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江淮名校2015届高三模拟卷(一)数学试题和答案


1

2

3

江淮名校 2015 届高三模拟卷(一)数学试题答案
第Ⅰ卷
4

一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.B 2.B 3.A 4.C 5.B 6.D 7.C 8.D 9. C 10. D

7.C 解析:设切点 P( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 y
'

|x ? x0 ? 2 x0 .由题意有

y0 ? 2 x0 又 y0 ? x02 ?1 x0

解得: x0 ? 1,?
2

b b ? 2, e ? 1 ? ( )2 ? 5 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m a a

8.D 解析:

a, b, c 是单位向量? a ? c ? b ? c ? a b ? (a ? b) c ? c

?

??

?

2

? 1 ? a ? b . c cos ? a ? b, c ?? 1 ? 2 故选 D.
9. C 解析:结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体 的 长 宽 高 分 别 为 m, n, k , 由 题 意 得

m2 ? n2 ? k 2 ? 7 ,
k n m

m2 ? k 2 ? 6 ? n ? 1 1 ? k 2 ? a , 1 ? m2 ? b ,
所以 (a ?1) ? (b ?1) ? 6
2 2

? a 2 ? b2 ? 8 ,∴(a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? 8 ? 2ab ? 8 ? a2 ? b2 ? 16
? a ? b ? 4 当且仅当 a ? b ? 2 时取等号。
10. D 解析:由|f(x)|≤M|x|对 x∈R 恒成立,知? ①中?

?f(x)? ≤M. ?max ? x ?

?f(x)?=?1?∈(0,+∞),故不存在常数 M 使不等式恒成立; ? ? ? ? x ? ?x? ?f(x)?=|x|∈[0,+∞),故不存在常数 M 使不等式恒成立; ②中? ? ? x ? ?f(x)?=|sin x+cos x|= 2?sin (x+π )?≤ 2,故存在 M 使不等式恒成立; ③中? ? ? 4 ? ? x ? ? ? 1 ? ? 4 ?f(x)?=? 2 1 ?=? 1 2 3?≤ , ④中? ? ? ? ? x ? ?x +x+1? ?(x+2) +4? 3 ? ?
故存在 M 使不等式恒成立. 卷Ⅱ(非选择题,共 100 分) 二、填空题(本题共 5 道小题,每题 5 分,共 25 分;将答案直接答在答题卷上指定的位置)

5

11. a=2.6 12.解析 画出可行域,知当直线 y=a 在 x -y+5=0 与 y 轴的交点(0,5)和 x-y+5= 0 与 x=2 的交点(2,7)之间移动时平面区域 是三角形,故 5≤a<7. 答案 [5,7)

13. 解析:选出 1 5 9 的颜色有 3 种,再考虑 4 8 的颜色,48 可 以相同这时有 48 只有两种颜色可选,而 7 则有三种颜色可选,即 2×3=6 种同理,263 的选法也和 478 的选法一样,有 6 种,因此共 有 3x6x6=108 种选法。 14.
r r ?3 2 r r 3r ?3 解析: Tr ?1 ? C3 x x ? C3 x 令 3r ? 3 ? 0, r ? 1, 展开式中

1 4 7

2 5 8
第 13 题

3 6 9

的常数项为 a=3.由 ? 积为

? y ? 3x 2 解得(0,0) (3,9)则直线 y ? ax 与曲线 y ? x 围成图形的面 2 ?y ? x
9 2

?

3 0

(3 x ? x 2 )dx ?

, 2) ; 第 2008 棵 树 种 植 点 的 坐 标 应 为 15. 解 析 : 第 6 棵 树 种 植 点 的 坐 标 应 为 (1
(3, 402)
因 为 .

k ?1 k ? 2 1 ? ? 5 5 5

故 对

k

按 除 以

5

的 余 数 分 类 : 当

k -1 k ?2 ) ?T( ) ? 0 当 k ? 5m ? 1(m ? 1,2,3,?) 5 5 k -1 k ?2 k -1 k ?2 ) ?T( ) ? 1 ,? T ( ) ?T( ) k ? 2, k ? N 的值是以 5 为周期的,依 时T ( 5 5 5 5 5m ? 2 ? k ? 5m ? 5(m ? 0,1,2,?)时T (
次为 0,0, 0, 0, 1,0,0, 0,0,1。 。 。当 5m ? 2 ? k ? 5m ? 5(m ? 0,1,2,?)时 xk ? xk ?1 ? 1

k ? 5m ? 1(m ? 1,2,3,?) 时 , xk ? xk ?1 ? 4 , 当 5m ? 2 ? k ? 5m ? 5(m ? 0,1,2,?)时 ,

yk ? yk ?1,
yk ? yk ?1, ? 1

,



k ? 5m ? 1(m ? 1,2,3,?)



, ,

? x1 ? 1, x2 ? 2, x3 ? 3, x4 ? 4, x5 ? 5, x6 ? 5 ? 4 ? 1

y5 ? y4 ? y3 ? y2 ? y1 ? 1, y6 ? y1 ? 1 ? 2 , 故 第 六 棵 树 的 种 植 点 的 坐 标 为 ( 1,2 )
6

2008=5 ? 401+3, ?xn ? 是以 5 为周期的数列,

x2008 ? x3 ? 3, y2008 ? 401? 1 ? 402

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (本题满分 12 分) 解析: (1)因为 (sin A ? sin B ? sin C )(sin B ? sin C ? sin A) ? 3sin B sin C , 由正弦定理,得 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc , 所以 b2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,所以 cos A ? 因为 A ? (0, ?) ,所以 A ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? , 2bc 2

? . 3 ? 2? 2? ⑵ 由 A ? ,得 B ? C ? ,所以 3sin B ? cos C ? 3sin B ? cos( ? B) 3 3 3 1 3 ? ? 3 sin B ? (? cos B ? sin B) ? sin( B + ) , 2 2 6 2? ? ? ?? 因为 0 ? B ? ,所以 ? B + ? , 3 6 6 6 ? ? ? 当 B + ? ,即 B ? 时, 3sin B ? cos C 的最大值为 1 . 3 6 2
17.(本题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)如下表: 会俄语 男 女 总计 10 6 16 不会俄语 6 8 14 总计 16 14 30

假设:是否会俄语与性别无关.由已知数据可求得

K2 ?

30 ? (10 ? 8 ? 6 ? 6)2 ? 1.1575 ? 2.706 (10 ? 6)(6 ? 8)(10 ? 6)(6 ? 8)

所以在犯错的概率不超过 0.10 的前提下不能判断会俄语与性别有关;
2 1 2 1 C10 C6 ? C6 C10 3 (Ⅱ) P ? ? ; 3 4 C16

(Ⅲ)会俄语的人数 ? 的取值分别为 0,1,2.其概率分别为

P(? ? 0) ?

1 1 2 C82 28 C6 C8 48 C6 15 , ? , P ( ? ? 1) ? ? , P ( ? ? 2) ? ? 2 2 2 C14 91 C14 91 C14 91

所以 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

28 91
7

48 91

15 91

E? ? 0 ?

28 48 15 78 ? 1? ? 2? ? 91 91 91 91

18. (本题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直, ∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD 是二面角 B—AD—F 的平面角, 0 依题意可知,ABCD 是正方形,所以∠BAD=45 . 0 即二面角 B—AD—F 的大小为 45 . (Ⅱ)以 O 为原点,BC、AF、OE 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示) ,则 O (0,0,0) ,A(0, ? 3 2 ,0) ,B( 3 2 ,0,0),D(0, ? 3 2 ,8) ,E(0,0,8) ,F (0, 3 2 ,0) 所以, BD ? (?3 2,?3 2,8), FE ? (0,?3 2,8)

cos ? BD , EF ??

BD ? FE | BD || FE |
a x

?

0 ? 18 ? 64 100 ? 82

?

82 . 10

19.(本小题满分 12 分) 解析: (1)①f′(x)= -2bx, ∵ 函 数 f(x) 在 x = 1 处 与 直 线 y = - 1 相切, 2

a=1, ? f ?(1) ? a ? 2b ? 0 ? ? ? 1 解得? 1 ?? f (1) ? ?b ? ? b= . ? ? ? 2 2 ?
1 2 1 1-x 1 1 ②f(x)=lnx- x ,f′(x)= -x= ,当 ≤x≤e 时,令 f′(x)>0 得 ≤x<1; 2 x x e e ?1 ? 令 f′(x)<0,得 1<x≤e,∴f(x)在? ,1?上单调递增,在[1,e]上单调递减. ?e ? 1 ∴f(x)max=f(1)=- . 2 ? 3? 2 (2)当 b=0 时,f(x)=alnx,不等式 f(x)≥m+x 对所有的 a∈?0, ?,x∈(1,e ]都成立, 2 ? ? 3 ? ? 2 即 alnx≥m+x 对所有的 a∈?0, ?,x∈(1,e ]都成立, ? 2? ? 3? 2 即 m≤alnx-x 对所有的 a∈?0, ?,x∈(1,e ]都成立, ? 2? 2 令 h(a)=alnx-x,则 h(a)为一次函数,m≤h(a)min.∵x∈(1,e ],∴lnx>0. ? 3? ∴h(a)在 a∈?0, ?上单调递增. ? 2? 2 ∴h(a)min=h(0)=-x. ∴m≤-x 对所有的 x∈(1,e ]都成立. 2 2 2 ∵1<x≤e ,∴-e ≤-x<-1, ∴m≤(-x)min=-e . 20.(本小题满分 13 分) 解析: (1)当 x=y=0 时, f (0) ? 0 ;令 x=0,得 f (0) ? f ( y) ? f (? y)即f ( y) ? f (? y) ? 0 ∴对任意的 x ? (?1,1), f ( x) ? f (? x) ? 0 故 f ( x) 在(-1,1)上为奇函数.
8
2

(2)∵ {xn } 满足 x1 ? 1 , xn?1 ? 2 xn . 2 2 1 ? xn

∴ 0 ? xn ? 1.

x ? (? x n ) 2 xn ∵ f ( x n ) ? f (? x n ) ? f [ n ]? f( ), f ( x) 在(-1,1)上为奇函数. 2 1 ? x n (? x n ) 1 ? xn

1 ,? f ( x1 ) ? 1, 从而 f(x n ) ? 2 n ?1 2 1 1? n 1 1 1 1 1 1 2 ? 2? 1 (3) ? ? ?? ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ? 1 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 2 2 2 2 n ?1 1? 2
∴ f ( xn?1 ) ? 2 f ( xn ) ;由 f ( ) ? 1, x1 ? 假设存在自然数 m,使得对于任意 n ? N *,有 即2?

1 2

1 1 1 m ?8 成立. ? ? ?? ? f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 4

1 2
n ?1

?

m?8 恒成立. 4



m?8 ? 2 解得 m ? 16 . 4

21.(本小题满分 14 分)

(本题妙在设直线方程为

y=kx+m,而不是园的方程,由条件得到 m

与 k 的关系,求出园的半径,2009 年山东 22 题)
x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N ( 6 ,1)两点, a 2 b2

解:(1)因为椭圆 E:

2 ?4 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y 2 ?a b ? a2 8 ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 6 1 1 1 8 4 b ? 4 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? a 2 b2 ? b2 4

9

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

? y ? kx ? m ? 得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 , OA ? OB ,设该圆的切线方程为 y ? kx ? m 解方程组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 4 ?8
即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 , 则△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0
2 2

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
2 2

,

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? ? ?m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0 ,所以 3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

? m2 ? 2 8 3m2 ? 8 2 6 2 2 2 ? 0 又 8k ? m ? 4 ? 0 , 所以 ? 2 所以 k ? , 所以 m ? , 即 m ? 或 3 8 3 ? 3m ? 8
2

m??

2 6 , 因 为 直 线 y ? k x? m为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为 3

r?

m 1? k 2

,r ?
2

m2 ? 1? k 2

8 m2 8 2 6 2 2 ? ,r ? ,所求的圆为 x ? y ? ,此时圆的 2 3m ? 8 3 3 3 1? 8

切 线 y ? k x? m 都满足 m?

2 6 2 6 或 m?? ,而当切线的斜率不存在时切线为 3 3

x??

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 ? ?1 的 两 个 交点 为 ( ,? ) 或 (? ,? ) 满足 与椭圆 8 4 3 3 3 3 3
8 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒 3

2 2 O A? O B ,综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ?

有两个交点 A,B,且 OA ? OB .
10

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
所以 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? (?

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) , ) ? 4 ? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2
2 2 2

| AB |? ( x1 ? x2 ) ? ? y1 ? y2 ?
2

2

8(8k 2 ? m2 ? 4) ? (1 ? k )( x1 ? x2 ) ? (1 ? k ) (1 ? 2k 2 ) 2

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? ? ? [1 ? 4 ], 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1 3 4k ? 4k 2 ? 1
①当 k ? 0 时 | AB |?

32 1 [1 ? ] 1 3 2 4k ? 2 ? 4 k

因为 4k ?
2

1 ? 4 ? 8 所以 0 ? k2

1 1 32 32 1 ? ,所以 ? [1 ? ] ? 12 , 1 1 3 3 4k 2 ? 2 ? 4 8 4k 2 ? 2 ? 4 k k

所以

4 2 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 时取”=”. 3 2

② 当 k ? 0 时, | AB |?

4 6 . 3 2 6 2 6 2 6 2 6 ,? ) 或 (? ,? ), 3 3 3 3

③ 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 (

所以此时 | AB |?

4 6 , 3
4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3

综上, |AB |的取值范围为

11


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