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3.4 定积分与微积分基本定理练习题


§3.4 定积分与微积分基本定理
一、选择题 1.与定积分∫3π 1-cos xdx 相等的是( 0 A. 2∫3π sin dx 0 2 ).

x

x? ? B. 2∫3π ?sin ?dx 0 2? ?
D.以上结论都不对

x ? ? 3π C.? 2∫0 sin dx? 2 ? ? x

r />
解析 ∵1-cos x=2sin2 ,∴∫3π 1-cos xdx= 0 2 ∫3π 2|sin |dx= 2∫3π |sin |dx. 0 0 2 2 答案 B 2. 已知 f(x)为偶函数,且?6f(x)dx=8,则?6-6f(x)dx=( ? ?0 A.0 B.4 C.8 6 解析 ?6-6f(x)dx=2? f(x)dx=2×8=16. ? ?
0

x

x

)

D.16

答案 D 3.以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体,t 秒时刻的速度 v=40-10t2,则此物 体达到最高时的高度为( 160 A. m 3 40 C. m 3 ). B. D. 80 m 3 20 m 3 10 3?? 10 ? ?40t- t ??2=40×2- ×8 3 ??0 3 ?

解析 v=40-10t2=0, =2, 2(40-10t2)dt= t ? ?0 160 = (m). 3 答案 A

4.一物体以 v=9.8t+6.5(单位:m/s)的速度自由下落,则下落后第二个 4 s 内经过的路程是( ) A.260 m B.258 m C.259 m D.261.2 m

解析

2 ? 8 ? (9.8t+6.5)dt=(4.9t +6.5t) ?4 ?4 8

=4.9×64+6.5×8-4.9×16-

6.5×4=313.6+52-78.4-26=261.2. 答案 D 5.由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 ( 10 A. 3 16 C. 3 B.4 D.6 ).

解析 由 y= x及 y=x-2 可得, =4, x 所以由 y= x及 y=x-2 及 y 轴所围成 16 ?2 3 1 2 ? 的封闭图形面积为?4( x-x+2)dx=? x - x +2x?|40 = . 3 ?3 2 2 ? ?0 答案 C 6.已知 a= ?
i=1 n

1?i?2 ? ? ,n∈N*,b=?1x2dx,则 a,b 的大小关系是( n?n? ?0 B.a=b D.不确定

).

A.a>b C.a<b 答案 A 7.下列积分中 ①? dx;②? -2x dx;③? ? ?1x ?0
2 2

e

1

4-x2 dx; π ). D.4

④∫ A.1

π 0 2 2?

cos 2x cos x-sin x? B.2

dx,积分值等于 1 的个数是( C.3

解析 ①

? e1 ? xdx=ln x?e=1, 1 ?1 ?



1 2?2 ?2-2xdx=2x ?-2=0, ? ?
2

③? ?0

4-x2 1 1 dx= ( π 22)=1, π π 4

④∫

π 0 2 2?

cos 2x cos x-sin x?

1 π dx= ∫ 0(cos x+sin x)dx 2 2

1 π = (sin x-cos)| 0=1. 2 2 答案 C

二、填空题 8.如果 10 N 的力能使弹簧压缩 10 cm,为在弹性限度内将弹簧拉长 6 cm,则力 所做的功为______. 解析 由 F(x)=kx,得 k=100,F(x)=100x,W=∫0 100xdx=0.18(J). 答案 0.18 J 1 9.曲线 y= 与直线 y=x,x=2 所围成的图形的面积为____________.
0.06

x

答案

3 -ln 2 2

10.若?k(2x-3x2)dx=0,则 k 等于_________. ?0 解析 ?k(2x-3x2)dx=?k2xdx-?k3x2dx=x2? -x3?0=k2-k3=0, ?0 ? ?0 ?0 ?0
k k

∴k=0 或 k=1. 答案 0 或 1 11. ?2|3-2x|dx=________. ?1

解析

?-2x+3,x≤3, ? 2 ∵|3-2x|=? 3 ?2x-3,x>2, ?

3 3 ∴?2|3-2x|dx=∫ 1(3-2x)dx+?2 (2x-3)dx 2 ?2 ?1 = ? 答案 3x-x2? 1 2

|

3 3 1 1+(x2-3x)|2 = . 2 2 2

12.抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成图形的

面积为________. 解析 如图所示,因为 y′=-2x+4,y′|x=1=2,y′|x=3=-2,两切线方程 为 y=2(x-1)和 y=-2(x-3). ?y=2? x-1? , 由? ?y=-2? x-3? 得 x=2.

所以 S=?2[2(x-1)-(-x +4x-3)]dx+?3[-2(x-3)-(-x +4x-3)]dx ?1 ?2 =?2(x2-2x+1)dx+?3(x2-6x+9)dx ?1 ?2 = 答案 ?1 3 ?? 2 ? x -x +x??2+ 1 ?3 ?? 2 3 ?1 3 ?? 2 2 ? x -3x +9x??3= . 2 ?3 ?? 3

2

2

三、解答题 13.如图在区域 Ω ={(x,y)|-2≤x≤2,0≤y≤4}中随机撒 900 粒豆子,如果 落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比, 试估计落在图中阴影部分 的豆子数.

解析 区域 Ω 的面积为 S1=16. 图中阴影部分的面积

S2=S1-

1 ? 32 -2x2dx=16- x3?2 = . -2 ? ? 3 ? 3
2

设落在阴影部分的豆子数为 m, 由已知条件 = , 900 S1

m

S2

即 m=

900S2

S1

=600.

因此落在图中阴影部分的豆子约为 600 粒. 14.如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形为面积相等的两 部分,求 k 的值.

解析 抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1=0,x2=1, 所以,抛物线与 x 轴所围图形的面积

S=? (x-x )dx=
1

2

?0

2 ?x 1 3??1 1 ? - x ??0= . ? 2 3 ?? 6

?y=x-x , 又? ?y=kx,
2

由此可得, 抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的横坐标为

x3=0,x4=1-k,所以, S
2 =∫1-k(x-x2-kx)dx 0 1-k 2 1 3??1-k x - x ??0 2 3 ??

? =? ?

1 = (1-k)3. 6 1 又知 S= , 6 1 所以(1-k)3= , 2 3 3 1 4 于是 k=1- =1- . 2 2 ?1 ? 15.曲线 C:y=2x3-3x2-2x+1,点 P? ,0?,求过 P 的切线 l 与 C 围成的图形 ?2 ?

的面积. 解析 设切点坐标为(x0,y0)

y′=6x2-6x-2,
则 y′|x=x0=6x2-6x0-2, 0 1? ? 切线方程为 y=(6x2-6x0-2)?x- ?, 0 2? ? 1? ? 则 y0=(6x2-6x0-2)?x0- ?, 0 2? ? 1? ? 即 2x3-3x2-2x0+1=(6x2-6x0-2)?x0- ?. 0 0 0 2? ? 整理得 x0(4x2-6x0+3)=0, 0 解得 x0=0,则切线方程为 y=-2x+1. ?y=-2x+1, 解方程组? 3 2 ?y=2x -3x -2x+1, ?x=0, 得? ?y=1

?x=3, 或? 2 ?y=-2.

由 y=2x3-3x2-2x+1 与 y=-2x+1 的图象可知

S=∫ 0[(-2x+1)-(2x3-3x2-2x+1)]dx
3 27 =∫ 0(-2x3+3x2)dx= . 2 32 16. 已知二次函数 f(x)=3x2-3x,直线 l1:x=2 和 l2:y=3tx(其中 t 为常数, 且 0<t<1),直线 l2 与函数 f(x)的图象以及直线 l1、l2 与函数 f(x)的图象所围成 的封闭图形如图 K15-3,设这两个阴影区域的面积之和为 S(t). (1)求函数 S(t)的解析式; (2)定义函数 h(x)=S(x),x∈R.若过点 A(1,m)(m≠4)可作曲线 y=h(x)(x∈R) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

3 2

2 ?y=3x -3x, 解析 (1)由? ?y=3tx

得 x2-(t+1)x=0,

所以 x1=0,x2=t+1.

所以直线 l2 与 f(x)的图象的交点的横坐标分别为 0,t+1. 因为 0<t<1,所以 1<t+1<2. 所以 S(t)=∫t+1[3tx-(3x2-3x)]dx+?2t+1[(3x2-3x)-3tx]dx 0 ? 3? t+1? ?3? t+1? ?? ? ?? x2-x3??t+1+ ?x3- x2??2 = ? 0 t+1 2 2 ? ?? ? ?? =(t+1)3-6t+2. (2)依据定义,h(x)=(x+1)3-6x+2,x∈R, 则 h′(x)=3(x+1)2-6. 因为 m≠4,则点 A(1,m)不在曲线 y=h(x)上. 过点 A 作曲线 y=h(x)的切线,设切点为 M(x0,y0), ? x0+1? 3-6x0+2-m 2 则 3(x0+1) -6= , x0-1 化简整理得 2x3-6x0+m=0,其有三个不等实根. 0 设 g(x0)=2x3-6x0+m,则 g′(x0)=6x2-6. 0 0 由 g′(x0)>0,得 x0>1 或 x0<-1; 由 g′(x0)<0,得-1<x0<1, 所以 g(x0)在区间(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减, 所以当 x0=-1 时,函数 g(x0)取极大值; 当 x0=1 时,函数 g(x0)取极小值. 因 此 , 关 于 x0 的 方 程 2x 3 - 6x0 + m = 0 有 三 个 不 等 实 根 的 充 要 条 件 是 0 ?g? -1? >0, ? ?g? 1? <0, ?m+4>0, 即? 即-4<m<4. ?m-4<0, 故实数 m 的取值范围是(-4,4).


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