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物理竞赛2静力学


第二部分:静力学
一、复习基础知识点 一、 考点内容 1.力是物体间的相互作用,是物体发生形变和物体运动状态变化的原因。 2.重力是物体在地球表面附近所受到的地球对它的引力,重心。 3.形变与弹力,胡克定律。 4.静摩擦,最大静摩擦力。 5.滑动摩擦,滑动摩擦定律。 6.力是矢量,力的合成与分解。 7.平衡,共点力作用下物体的平衡。 二、 知识结构

>?力的定义 — —物体间的相互作用 ? ? ? ? ? 施力物体? ? ? ?物质性 ? 物体间作用? ? ? 受力物体? ? ? ? ? ? ?力的属性? ? ? ? ? 物体? ? 施力物体同时定是受力 ? ? ? ? ? ? ?相互性 ? ? 受力物体同时定是施力 物体 ? ? ? ? ? ? ? ? 力 ? 接触的力:弹力、摩擦 ? 产生条件、大小、方向 ? ? ? ? ?性质 ? ? ? 不接触的力:重力、分 ? ? ? 子力、电场力、磁场力 ? ? ? ? ? ? ?力的种类? 回复力、浮力、压力、 支持力等?? ? 动力、阻力:向心力、 ? ?? ? ? 效果 ? ? 平衡力 ? 效果相同 ?? ? ? ? ?? ? ? 力? ? 作用力与反作用力? 效果各异 ?? ? ? ? 物体产生加速度) ?改变物体运动状态(使 ?力的效果? ? ? ? ?使物体产生形变 ? ? 式法 ?力的合成 ? 图解法(几何法)、公 ? ? ?力的等效性?力的分解 ? 图解法(几何法) 实效原则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1、重力 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 顺序 ? ?2、弹力 ? ? ? ? ? ? ?原则? ?3、摩擦力 ? ....... ? ? ? ?受力分析? ? ? ? ? ? ? 产生条件 ? ? ? ? ? ? ?方法:整体法和隔离法 ? ? 的灵活使用 ? ? ?
三、 复习思路 在复习力的概念时,同学们应注重回顾学过的各种具体的力,包括电磁学中的各种力,也 可以联系牛顿第三定律展开研究力的相互性。对于重力,在复习时可以联系万有引力定律, 分清为什么“重力是由于地球的吸引而产生的力” 。且通过分析物体随地球自转需向心力, 最终认识重力与万有引力之间的差异很小,一般可认为 m g ?

GMm R地
2

。摩擦力是本单元的

重点,也是难点,要结合具体的例子,对摩擦力的大小和方向,摩擦力的有无的讨论以及物 体在水平面、 斜面上、 竖直墙上等的滑动摩擦力与弹力的关系等, 要分门别类地进行讨论、 研究。
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四、 基础知识 (一)力的处理 1、矢量的运算 (1)加法 表达: a + b = c 。名词: c 为“和矢量”。 法则:平行四边形法则。如图 1 所示。 和矢量大小:c =

?

?

?

?

? ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos? ,其中 α 为 a 和 b 的夹角。 b sin ? ? ? ? ? 和矢量方向: c 在 a 、 b 之间,和 a 夹角 sinβ= a 2 ? b 2 ? 2ab cos? ? ? ? (2)减法:表达: a = c - b 。 ? ? ? 名词: c 为“被减数矢量”, b 为“减数矢量”, a 为“差矢量”。
法则:三角形法则。如图 2 所示。将被减数矢量和减数矢量 的起始端平移到一点,然后连接两时量末端,指向被减数时量的 时量,即是差矢量。 差矢量大小:a = 夹角。

? ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos? ,其中 θ 为 c 和 b 的

差矢量的方向可以用正弦定理求得。 一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。 (二) 、共点力的合成 1、平行四边形法则与矢量表达式 2、一般平行四边形的合力与分力的求法: 余弦定理(或分割成 RtΔ)解合力的大小;正弦定理解方向 (三) 、力的分解 1、按效果分解 二、物体的平衡 (一)共点力平衡 1、特征:质心无加速度。 2、条件:Σ F = 0 ,或 ?Fx = 0 , ?Fy = 0 例题:如图 5 所示,长为 L 、粗细不均匀的横杆被两 根轻绳水平悬挂,绳子与水平方向的夹角在图上已标示,求横杆的重心位置。 解说:直接用三力共点的知识解题,几何关系比较简单。 答案:距棒的左端 L/4 处。 (学生活动)思考:放在斜面上的均质长方体,按实际情况分析受力, 斜面的支持力会通过长方体的重心吗? 解:将各处的支持力归纳成一个 N ,则长方体受三个力(G 、f 、N) 必共点,由此推知,N 不可能通过长方体的重心。正确受力情形如图 6 所示(通常的受力图是将受力物体看成一个点,这时,N 就过重心了) 。 答:不会。
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2、按需要——正交分解

?

(二)转动平衡 1、特征:物体无转动加速度。 3、非共点力的合成 大小和方向:遵从一条直线矢量合成法则。

2、条件:Σ M = 0 ,或 ΣM+ =ΣM-

?

如果物体静止,肯定会同时满足两种平衡,因此用两种思路均可解题。

作用点:先假定一个等效作用点,然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。 五、 基础习题回顾 1. (2003 年高考理综(新课程卷) )如右上图所示,一个半球形的碗放在桌面上,碗口水 平,O 点为其球心,碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上,线的两端分别系有 质量为 m1 和 m2 的小球, 当它们处于平衡状态时, 质量为 m1 的小球与 O 点的连线与水平线 的夹角为 a =60 。两小球的质量之比 A、
0

m2 为: m1
D、

3 3

B、

2 3

C、

3 2

2 2

2. (2005 年广州二摸大综合)一块砖放在水平地面的木板上,现缓 慢抬起木板的一端,使木板绕另一端缓缓转动,在砖与木板间发生相 对滑动前,关于砖受到的摩擦力 F,以下叙述中正确的是: A.F 随木板倾角的增大而减小 B.F 随木板倾角的增大而增大 C.F 的大小不随木板倾角的增大而改变 D.无法判断 F 大小的变化 3.如图所示,质量为 m 的物体用一通过定滑轮的轻绳栓住,在大小为 F 的拉力作用下 匀速运动,物体与竖直墙接触且轻绳平行于墙壁,则物体与墙壁之间的摩擦力为: .. A、大小为 mg ,方向向上 B、大小为 F- mg ,方向向上 C、大小为∣F- mg ∣,方向向上 D、零 4.如图,将质量为 m 的物体置于固定的光滑斜面上,斜面倾角为 ? , 水平力 F 作用在 m 上,物体 m 处于静止状态,关于 m 对斜面的压力
2 2 i n 大小表示有以下四式: m g / cos? ; F / s ? ; ① ② ③ ( mg ) ? F ;

④ mgcos? ? F sin ? 。则以下判断正确的是: A、只有④正确 B、只有③和④正确 C、只有①与②正确 D、①②③④正确 5.在研究弹簧的形变与外力的关系的实验中,将弹簧水平放置 测出其自然长度,然后竖直悬挂让其自然下垂,在其下端竖直向下 施加外力 F, 实验过程是在弹簧的弹性限度内进行的。 用记录的外力 F 与弹簧的形变量 x 作出的 F—x 图线如图所示,由图可知弹簧的劲 度系数为 。图线不过坐标原点的原因是由 于 。 6.机械设计中常用到下面的力学原理,如右图,只要使连杆 AB 与滑块 m 在平面间的夹角 ? 大于某个值,那么,无论连杆 AB 对滑块施加多大的作用力,都不可能使之滑动,并且连杆 AB 对滑 块施加的作用力越大,滑块就越稳定,工程力学上称这为“自锁” 现象。为使滑块能“自锁” ? 应满足什么条件?(设滑块与所在平 面间的动摩擦因数为 ? )
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7. (2004 年全国春招)图中 a、b 是两个位于固定斜面上的正方形物块,它们的质量 相等。F 是沿水平方向作用于 a 上的外力。已知 a、b 的接触面,a、b 与斜面的接触面都 是光滑的。正确的说法是: A.a、b 一定沿斜面向上运动 B.a 对 b 的作用力沿水平方向 C.a、b 对斜面的正压力相等 D. a 受到的合力沿水平方向的分力等于 b 受到的合力沿水平方向的分力 8.如图所示,某人在岸边用绳牵引小船匀速靠岸的过程,若水对船的阻力不变,则 下列说法正确的是: A、绳子拉力不断减小 B、绳子拉力始终不变 C、船受到的浮力不断减小 D、船受到的合力不断减小 9.如下图所示,OC 为一遵循胡克定律的轻绳,其一端固定于天花板 上的 O 点,另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块 A 相连, 当绳处于竖直位置时滑块 A 对地面有压力作用,B 为紧挨绳的一 光滑水平小钉,它到天花板的距离 BO 等于弹性绳的自然长度, 现用一水平力 F 作用于 A, 使之向右做直线运动,在运动过程中, 作用于滑块 A 的滑动摩擦力(绳一直处于弹性限度以内)将: A、逐渐增大 B、逐渐减小 C、保持不变 D、条件不足,无法判断 10.如图所示,一质量为 M 的楔形木块放在水平桌面上,它的顶角为 90°,两底角为α 和β ;a、b 为两个位于斜面上质量均为 m 的小木块。已知所有接触面都是光滑的。现发 现 a、b 沿斜面下滑,而楔形木块静止不动,这时楔形木块对水平桌面的压力等于:
a

A.Mg+mg

B.Mg+2mg
M

b

C.Mg+mg(xinα +xinβ )

D.Mg+mg(coxα +coxβ )

α

β

11.跳伞运动员打开伞后经过一段时间,将在空中保持匀速降落,已知 运动员和他身上装备的总重量为 G1,圆顶形降落伞伞面的重量为 G2,有 12 条相同的拉线(拉线重量不计),均匀分布在伞面边缘上,每根拉线和竖 直方向都成 30°角。则每根拉线上的张力大小为:

A、

3G1 18

B、

3 (G1 ? G2 ) 18

C、

G1 ? G 2 12

D、

G1 6

12.设在某次人工降雨中,有一质量恒为 m 的雨滴从高空由静止开始竖直下落,雨滴下 落过程中受到的空气阻力大小与下落速度大小成正比,即 F=kv,其中是为比例系数,则 雨滴在刚开始下落的一小段时间内做加速度______、速度_______的直线运动(以上两空选 填“增大”“减小”或“不变”)。雨滴最终做匀速直线运动的速度表达式为 vm = 、

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二、从高考到初赛知识要点分析 一、力的效应 1.内、外效应: 力的作用效果有两种:一是受力物发生形变;二是使受力物的运动状态发生变化。前 者表现为受力物各部分的相对位置发生变化,故称为力的内效应;后者表现为受力物的运 动方向或快慢发生变化,故称为力的外效应。 众所周知,当物体同时受到两个或多个力作用时,它的运动状态也可能保持不变,这 说明力对同一物体的外效应可能相互抵消。 2.合力与分力 合力与它的那组分力之间,在力学效果上必须具有“等效代换”的关系。 二、力的作用方式 力是物体间的一种相互作用,又是一并具有大小、方向和作用点的一种矢量。根据研 究和解决实际问题的需要,可以从不同的角度对力进行区分。 1.体力、面力和点力 按照力的作用点在受力物上的分布情况,可将力可将力分为体力、面力和点力三种。 外力的作用点连续分布在物体表面和内部的一定(或全部)区域,这种力就是体力。 重力就是一种广泛存在的体力。 作用点连续分布在物体某一面(或全部表面)上,这种力就是面力。压力和摩擦力就 是一种广泛存在的面力。 当面力和体力作用的区域远比受力物小,或可以不考虑作用点的分布情况时,就可以把 相应的体力或面力当成是集中在物体的某一点上作用的,这种情况下的体力和面力就叫做 点力。例如,在通常情况下,我们就是把重力、摩擦力和压力当成点力看待。具体而言,常用 物体各部分所受重力的合力来代替该物体受到的总重力;用摩擦面上各部分所受摩擦力之 合力来代替这个面上的总摩擦力;对压力也是按照这种方式处理的。当不涉及转动的时候, 我们甚至把面力的合力作用点标出在物体的重心上,这就使问题的解决更加便当。但若涉 及到物体的转动,就绝对不能把体力和面力 (如磁力) 的作用点随便地集中到物体的重心上。 点力只是在一定条件下对体力和面力的一种适当的简化而已,对此切勿掉以轻心。 2.内力和外力 按照施力物与被研究物体的所属关系,又常将力分为内力和外力两大类 若被研究对象是某一物体,则该物体内部各部分间的作用力叫内力;若被研究对象是 两个或多个物体组成的系统,则系统内部各物体间的作用力都叫该系统的内力。 外力则是被研究对象以外的其他物体对则该物体(或系统)的作用力。在中学,若无 特别说明,一般所谈的受力,都指的是外力。 物体内部和相邻部分的拉力或压力都是内力。其中的前者就叫张力。理想的柔绳内部 只能有张力,而不可能有相互挤压力。其张力总是与绳的轴线相切(如绕在轮上被拉紧的 绳) 。所以柔绳只能对外产生拉力和侧压力,不能产生轴向压力。杆件既能对物体产生拉 力,也能对物体产生压力,还能对物体产生侧压力。在中学,未做特别说明,通常把绳和 线当成理想的柔绳和柔线,一般还忽略了绳和线的质量,以及它们的伸长形变。 三、静力学公理 1.二力平衡公理 两个力平衡的充分必要条件是:共物,等大,反向,同直线,缺一不可。 2.力的平行四边形定则 作用于物体同一点上的二力可以合成一个力—即上述二力的合力,合力的作用点仍在 该点,合力的大小和方向由这两个力为邻边组成的平行四边形的对角线确定。 平行四边形定则和三角形法是等效的。若分力不只两个,三角形法就变成多边形法。
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3.牛顿第三定律 两物体间的相互作用力,总是大小相等,方向相反,并且在同一条直线上。 四、力学中常见的几个力 1.重力 重力是万有引力的一种体现。关于重力与万有引力的具体大小、方向关系我们将在万 有引力那一部分再详述。 2.弹力、胡克定律 ①、弹力 物体在外力作用下发生形变时所产生的反抗形变的力叫弹力。 ②、胡克定律 在弹性限度内,弹簧的弹力( f T )与弹簧的伸长(或压缩)成正比,并且总是指向恢复 原长的方向。表达式为: f T ? kx ;式中, x 为弹簧的形变量,等于当时的长度与形变前 的长度(又称自由长度)之差。 3.摩擦的规律: 第一:静摩擦力不能超过某一个最大值 f 0 m ,这个最大静摩擦力与接触面间的压力成 正比,与接触面积无关。即: f 0 m ? ? 0 N 。 ? 0 为接触面间的静摩擦因数,只由两接触面 间的情况共同决定。在将要滑动之前的静摩擦力都与压力(本部分中压力用符号 N 表示, 也常用符号 FN 表示)无关,而且 f 0 ? f 0 m !

第二:滑动摩擦力与接触面积无关,与当时接触面间的挤压力成正比。即: f ? ?N , ? 为接触面间的动摩擦因数。 第三:物体间的摩擦力,总是阻碍相对运动或相对运动趋势。 五、共点力作用下的物体的平衡条件 1.共点力作用下的物体的平衡条件:共点力的合力为零。 2.推论:三个斜交的平衡力一定是共点力。 六、力矩 力矩是表示力对物体产生转动作用的物理量,它等于力和力臂的乘积。表达式为: M=FL,其中力臂 L 是转动轴到 F 的力线的(垂直)距离。 注意:作用于同一物体的同一力,由于所取转轴的位置不同, 该力对轴的力矩大小可能发生相应的变化,对物体产生转动作用 的方向 (简称 “转向” 也可能不同。 ) 例如如右图中的力 F, 若以 o1 为轴(即对 o1 取矩)其力矩为 M1=FL1,使物体逆时针转,若以 o2 为轴(即对 o2 取矩)其力矩为 M2=FL2,使物体顺时针转,由图 可知 L1< L2,故 M1< M2,且二者反向。由此可见,一谈力矩,必 须首先明确是以何处为轴,或对谁取矩。 七、物体的平衡条件 1.有固定转动轴物体的平衡 平衡条件是:作用于物体上的全部外力对固定转动轴所取力矩的代数和为零。 沿着转轴观察,力矩的转动效应不是使物体沿顺时针转,就是逆时针转,若使物体沿 顺时针转的力矩为正,则使物体沿逆时针转的力矩就为负。 当作用在有固定转动轴物体上的顺时针方向力矩之和与逆时针方向力矩之和相等时, 物体将处于静止或匀速转动状态。有固定转动轴物体的平衡的表达式为:

? M ? O或 ? M ? ? ? M ?
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2.一般物体的平衡条件 此处所谈的“一般物体”是指没有固定转动轴物体。 对一个“一般物体”来说,作用在它上面的力的合力为零,对任意一点的力矩之和为 零时,物体才能处于平衡状态。也就是说必须一并具有或满足下面两个关系式:

?? M ? 0(对任意一点) ? ? ? ?? F ? 0 ?
八、流体静力学 流体是液体和气体的统称,它们的共同特点,是组成物体的物质容易发生相对移动, 从而具有流动性。 1.静止流体的压强 地面附近的所有流体都要受到重力作用,于是容器中的流体都要尽可能地向下运动, 器壁却将它们约束在一定的范围内,这就使流体内的任何相邻部分都要互相排斥挤压。于 是,流体自身的流动性和重力作用(外因)相结合,就使静止流体中的任何一点处都存在 着指向各个方向的压强,而且深度越大的地方,这种压强越大。 这种因重力作用而在静止流体中产生的压强,叫流体的静压强。 对均匀液体而言,静压强: p ? ?gh , ? 为液体的密度, h 为液体中所求压强处的深 度, g 为当地的重力加速度。 2.液体传递压强的规律——帕斯卡定律:被封闭的液体总要把外力对它产生的压强 大小不变地向各个方向传递。 3.静止液体产生浮力的规律——阿基米德原理 浸入流体中的物体受到的浮力总是竖直向上的,其力线通过被物体排开的那部分流体 在原处时的重心,其大小等于那部分流体的重量。其表达式为: F ? ?gV排 ;式中 ? 为被 排开的那部分流体的密度, g 为当地的重力加速度, V排 是被排开流体的体积。 注意: ①、浮力的本质是静止流体对浸入物的压力之合力。 ②、不要把浮力计算式( F ? ?gV排 )中的 ? 误认为是浸入物的密度;不要把 V排 误 认为被浸入物的总体积。 ③、 p ? ?gh 、 F ? ?gV排 只适用于物体与流体都保持静止的情况,或者,只有当浸 入物在静止流体中运动的速度很小,或二者运动的速度都很小时,才可以用这两个式子去 计算。

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解题指导: 例 1: 如图所示的装置中, 斜面的倾角逐渐增大到 ? 0 时, 将要下滑; A 倾角 ? ? ? 0 时, A 一定下滑。A 重为 G 。

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提高题 1.如图所示,轻杆 BO 一端装在铰链上,铰链固定在竖直墙上,另一 端装一轻滑轮,重为 G 的物体用细绳经滑轮系于墙上 A 点,系统处于 平衡状态,若将 A 点沿竖直墙向上缓慢移动少许,设法使系统重新平 衡,则细绳所受拉力 Fr 和轻杆所受压力 FN 大小变化情况是: A.Fr 变小 B.Fr 不变 C.FN 不变 D.FN 变小 2.如图所示,两个弹簧的质量不计,劲度系数分别为 k1、k2,它们的一端固定 在质量为 m 的物体上,另一端分别固定在 P、Q 点,当物体平衡时,上面的弹 簧 k2 处于原长,若要把物体的质量换成 2 m(它的厚度不变,且均在弹簧的弹 性限度内) ,再次平衡时,物体比第一次平衡时下降的距离 x 为: A.mg/(k1+k2), B.k1k2 m g / (k1+k2), C.2 m g / (k1+k2), D.2 k1 k2 m g / (k1+k2)。 3.如图所示,位于斜面上的物块 M 在沿斜面向上的力 F 作用下,处于 静止状态,则斜面作用于物块的静摩擦力为: A.方向可能沿斜面向上 B.方向可能沿斜面向下 C.大小可能等于零 D.大小可能等于 F 4.有一个直角支架 AOB,AO 水平放置,表面粗糙,OB 竖直向下, 表面光滑.AO 上套有小环 P,OB 上套有小环 Q,两球质量均为 m, 两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连,并在某一位置平衡 (如图所示) .现将 P 环向左移一小段距离,两环再次达到平衡,那么 将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较, 杆对 P 环的支持力 N AO 和细绳上的拉力 T 的变化情况是: A.N 不变,T 变大 B.N 不变,T 变小 C.N 变大,T 变大 D.N 变大,T 变小 5.如图所示,四块质量均为 m 的砖块被水平压力 F 夹在两竖直 木板之间,处于静止状态,则第 1 块砖对第 2 块砖的摩擦力 f12=__ __, 3 块砖对第 2 块砖的摩擦力 f32=_ 第 __. 6.如左下图所示,质量为 0.2 千克的物体放在倾斜的木板上,当 木板与水平面夹角为 30?或 45?时,物体所受磨擦力的大小相等, 则物体与木板间的滑动磨擦系数为______, 若木板与水平面 间夹角为 60?时,物体所受磨擦力的大小为________。

7.一质量为 m 的均匀细直杆 AB 静止在墙角上,墙面光滑,细杆与竖直方向成?角,如右 上图所示,A 端对壁的压力大小为_____。

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静力学(初赛要求) 三、科学思维方法的应用
一、三力平衡的基本特性及其应用

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二、力矩、杆秤和天平公式的应用

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二、有固定转轴物体的平衡
有固定转轴的物体不能平动,当处于平衡状态时,受到外力的合力(包括转轴对物体的作用力)必定 为零。所以有固定转轴物体的平衡条件就是顺时针方向的力距与逆时针方向的力距相等。

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三、天平公式及应用
1、天平公式的推导 如下图所示,天平的横梁(连同指针)是一个有固定转轴的物体,转动轴就是中央刀

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五、摩擦角
1、 全反力: 接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力,一般用 R 表示,亦称接触反力。 2、摩擦角:全反力与支持力的最大夹角称摩擦角,一般用φ m 表示。 此时,要么物体已经滑动,必有:φ m = arctgμ (μ 为动摩擦因素) ,称动摩擦力角;要 么物体达到最大运动趋势,必有:φ mx=arctgμ x(μ x 为静摩擦因素) ,称静摩擦角。通常 处理为φ m = φ mx 。 3、引入全反力和摩擦角的意义:使分析处理物体受力时更方便、简捷。 应用:1、物体放在水平面上,用与水平方向成 30°的力拉物体时,物体匀速前进。若此 力大小不变,改为沿水平方向拉物体,物体仍能匀速前进,求物体与水平面之间的动摩擦 因素μ 。 解说:这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目。可以通过不同解法的比较让学生留 下深刻印象。 法一,正交分解。 (学生分析受力→列方程→得结果。 ) 法二,用摩擦角解题。 引进全反力 R ,对物体两个平衡状态进行受力分析,再进行矢量平移,得到图 18 中 的左图和中间图(注意:重力 G 是不变的, 而全反力 R 的方向不变、F 的大小不变) m ,φ 指摩擦角。 再将两图重叠成图 18 的右图。由于灰色 的三角形是一个顶角为 30°的等腰三角形, 其顶角的角平分线必垂直底边??故有:φ m = 15°。最后,μ = tgφ m 。答案:0.268 。 (学生活动)思考:如果 F 的大小是可以 选择的, 那么能维持物体匀速前进的最小 F 值 是多少? 解:见图 18,右图中虚线的长度即 Fmin ,所 以,Fmin = Gxinφ m 。 答:Gxin15°(其中 G 为物体的重量) 。 应用:如图 20 所示,一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上,斜面的倾角为θ 。 另一质量为 m 的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力 F 作用在滑块上,使之能沿斜面 匀速上滑,且要求斜面体静止不动,就必须施加一个大小为 P = 4mgxinθ coxθ 的水平推 力作用于斜面体。使满足题意的这个 F 的大小和方向。 解说:这是一道难度较大的静力学题,可以动用一切可能的 工具解题。 法一:隔离法。 由第一个物理情景易得,斜面于滑块的摩擦因素μ = tgθ 对第二个物理情景,分别隔离滑块和斜面体分析受力,并将 F 沿斜面、垂直斜面分解成 Fx 和 Fy ,滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表 示(N 表示正压力和弹力,f 表示摩擦力) ,如图 21 所示。 对滑块,我们可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡—— Fx = f + mgxinθ Fy + mgcoxθ = N 且 f = μ N = Ntgθ 综合以上三式得到:

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Fx = Fytgθ + 2mgxinθ ① 对斜面体,只看水平方向平衡就行了——P = fcoxθ + Nxinθ 即:4mgxinθ coxθ =μ Ncoxθ + Nxinθ 代入μ 值,化简得:Fy = mgcoxθ ② ②代入①可得:Fx = 3mgxinθ 最后由 F = Fx ? Fy 解 F 的大小,由 tg
2 2

α =

Fy Fx

解 F 的方向(设α 为 F 和斜面的夹

角) 。 答案:大小为 F = mg 1 ? 8 sin 2 ? ,方向和 斜面夹角α = arctg( ctg ? )指向斜面内部。 法二:引入摩擦角和整体法观念。 仍然沿用“法一”中关于 F 的方向设置(见图 21 中的α 角) 。 先看整体的水平方向平衡,有:Fcox(θ - α ) = P ⑴ 再隔离滑块,分析受力时引进全反力 R 和摩擦角φ ,由于简化后只有三个力(R、mg 和 F) ,可以将矢量平移后构成一个三角形,如图 22 所示。

1 3

在图 22 右边的矢量三角形中, 有:

F mg mg = = ⑵ sin(? ? ?) sin ?90? ? (? ? ?)? cos(? ? ?)
⑶ 解⑴⑵⑶式可得 F 和α 的值。

注意:φ = arctgμ = arctg(tgθ ) = θ

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初赛强化题
1.如图,物块 A 放在倾斜的木板上木板的倾角?为 30?和 45?时物 块所受磨擦力的大小恰好相同,则物块和木板间的滑动磨擦系数为: A.1/2 B. 2 /2 C. 3 /2 D. 5 /2 2.如图所示,在固定的、倾角为α 斜面上,有一块可以转动的夹 板(β 不定) ,夹板和斜面夹着一个质量为 m 的光滑均质球体,试求: β 取何值时,夹板对球的弹力最小。 3.半径为 R、质量为 M1 的均匀圆球与一质量为 M2 的重物分别用细 绳 AD 和 ACE 悬挂于同一点 A,并处于平衡,如图所示。已知悬点 A 到 球心 O 的距离为 L,不考虑绳的质量和绳与球心的摩擦,试求悬挂圆球的 绳 AD 与竖直方向 AB 的夹角θ (第十届全国中学生物理竞赛预赛试题)
A

?

4.如图所示,一个重量为 G 的小球套在竖直放置的、半径为 R 的光滑大环上,另一轻质弹簧的劲度系数为 k ,自由长度为 L(L <2R) ,一端固定在大圆环的顶点 A ,另一端与小球相连。环静止 平衡时位于大环上的 B 点。试求弹簧与竖直方向的夹角θ 。

5.如图所示,一个半径为 R 的非均质圆球,其重心不在球心 O 点,先将它置于水平地面上,平衡时球面上的 A 点和地面接触; 再将它置于倾角为 30°的粗糙斜面上,平衡时球面上的 B 点与斜 面接触,已知 A 到 B 的圆心角也为 30°。试求球体的重心 C 到球 心 O 的距离。

6.两根等长的细线,一端拴在同一悬点 O 上,另一端各系一 个小球,两球的质量分别为 m1 和 m2,已知两球间存在大小相等、 方向相反的斥力而使两线张开一定角度,分别为 45 和 30°,如 图所示。则 m1 : m2 为多少?

7. 如图所示, 一个半径为 R 的均质金属球上固 定着一根长为 L 的轻质细杆,细杆的左端用铰链与 墙壁相连,球下边垫上一块木板后,细杆恰好水平, 而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之 间有摩擦(已知摩擦因素为μ ) ,所以要将木板从球 下面向右抽出时,至少需要大小为 F 的水平拉力。 试问:现要将木板继续向左插进一些,至少需要多 大的水平推力?

36

8.如图 1 所示,长为 2m 的匀质杆 AB 的 A 端用细线 AD 拉住,固定 于墙上 D 处,杆的 B 端搁于光滑墙壁上,DB=1m,若杆能平衡,试求 细线 AD 的长度.

9. 如图 2 所示,放在水平地面上的两个圆柱体相互接触, 大、小圆柱的半径分别为 R 和 r,大圆柱体上缠有绳子,现通过 绳子对大圆柱体施加一水平力 F, 设各接触处的静摩擦因数都是 μ ,为使大圆柱体能翻过小圆柱体,问μ 应满足什么条件?

10. 如图 3 所示,三个完全一样的小球,重量均为 G, 半径为 R=10cm,匀质木板 AB 长为 l=100cm,重量为 2G, 板端 A 用光滑铰链固定在墙壁上,板 B 端用水平细线 BC 拉 住,设各接触处均无摩擦,试求水平细线中的张力.

11. (第十五届全国中学生物理竞赛预赛试题)一个质量 为 m。 管口截面为 X 的薄壁长玻璃管内灌满密度为 p 的水银, 现把它竖直倒插在水银槽中,再慢慢向上提起,直到玻璃管 口刚与槽中的水银面接触。这时,玻璃管内水银高度为 H, 现将管的封闭端挂在天平另一个盘的挂钩上,而在天平另一 个盘中放砝码,如下图。要使天平平衡,则所加砝码质量等 于 。

12. (第二十五届全国中学生物理竞赛预赛试题)(8 分)一座平顶房 屋,顶的面积 S=40m2。第一次连续下了 t=24 小时的雨,雨滴沿竖直方 向以 v=5.0m/s 的速度落到屋顶,假定雨滴撞击屋顶的时间极短且不反 弹,并立即流走。第二次气温在摄氏零下若干度,而且是下冻雨,也 下了 24 小时,全部冻雨落到屋顶便都结成冰并留在屋顶上,测得冰层 的厚度 d=25mm。已知两次下雨的雨量相等,冰的密度为 9× 2kg/m3。 10 由以上数据可估算得第二次下的冻雨结成的冰对屋顶的压力为 _______N,第一次下雨过程中,雨对屋顶的撞击使整个屋顶受到的压 力为_______N。

37

静力学部分答案
基础习题回顾: 1、A,2、B.3、D,4、D ;5. 200 N / m ;弹簧自身有重量 6.? ? arcctg? 7、D,8、C,

mg 9、C,10、A,11、A 12.本题为 2004 年江苏省高考理科综合试题。减小、增大; k
提高题 1.B、D 2.A 3.A、B、C、D 4.B 5. mg ;0 6.

mgtg ? 2 2 ; 7. 2 2 2

初赛强化题 1.B 2.解说:法一,平行四边形动态处理。对球体进行受力分析,然后对平行四 边形中的矢量 G 和 N1 进行平移,使它们构成一个三角形,如图的左图和中图所示。

由于 G 的大小和方向均不变,而 N1 的方向不可变,当β 增大导致 N2 的方向改变时, N2 的变化和 N1 的方向变化如图的右图所示。显然,随着β 增大,N1 单调减小,而 N2 的 大小先减小后增大,当 N2 垂直 N1 时,N2 取极小值,且 N2min = Gxinα 。 法二,函数法。看图的中间图,对这个三角形用正弦定理,有:

N2 G sin ? G = ,即:N2 = ,β 在 0 到 180°之间取值,N2 的极值讨论是 sin ? sin ? sin ?
很容易的。答案:当β = 90°时,甲板的弹力最小。 3. ? ? arcsin?

?

? M2R ? ? L( M 1 ? M 2 ) ?

4.arccox

kL 2(kR ? G )

解说:平行四边形的三个矢量总是可以平移到一个三角形中去讨论,解三角形的典型 思路有三种:①分割成直角三角形(或本来就是直角三角形) ;②利用正、余弦定理;③ 利用力学矢量三角形和某空间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路。 分析小球受力→矢量平移,如图 12 所示, 其中 F 表示弹簧弹力,N 表示大环的支持力。 (学生活动) 思考: 支持力 N 可不可以沿图 12 中的反方向? (正 交分解看水平方向平衡——不可以。 ) 容易判断, 图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形Δ AOB 是相 似的,所以:

F AB ? G R

⑴由胡克定律:F = k( AB - R) ⑵

几何关系: AB = 2Rcoxθ ⑶解以上三式即可。 (学生活动)思考:若将弹簧换成劲度系数 k′较大的弹簧,其它 条件不变,则弹簧弹力怎么变?环的支持力怎么变?答:变小;不变。

38

(学生活动)反馈练习:光滑半球固定在水平面上,球心 O 的正上方有一定滑轮,一根轻 绳跨过滑轮将一小球从图 13 所示的 A 位置开始缓慢拉至 B 位置。试判断:在此过程中, 绳子的拉力 T 和球面支持力 N 怎样变化? 解:和上题完全相同。答:T 变小,N 不变。 5.

3 R 3

解说:练习三力共点的应用。

根据在平面上的平衡,可知重心 C 在 OA 连线上。根据在斜面 上的平衡,支持力、重力和静摩擦力共点,可以画出重心的具体位 置。几何计算比较简单。 (学生活动)反馈练习:静摩擦足够,将长为 a 、厚为 b 的砖 块码在倾角为θ的斜面上,最多能码多少块?解:三力共点知识应用。答:

a ctg ? 。 b

6.1: 2 解说:本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。 对两球进行受力分析,并进行矢量平移,如图 16 所示。 首先注意,图 16 中的灰色三角形是等腰三角形,两底角相等,设为α 。 而且,两球相互作用的斥力方向相反,大小相等,可用同一字母表示,设为 F 。 对左边的矢量三角形用正弦定理,有:

m 1g F = ① 同理,对右边的矢量 sin 45 ? sin ? m g F 三角形,有: 2 = ② sin 30 ? sin ?
解①②两式即可。 (学生活动)思考:解本题是 否还有其它的方法? 答:有——将模型看成用轻杆连成的两小球,而 将 O 点看成转轴,两球的重力对 O 的力矩必然是平衡 的。这种方法更直接、简便。 应用:若原题中绳长不等,而是 l1:l2=3:2,其它条 件不变,m1 与 m2 的比值又将是多少? 解:此时用共点力平衡更加复杂(多一个正弦定理方程) ,而用力矩平衡则几乎和“思 考”完全相同。答:2 :3 2 。 7.

R ? L ? ?R F R ? L ? ?R

解说:这是一个典型的力矩平衡的例题。

以球和杆为对象,研究其对转轴 O 的转动平衡,设木板拉出时给球体的摩擦力为 f , 支持力为 N ,重力为 G ,力矩平衡方程为: f R + N(R + L)= G(R + L) ① 球和板已相对滑动,故:f = μ N ② 解①②可得:f =

?G (R ? L) R ? L ? ?R

再看木板的平衡,F = f 。

同理,木板插进去时,球体和木板之间的摩擦 f′=

?G (R ? L) = F′。 R ? L ? ?R

39

11.点拨:玻璃管中水银柱压强刚好等于大气压强。 解:设加在右盘的砝码质量为 m1,则 m1 g ? mg ? ?ghS ,故: m1 ? m ? ?hS 12. 9× 3、0.058 10
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