? 2 时, 2 a ? 3 , a ? 当 a ? 2 时, 综上所述, a ?
a
2

?

7 ??

1

1

3 2

? ( ? 1, 2 ) ;

? 3 ,a ?
6 .

6 ? ? 2 , ?? ?,

或 a ? ? 6 ? ? 2 , ?? ? (舍去) ;

2

3 2

, 或a ?

③解: f ( x ) 的定义域为 ( ?? , ? 1 ] ? ( ? 1, 2 ) ? [ 2 , ?? ) ? R . 当 x ? ? 1 时, f ( x ) ? ( ?? ,1 ] ; 当 ? 1 ? x ? 2 时, f ( x ) ? ( ? 2 , 4 ) ; 当 x ? 2 时, f ( x ) ? [ 2 , ?? ) . ∴ ( ?? ,1 ] ? ( ? 2 , 4 ) ? [ 2 , ?? ) ? R , f ( x ) 的值域为 R . 解后语:分段函数的定义域是各部分 x 的取值范围的并集,值域也是 y 在各部分值的 取值范围的并集,因此,函数的解析式、定义域、值域通常是逐段求解,最后综合求出.
? 2 ? 1, x ? 0 , ? 例 5(3)设函数 f ( x ) ? ? 1 ?x2, x ? 0 ?
?x

若 f ( x 0 ) ? 1 ,则 x 0 的取值范围是(



A. ( ? 1,1 )

B. ( ? 1, ?? )

C. ( ?? , ? 2 ) ? ( 0 , ?? ) D. ( ?? , ? 1 ) ? (1, ?? )
? x0

解:当 x 0 ? 0 时,由 f ( x 0 ) ? 1 得, 2 ∴2
? x0

?1 ? 1,

? 2 ,即 2

? x0

? 2 ,∴ ? x 0 ? 1 , x 0 ? ? 1 ;
1

1

当 x 0 ? 0 时,由 f ( x 0 ) ? 1 得, x 0 2 ? 1 ,∴ x 0 ? 1 ; 综上所述, x 0 ? ? 1 ,或 x 0 ? 1 .选 D.

4

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例 5(4)给出函数 f ( x ) ? ? 2 A. ? 3 解:? 1 ? log ∴ f (log
2
2

? 1 x ?( ) ? f ( x ? 1) ?

( x ? 2) (x ? 2)

,则 f (log
1 6

2

3) ? (


1 9

B.

1 3

C.

D.

3 ? 2,
2

3 ) ? f (log

3 ? 1 ) ? f (log
6) ? ( 1 2

2

3 ? log
log
2

2

2 ) ? f (log
? log
2

2
1
2

6) ,
6

? 2 ? log

2

6 ? 3 ,∴ f (log

2

)

6

? 2

6

? 2

log

?

1 6



∴选 C. 例 5(5)已知函数 f ( x ) 的解析式为:
? 3x ? 5 ( x ? 0) ? f ( x ) ? ? x ? 5 ( 0 ? x ? 1) , ? ? 2 x ? 8 ( x ? 1) ?

①画出这个函数的图象; ②求函数 f ( x ) 的最大值. ①解: 如图, 在函数 y ? 3 x ? 5 图象上截取 x ? 0 的部分, 在函数 y ? x ? 5 图象上截取 0 ? x ? 1 的部分,在函数
y ? ? 2 x ? 8 图象上截取 x ? 1 的部分.图中实线组成的图形就

是函数 f ( x ) 的图象. ②解:由函数图象可知,当 x ? 1 时, f ( x ) 的最大值为 6.

5

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6

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1.2 函数及其表示(课堂版)
班级 姓名 学号

例 1.求下列函数的定义域. (1) y ? log 2 ( 2 x ? 1 ) ?
1 x
2

? 4

(2) y ?

tan x ? 1 ? ( x

2

? 2)

0

(3)已知 f ( x ) 的定义域为(-1,2) ,求函数 f ( x ? 1 ) ? f ( x ? 1 ) 的定义域.
2

例 2.函数的表示法 (1) 已知二次函数 f ( x ) ? x ? bx ? c 的图象过点 ( ? 2 , 0 ), ( 3 , 0 ) , b ? 求
2

,c ? .



(2)已知幂函数的图象过点 ( 9 , 3 ) ,则该函数的解析式是 (3)已知指数函数 f ( x ) 的图象过点 ( , 2 ) ,则函数 f ( x ) ? 8 的解集是
2 1

. .

(4) ①已知函数 f ( x ? 1 ) ? x ? 1 , f ( x ) ? 则 ②若 f ( 2 x ? 1 ) ? x ? x ,则 f ( x ) ?
2 2

; f ( 2 x ? 1) ? 0 , x ? 若 则 .

(5) 已知奇函数 f ( x ) 满足 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 log 2 ( x ? 1 ) ,则当 x ? 0 时,函数 f ( x ) 的 解析式是 f ( x ) ? .
2

(6) 已知定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足: x ? 0 时, f ( x ) ? x ? x ,则函数 f ( x ) 的单调递 增区间是 .
1

(7)已知函数 f ( x ) 满足: (1) 2 f ( x ) ? f ( ) ? 3 x ,则 f ( x ) ?
x


2

(8)定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 和偶函数 g ( x ) 满足 f ( x ) ? 2 g ( x ) ? x ? 3 x ,则
f (x) ?

, g (x) ?
7



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例3.分段函数
? ? ? 已知函数 f ( x ) ? ? ? ? ?
a

x ? 2, 2x, x
2

x ? ?1 ?1? x ? 2 , x ? 2

①求 f ? f ? f ( ? ) ? ? 的值; ②若 f ( a ) ? 3 , 求 4 ?? ? ?

?

?

7 ??

2

的值; ③求 f ( x ) 的定义域和值域.

三.走进高考
?x , x ? 1 1. (浙江 2007 年理)设 f ( x ) ? ? , g ( x ) 是二次函数,若 f ( g ( x )) 的值域是 [ 0 , ?? ) , ? x, x ? 1
2

则 g ( x ) 的值域是【

】 D. ?1, ∞ ? ?

A. ? ? ∞ , 1 ? ? ?1, ∞ ? B. ? ? ∞ , 1 ? ? ? 0, ∞ ? C. ? 0, ∞ ? ? ? ? ? ? 电网销售电价表如下: 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 高峰电价 (单位: 元/千瓦时) 0.568 0.598 0.668 ▲

2. (浙江 2009 年理)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 (单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 元(用数字作答) .
1 2

低谷电价 (单位:元/千瓦时) 0.288 0.318 0.388

若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 2 0 0 千瓦时, 低谷时间段用电量为 1 0 0 千瓦时, 则按 这种计费方式该家庭本月应付的电费为
? ?
w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

3. (浙江 2010 年理)设函数的集合 P ? ? f ( x ) ? lo g 2 ( x ? a ) ? b a ? ? 平面上点的集合 Q ? ? ( x , y ) x ? ?
? ? 1 2 , 0, 1

, 0,

1

? ,1; b ? ? 1, 0 ,1 ? , 2 ?

? ,1; y ? ? 1, 0 ,1 ? ,则在同一直角坐标系中,P 中函 2 ?

数 f ( x ) 的图象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是【 .. A.4 B.6
? ? x, x ? 0, ? x , x > 0.
2

】 D.10 】 D.-2 或 2

C.8
若 f ( a ) ? 4 ,则实数 a =【

4. (浙江 2011 年理)设函数 f ( x ) ? ? A.-4 或-2

B.-4 或 2
8

C.-2 或 4

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1.2 函数及其表示(作业版)
班级 姓名 学号

1. 函数 y ? f ( x ) 的图象与直线 x ? a 的交点个数有 A.必有一个 B.一个或两个 C.至多一个 D.可能两个以上

(

)

2. 已知集合 A ? ?x 0 ? x ? 6 ? ,B ? ? y 0 ? y ? 3? , 则下列对应关系 f 中, 不能看成是从集合 A 到集合 B 的映射的是 A. f : x ? y ?
1 2 x

( B. f : x ? y ? D. f : x ? y ?
1 3 1 6 x x



C. f : x ? y ? x

3. 下列各组函数中,为同一函数的一组是 A. f ( x ) ? x 与 g ( x ) ? 2 C. f ( x ) ? 4.函数 y
?
lo g 2 x


?t ? 3 ?3 ? t (t ? 3) (t ? 3)



B. f ( x ) ? 3 ? x 与 g ( t ) ? ?

x ?9
2

x?3
1 2

与 g (x) ? x ? 3 的定义域是 B. (
x
2 3 , ?? )

2 D. f ( x ) ? lo g 3 x 与 g ( x ) ? 2 lo g 3 x

log

(3 x ? 2 )

( C. [
2 3



A. [1, ?? ) 5.若函数 f ( x ) ? A. a ? 0

,1 ]

D. (

2 3

,1 ]

x? a

( a ? R ) 的定义域为 [ 0 , ? ? ) ,则 a 的取值范围为

(

)

B. a ? 0

C. a ? 0

D. a ? 0 ( D. 2 x ? 7 ( ) )

6.设函数 f ( x ) ? 2 x ? 3 , g ( x ? 2 ) ? f ( x ) ,则 g ( x ) = A. 2 x ? 1 B. 2 x ? 1 C. 2 x ? 3

7.一次函数 y ? f ( x ) ,若 x ? [ 0 ,1], A. y ? 2 ( x ? 1) C. y ? 2 x ? 1 或 y ? ? 2 x ? 1

y ? [ ? 1,1] , 则一次函数 y ? f ( x ) 的解析式是

B. y ?

1 2

( x ? 1)

D. y ? ? 2 x ? 1 ( D. [ ? 2 , 2 ) ( D. [ ? 3,6 ] ) )

8.已知 f ( x ) 的定义域为 [ ? 1, 2 ) , f (| x |) 的定义域为 则 A. [ ? 1, 2 ) B. [ ? 1 ,1 ] C. ( ? 2 , 2 )

9. 若函数 y ? f ( 3 x ? 1 ) 的定义域是 [ ? 1, 2 ] , y ? f ( x ) 的定义域是 则 A. [ 0 ,1 ] B. [ ? 1,2 ] C. [ ? 4 ,5 ]

9

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10. 设函数 f ( x ) ? ?
学科网

?

x ,

2

x ? 0 x ? 0

? lg( x ? 1 ),

, f ( x 0 ) ? 1 , x 的取值范围为 若 则 C. ( ?? , 9 ) D. ( ?? , ? 1 ) ? ( 9 , ?? )





A. ( ? 1,1 ) 11.设函数 f ( A.
1? x 1? x 1? x 1? x

B. ( ? 1, ?? )

) ? x ,则 f ( x ) 的表达式为

( C.
1? x 1? x



B.

1? x x ?1

D.

2x x ?1

?2 , 12.已知函数 f ( x ) ? ? ?x ,

x ? [ ? 1,1 ] x ? [ ? 1,1 ]

,若 f ( f ( x )) ? 2 ,则 x 的取值范围是 B. [ ? 1 ,1 ] D. ?2 ? ? [ ? 1,1 ]

(

)

A. ? C. ( ?? , ? 1 ) ? (1, ?? ) 13.函数 f ( x ) ?
1 lg( x ? 2 )
0

? ( x ? 1 ) 的定义域为_____

_____. _____.

14.若

f (

x ? 1) ? x ? 2

x

,则

f ( x ) =_____________

15.已知 f ( x ?

1 x

) ? x ?
2

1 x
2

,则 f ( x ) =__________________(不用写定义域). __.

16. 已知一次函数 f ( x ) 是增函数,且满足 f ( f ( x )) ? 4 x ? 3 ,则 f ( x ) ? __
1 ? , x ? 0, ? log 2 17. 已知函数 f ( x ) ? ? ,则 f ( f ( 2 )) 的值为 x ? 2 ?3 x , x ? 0, ?

.

18. 已知定义在 ( ?? , 0 ) ? ( 0 , ?? ) 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 2 f ( ? x ) ? x ?
2

2 x



则 f ( x ) ? __


?a, ?b, a ? b a ? b

19.对 a , b ? R ,记 min ?a , b ? ? ? 值为___________. 20.确定函数 f ( x ) ? ?
? ? x
2 2

,函数 f ( x ) ? min ?

?1

? x , ? x ? 1 ? 2 ? ( x ? R ) 的最大 ?2 ?

? 2 x,

0 ? x ? 3 ? 4 ? x ? ?1

?? x

? 2 x,

的定义域和值域.

10


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