当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

全国13年高中数学联赛分类汇编 专题01 不等式


不等式
1、 (2001 一试 6)已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24,而 4 枝攻瑰与 5 枝康乃馨 的价格之和小于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较,结果是( ) . A.2 枝玫瑰价格高 B.3 枝康乃馨价格高 C.价格相同 D.不确定 【答案】A

4 9 2、 (2003 一试 5)已知 x,y 都

在区间(-2,2)内,且 xy=-1,则函数 u= 2+ 2的最小 4-x 9-y 值是( (A) 8 5 ) (B) 24 11 (C) 12 7 (D) 12 5

【答案】D

1 3 3、 (2004 一试 3)不等式 log2x-1+ log1x +2>0 的解集为( 2 2



-1-

A.[2,3)
【答案】C

B.(2,3]

C.[2,4)

D.(2,4]

3 【解析】令 log2x=t≥1 时, t-1> t-2.t∈[1,2),?x∈[2,4),选 C. 2 4、 (2005 一试 1)使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是( A. 6 ? 3 【答案】D B. 3 C. 6 ? 3 D. 6 )

5、 (2006 一试 2)设 log x (2 x ? x ? 1) ? log x 2 ? 1 ,则 x 的取值范围为(
2



A.

1 ? x ?1 2

B. x ?

1 ,且 x ? 1 2

C. x ? 1

D. 0 ? x ? 1

【答案】B

6、 (2007 一试 2)设实数 a 使得不等式|2x? a|+|3x? 2a|≥a 对任意实数 x 恒成立,则满足条 件的 a 所组成的集合是( ) A. [? , ] 【答案】A

2

1 1 3 3

B. [?

1 1 , ] 2 2

C. [?

1 1 , ] 4 3

D. [? 3,3]

1 2 a ,则有 | a |? ,排除 B、D。由对称性排除 C,从而只有 A 正确。 3 3 3 4 1 2 一般地,对 k∈R,令 x ? ka ,则原不等式为 | a | ? | k ? 1 | ? | a | ? | k ? |?| a | ,由此易知 2 2 3 3 4 原 不 等 式 等 价 于 | a |?| k ? 1 | ? | k ? | , 对 任 意 的 k ∈ R 成 立 。 由 于 2 3
【解析】令 x ?

-2-

4 ?5 k? ?2 k ? 3 3 3 4 ? 1 4 ? | k ? 1 | ? | k ? |? ?1 ? k 1 ? k ? , 2 3 ? 2 3 5 ?3 ? k k ?1 ? 2 ? 3 4 1 1 所以 min{| k ? 1 | ? | k ? |} ? ,从而上述不等式等价于 | a |? 。 k?R 2 3 3 3

7、 (2001 一试 10)不等式

1 3 ? 2 ? 的解集为 log 1 x 2
2



9、 (2009 一试 3)在坐标平面上有两个区域 M 和 N , M 为 ?y≥0 ? , N 是随 t 变化的区域,它由不等式 t ≤ x ≤ t ? 1 所 ?y≤ x ?y≤2 ? x ? 确定, t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 1 ,则 M 和 N 的公共面积是函数 f ?t ? ? .
1 【答案】 ?t ? t ? 2 【解析】由题意知
2

y

A C D F E B x

f ? t ? ? S阴影部分面积
? ?t 2 ? t ? 1 2

? S?AOB ? S?OCD ? S?BEF

1 1 2 ? 1 ? t 2 ? ?1 ? t ? 2 2

O

10、 (2009 一试 4) 使不等式 正整数 a 的值为 【答案】2009 【 解 析 】 设 f ?n? ? .

1 1 1 1 ? ?? ? ? a ? 2007 对一切正整数 n 都成立的最小 n ?1 n ? 2 2n ? 1 3

1 1 1 . 显 然 f ?n? 单 调 递 减 , 则 由 f ?n? 的 最 大 值 ? ?? ? n ?1 n ? 2 2n ? 1

-3-

1 f ?1? ? a ? 2007 ,可得 a ? 2009 . 3

11 、( 2011 一 试 3 ) 设 a, b 为 正 实 数 ,
log a b ?

1 1 ? ? 2 2 , (a ? b) 2 ? 4(ab) 3 , 则 a b



12、 (2012一试3)设 x, y, z ? [0,1] ,则 M ? | x ? y | ? | y ? z | ? | z ? x | 的最大值 是 .

13、 (2001 一试 15)用电阻值分别为 a1、a2、a3、a4、a5、a6、 1>a2>a3>a4>a5>a6)的电阻组装 (a 成一个如图的组件,在组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论。

-4-

3.设 4 个电阻的组件(如图 2)的总电阻为 RCD

若 记 S1 ?

1?i ? j ? 4

?R R
i

j

,

S2 ?

i 1?i ? j ? k ? 4

?R R R
j

k

, 则 S1 、 S2 为 定 值 , 于 是

RCD ?

S 2 ? R1 R2 R3 S1 ? R3 R4

只有当 R3R4 最小,R1R2R3 最大时,RCD 最小,故应取 R4<R3,R3<R2,R3<Rl,即得总电阻的 阻值最小 4°对于图 3 把由 R1、R2、R3 组成的组件用等效电阻 RAB 代替.要使 RFG 最小,由 3°必需使 R6<R5;且由 1°应使 RCE 最小.由 2°知要使 RCE 最小,必需使 R5<R4,且应使 RCD 最小. 而由 3°,要使 RCD 最小,应使 R4<R3<R2 且 R4<R3<R1, 这就说明,要证结论成立

-5-

3 14、 (2003 一试 13)设 ≤x≤5,证明不等式 2 x+1+ 2x-3+ 15-3x<2 19. 2

15、 (2003 二试 3)由 n 个点和这些点之间的 l 条连线段组成一个空间图形,其中 n=q +q+1,

2

l≥ q(q+1)2+1,q≥2,q∈N.已知此图中任四点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点
至少有 q+2 条连线段.证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点 A、B、C、D 和四条连线 段 AB、BC、CD、DA 组成的图形). 【解析】证明:设点集为 V={A0,A1,…,An-1},与 Ai 连线的点集为 Bi,且|Bi|=bi.于是 1 ≤bi≤n-1.又显然有

1 2

n-1 i=0

∑ bi=2l≥q(q+1) +2.

2

若存在一点与其余点都连线,不妨设 b0=n-1. 则 B0 中 n-1 个点的连线数

l-b0≥ q(q+1)2+1-(n-1) (注意:q(q+1)=q2+q=n-1)
1 1 = (q+1)(n-1)-(n-1)+1= (q-1)(n-1)+1 2 2 1 1 ≥ (n-1)+1≥[ (n-1)]+1.(由 q≥2) 2 2 但若在这 n-1 个点内, 没有任一点同时与其余两点连线, 则这 n-1 个点内至多连线[

1 2

n-1
2

]

条,故在 B0 中存在一点 Ai,它与两点 Aj、Ak(i、j、k 互不相等,且 1≤i,j,k)连了线,于 是 A0、Aj、Ai、Ak 连成四边形. 现设任一点连的线数≤n-2.且设 b0=q+2≤n-2.且设图中没有四边形.于是当 i≠j - 时,Bi 与 Bj 没有公共的点对,即|Bi∩Bj|≤1(0≤i,j≤n-1).记 B0 =V\B0,则由|Bi∩B0|≤1,

-6-

- - - 得|Bi∩ B0 |≥bi-1(i=1,2,…,n-1),且当 1≤i,j≤n-1 且 i≠j 时,Bi∩ B0 与 Bj∩ B0 无 公共点对.从而

(n-1)(n-b0)(n-b0-1)≥(nq-q+2-b0)(nq-q-n+3-b0).(n-1≥q(q+1)代入) 得 q(q+1)( n-b0)(n-b0-1)≥(nq-q+2-b0)(nq-q-n+3-b0).(各取一部分因数比 较) ① 但(nq - q - n+3- b0)- q(n - b0 -1)=(q -1)b0 - n+3(b0 ≥ q+2)≥(q -1)(q+2)- n+3= 2 q +q+1-n=0.② (nq - q+2 - b0) - (q+1)(n - b0) = qb0 - q - n+2 ≥ q(q+1) - n+2 = 1 > 0. ③ 又(nq-q-n+3-b0)、(nq-q+2-b0)、q(n-b0-1)、 (q+1)(n-b0)均为正整数, 从 而 由 ② 、 ③ 得 , q(q+1)(n - b0)(n - b0 - 1) < (nq - q+2 - b0)(nq - q - n+3 - b0). ④ 由①、④矛盾,知原命题成立. 又证:画一个 n×n 表格,记题中 n 个点为 A1,A2,…,An,若 Ai 与 Aj 连了线,则将表格 中第 i 行 j 列的方格中心涂红.于是表中共有 2l 个红点,当 d(Ai)=m 时,则表格中的 i 行及 i 列各有 m 个红点.且表格的主对角线上的方格中心都没有涂红. 由已知,表格中必有一行有 q+2 个红点.不妨设最后一行前 q+2 格为红点.其余格则 不为红点(若有红点则更易证),于是:问题转化为:证明存在四个红点是一个边平行于格线 的矩形顶点. 若否,则表格中任何四个红点其中心都不是一个边平行于格线的矩形顶点.于是,前 n -1 行的前 q+2 个方格中,每行至多有 1 个红点.去掉表格的第 n 行及前 q+2 列,则至多去 2 2 掉 q+2+(n-1)=q+2+q +q=(q+1) +1 个红点.于是在余下(n-1)×(n-q-2)方格表 中,至少有 2 2 2 2 3 2 2l-(q+1) -1=q(q+1) +2-(q+1) -1=(q-1)(q+1) +1=q +q -q 个红点. 设此表格中第 i 行有 mi(i=1,2,…,n-1)个红点,于是,同行的红点点对数的总和=

-7-

n-1

2 2 2 ∑ C 2 i .其中 n -1= q + q .(由于当 n > k 时,C 2 +C 2 <C n+1 +C k-1 ,故当红点总数 m n k i=1

16、 (2008 一试 14)解不等式 log 2 ( x12 ? 3 x10 ? 5 x8 ? 3 x 6 ? 1) ? 1 ? log 2 ( x 4 ? 1) . 【解析】方法一:由 1 ? log 2 ( x 4 ? 1) ? log 2 (2 x 4 ? 2) ,且 log 2 y 在 (0, ??) 上为增函数,故原不等 式等价于

x12 ? 3x10 ? 5 x8 ? 3x 6 ? 1 ? 2 x 4 ? 2 .
即 分组分解

x12 ? 3x10 ? 5 x8 ? 3x 6 ? 2 x 4 ? 1 ? 0 .
x12 ? x10 ? x8

?2 x10 ? 2 x8 ? 2 x 6 ?4 x8 ? 4 x 6 ? 4 x 4 ? x6 ? x4 ? x2
? x4 ? x2 ? 1 ? 0 ,

( x8 ? 2 x 6 ? 4 x 4 ? x 2 ? 1)( x 4 ? x 2 ? 1) ? 0 ,
所 以 x4 ? x2 ?1 ? 0 , ( x ?
2

?1 ? 5 2 ?1 ? 5 )( x ? ) ? 0 。 所 以 x 2 ? ?1 ? 5 , 即 2 2 2
5 ?1 , 2 5 ?1 ). 2

?

?1 ? 5 ?1 ? 5 .故原不等式解集为 (? ?x? 2 2

方法二: 由 1 ? log 2 ( x 4 ? 1) ? log 2 (2 x 4 ? 2) ,且 log 2 y 在 (0, ??) 上为增函数,故原不等式等

-8-

17、 (2009 一试 11)求函数 y ? x ? 27 ? 13 ? x ? x 的最大和最小值. 【解析】函数的定义域为 ? 0 , ? .因为 13
y ? x ? x ? 27 ? 13 ? x ? x ? 27 ? 13 ? 2 x ?13 ? x ? ≥ 27 ? 13 ? 3 3 ? 13

当 x ? 0 时等号成立.故 y 的最小值为 3 3 ? 13 . 又由柯西不等式得 2 1? ?1 ≤ ? ? 1 ? ? ? 2 x ? ? x ? 27 ? ? 3 ?13 ? x ? ? ? 121 y 2 ? x ? x ? 27 ? 13 ? x 3? ?2 所以 y ≤ 11 .

?

?

由柯西不等式等号成立的条件, 4 x ? 9 ?13 ? x ? ? x ? 27 , 得 解得 x ? 9 . 故当 x ? 9 时等号成立. 因 此 y 的最大值为 11 .

1 ? n k ? 18、 (2009 二试 2)求证不等式: ?1 ? ? ? 2 ? ln n ≤ , n ? 1 ,2,… k ?1? 2 ? k ?1 ? 【解析】证明:首先证明一个不等式: x ⑴ ? ln(1 ? x) ? x , x ? 0 . 1? x x 事实上,令 h( x) ? x ? ln(1 ? x) , g ( x) ? ln(1 ? x) ? . 1? x 1 1 x 1 ? ? ?0. 则对 x ? 0 , h?( x) ? 1 ? ? 0 , g ?( x) ? 1 ? x (1 ? x) 2 (1 ? x) 2 1? x 1 于是 h( x) ? h(0) ? 0 , g ( x) ? g (0) ? 0 .在⑴中取 x ? 得 n 1 ? 1? 1 ⑵ ? ln ?1 ? ? ? . n ?1 n? n ?

-9-

19、 (2012 二试 3)设 P0 , P , P2 ,? , Pn 是平面上 n ? 1 个点,它们两两间的距离的最小值为 1

d (d ? 0)
求证: P0 P ? P0 P2 ?? P0 Pn ? ( ) n (n ? 1)! 1

d 3

d 3 证法二: 不妨设 P0 P ? P0 P2 ? ? ? P0 Pn . 1
因而 P0 P ? P0 P2 ?? P0 Pn ? ( ) n (n ? 1)! 1 以 P (i ? 0,1, 2,? , k ) 为圆心, i

d 为半径画 k ? 1 个圆,它们两两相离或外切, 2 d 1 3 ? P0 Pk ? P0 Pk ? P0 Pk 2 2 2
- 10 -

设 Q 是是圆 P 上任意一点,由于 i

P0Q ? P0 Pi ? PQ ? P0 Pi ? i

3 P0 Pk 为半径的圆覆盖上述个圆 2 3 d d 故 ? ( P0 Pk ) 2 ? (k ? 1)? ( ) 2 ? P0 Pk ? k ? 1(k ? 1, 2,? , n) 2 2 3 d 所以 P0 P ? P0 P2 ?? P0 Pn ? ( ) n (n ? 1)! 1 3
因而,以 P0 为圆心,

- 11 -


相关文章:
全国13年高中数学联赛分类汇编 专题01 不等式
全国13年高中数学联赛分类汇编 专题01 不等式_学科竞赛_高中教育_教育专区。今日推荐 78份文档 百度图片明星相册 星光上线 如何让百度搜到你的图片 百度图片收录技巧...
全国13年高中数学联赛分类汇编 专题04 概率统计
全国13年高中数学联赛分类汇编 专题04 概率统计_学科竞赛_高中教育_教育专区。概率...则使不等式 a?2b+10>0 成立的事件发生的概率等于( ) A. 52 81 B. 59 ...
高中数学联赛真题分类汇编—不等式
ay ? c. 不等式13 页共 24 页 高中数学联赛 真题分类汇编 于洪伟 求函数 f ( x, y, z ) ? x2 y2 z2 的最小值. ? ? 1? x 1? y 1?...
全国13年高中数学联赛分类汇编 专题02 初等数论
百度文库 教育专区 高中教育 学科竞赛专题推荐 全国13年高中数学联赛分... 全国...r b3 ? ? ? 去掉上面等式两边相同的项,有 2 , 5 r s1 ? r s2 ? r...
全国13年高中数学联赛分类汇编 专题03 导数
全国13年高中数学联赛分类汇编 专题03 导数 隐藏>> 导数1、 (2004 一试 7)...由于等号不能同时成立,故得证. 4 2 2 g(tanu1) g(tanu2) g(tanu3) ...
全国高中数学竞赛专题-不等式
全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归,而变形的依据是不等式的性质,不等 式的性质分类罗列如下: 不等式...
2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题08 立体几何
2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题08 立体几何_学科竞赛_高中教育_教育专区。《2000-2012全国高中数学联赛分类汇编》包含13讲。每一讲按照选择题、填空题和...
2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题05 集合函数
2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题05 集合函数...[a, a ? 2] ,不等式 f ( x ? a) ? 2 ...2. 故 a 的取值范围是 [ 2, ??). 1 13 27...
2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题11 三角函数
2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题11 三角函数...《2000-2012全国高中数学联赛分类汇编》包含13讲。每...(2002 一试 12)使不等式 sin x+acosx+a ≥1+...
更多相关标签:
高考不等式专题 | 不等式高考题汇编 | 高考数学不等式专题 | 不等式专题 | 不等式专题训练 | 高中数学不等式专题 | 柯西不等式应用汇编 | 柯西不等式专题 |