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高一年级数学学科参考答案(评分标准7.1)


2015-2016 学年第二学期期末教学质量检测 高一数 学 参考答案

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 题 1 2 3 号 答 C D A 案 4 B 5 A 6 D 7 B 8 C 9 C 10 D 11 A 12 B

二、填空题:本大题共 4

小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 14. 15. 2 16. 50 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分10分) 已知向量a,b满足 a = 3, b = 2 , (1)求 a · b 解:因为 (2)求 a - b .

所以 所以 (2) ……………….5’

………….4’

18.(本小题满分 12 分)

1 已知函数 f ( x ) = 3sin x cos x - sin 2 x + . 2
(1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 的单调递增区间; (3)求 f ( x ) 在 [0, ] 上的最值及取最值时 x 的值. 2 解:(1)

p

f ( x ) = 3sin x cos x - sin 2 x + = =

1 2

3 1 (2sin x cos x ) + (1 - 2sin 2 x )..........1' 2 2 3 1 sin 2 x + cos 2 x 2 2

= sin 2 x cos

p

+ cos 2 x sin ..................2 ' 6 6

p

= sin(2 x + )............................3 ' 6
,所以 f ( x ) 的最小正周期是 p ;…………….4’

p

(2)

所以 f ( x ) 的单调递增区间为:

;……………….8’

(3) f ( x ) 在 [0, ] 上的最值及取最值时 x 的值. 2

p

故当

,即

时, f ( x ) 有最大值,最大值为 1;………………11’

故当

,即

时, f ( x ) 有最小值,最小值为

;…………….12’

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 an 的前 n 项和为 S n ,且 Sn = n2 + n , (1)求数列 an 的通项公式; (2)令 bn = 3an ,求证:数列 bn 是等比数列; 解: (1)当 当 时, 时, ;………………..2’

{ }

{ }

{ }

综上所述,数列 an 的通项公式为 (2)由(1)得 当 当 时, 时, ……………..7’ ,………………8’

{ }

…………….6’

(常数)……………..10’

所以数列 bn 是以 9 为首项,9 为公比的等比数列。……………….12’ 20.(本小题满分 12 分) 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两种产品的市场需求量非常大,有 多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量,以使得总利 润达到最大。已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力,通过调查,得到关于这两种产品的 有关数据如下表: 资金 单位产品所需资金(百元) 月资金供应量(百 元) 空调机 洗衣机 成本 30 20 300 劳动力(工资) 5 10 110 单位利润 6 8 试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少? 解:设供应空调机 x 台,洗衣机 y 台,由题意得……………1’

{ }

利润

…………….5’

作出上述不等式组的可行域,如图………….8’ ………………10’ 则当 x=4,y=9 时,z 最大,且此时 z=96(百元)……………11’ 答:空调机 4 台,洗衣机 9 台,可获最大利润 9600 元。…………12’

21.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 a = 2, c = 2,cos A = (1)求 sin C 和 b的值; (2)求 cos ? 2 A +

2 。 4

? è

p?
3÷ ?

的值.

解: (1)在△ABC 中,
a c ? sin A sin C

………1’




2? 2 14 4 ?

c sin A sin C ? ? a

7 ………3’ 4

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A
? 22 ? b2 ? ? 2? ? ? 2b ? 2 ? ? ? ? 4 ? ? ? ………5’ ……………6’
2

? 2?

解得

(2) cos ? 2 A + ÷ = cos 2 A cos - sin 2 A sin 3? 3 3 è

?

p?

p

p

1 3 = cos2 A sin 2 A.................7 ' 2 2


? p ? 1 ? 3? 3 ? 7? 所以, cos ? 2 A + ÷ = i? - ÷ i? ................11' 3 ? 2 è 4? 2 è 4 ÷ è ?

=

-3 + 21 .............12 ' 8

22.(本小题满分 12 分) 已 知 正 数 数 列 an 的 前 n 项 和 为 S n , 点 P an , Sn 在 函 数 f ( x ) =

{ }

(

)

1 2 1 x + x 上 , 已 知 b1 = 1 , 2 2

3bn - 2bn-1 = 0 n ? 2, n ? N * ,
(1)求数列 an 的通项公式; (2)若 cn = anbn ,求数列 cn 的前 n 项和 Tn ; (3)是否存在整数 m, M ,使得 m < Tn < M 对任意正整数 n 恒成立,且 M - m = 9 ,说明理由。 解.(1) ∵点 P(an , S n ) 在函数 f ( x) ? ∴ Sn ?
1 2 1 x ? x上 2 2

(

)

{ }

{ }

1 2 1 a n ? a n ……………………………………………………………1’ 2 2 1 2 1 a n ?1 , (n ? 2, n ? N * ) ∴ S n ?1 ? a n ?1 ? 2 2 1 2 1 1 2 1 ? an ? an a n ?1 ∴ S n ? S n ?1 ? a n ? a n ?1 ? 2 2 2 2
2 2 ∴ (an ? an ?1 ) ? (an ? an?1 ) ? 0 ,

∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 1) ? 0 ……………………………………………………2’ ∵ an ? 0 ∴ an ? an?1 ? 1 ? 0 , 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 即 an ? an?1 ? 1
1 2 1 a1 ? a1 2 2

∴ a1 ? 1 ………………………………………………………………………………3’ ∴数列 ?an ? 是以 1 为首项和公差的等差数列 ∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? n ……………………………………………………………4’ (2)∵ 3bn ? 2bn?1 ? 0, (n ? 2, n ? N * ) ∴

bn 2 ? bn ?1 3
2 为公比的等比数列…………………………5’ 3

∴数列 ?bn ? 是以 b1 ? 1 为首项, ∴ bn ? b1q
n ?1

? 2? ?? ? ? 3?

n ?1

?2? ∴ cn ? an bn ? n ? ? ? ?3?
1

n ?1

……………………………………………………………6’
2 3 n ?2

? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ∴ Tn ? 1 ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? 2 ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? Tn ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
∴由(Ⅰ)-(Ⅱ)得
1 ?2? ?2? ?2? ?2? Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?3? ?3? ?3? ?3? ?2? 1? ? ? n ? 3? ? n?? 2? ? ? ? 2 ?3? 1? 3 ?2? ? 3 ? (3 ? n) ? ? ? ?3?
n n 1 2 3 n?2

? 2? ? n?? ? ? 3?
n

n ?1

(Ⅰ)

1

2

3

n ?1

? 2? ? n?? ? ? 3?

(Ⅱ)

………………………………………………7’
?2? ?? ? ?3?
n ?1

?2? ? n?? ? ?3?

n

? 2? ∴ Tn ? 9 ? (9 ? 3n) ? ? ? …………………………………………………………9’ ? 3?
(3)假设存在整数 m, M ,使得 m ? Tn ? M 对任意正整数 n 恒成立,且满足

n

? 2? 由(2)知, Tn ? 9 ? (9 ? 3n) ? ? ? ? 9 ? 3?
又 Tn?1

n

? 2? ? 9 ? [9 ? 3(n ? 1)] ? ? ? ? 3?
n ?1

n ?1

? 2? ∴ Tn ? Tn?1 ? (6 ? 3n) ? ? ? ? 3?

? 2? ?2? ? (9 ? 3n) ? ? ? ? n ? ? ? ? 3? ?3?

n

n ?1

? 0 ……………10’

∴数列 ? Tn ?是单调递增数列 ∴ ?Tn ?min ? T1 ? 9 ? 12 ? ∴ ∴ , ………………………………………………………11’ …………………12’
2 ?1 3

∴存在整数 m, M ,使得 m ? Tn ? M 对任意正整数 n 恒成立,且满足


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