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【用】高中数学 1.3.1 函数的单调性与最值课件 新人教A版必修1


画出下列函数的图象,观察其变化规律:

f(x) = x
1.从左至右图象上升还是下降 上升 ____?
(-∞, +∞) 上,随着x的增大,f(x)的值 2.在区间 ________ 增大 . 随着 ______

我们称此时的区间( - ?, ? ?)为单调区间 .

?画出下列函数的图象,观察其变化规律:

f(x ) = x2
(-∞, 0] 上,f(x)的值随 1.在区间_______
减小 . 着x的增大而_____

2. 在区间_______ (0, +∞) 上,f(x)的值随 着x的增大而 _____ 增大 .

此时区间(- ?, 0)和区间( 0, ? ?)都是单调区间 .

一、函数单调性定义
1.增(减)函数

一般地,设函数 y = f ( x ) 的定义域为 I ,如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1, x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区 (f(x1)>f(x2)) 间D上是增函数
减函数

例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根 据图象说出函数的单调区间,以及在每个区间上, 它是增函数还是减函数?

二.典例

解:函数y=f(x)的单调区间有

区间端点问题

[-5, -2), [-2,1), [1, 3), [3, 5].
其中y=f(x)在区间[-5, -2), [1, 3)上是减函数, 在区间[-2, 1), [3, 5] 上是增函数.

例2.证明:函数 f ( x) ? 3x ? 2在 ? ??, ??? 上是增函数.

证明:在区间

? ??, ???上任取两个值 x1 , x2 且 x1 ? x2
? 3( x2 ? x1 )

取值
作差 化简

则f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? (3x2 ? 2) ? (3x1 ? 2)
? x1, x2 ? ? ??, ??? ,且 x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? 0

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0即f ( x2 ) ? f ( x1 )

判号

所以函数 f ( x) ? 3x ? 2 在区间上 ? ??, ??? 是增函数. 定论

三、判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤: ①取值: 任取x1,x2∈D,且x1<x2; ②作差:f(x1)-f(x2); ③变形:(因式分解和配方等)乘积或商式; ④定号:(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论:(即指出函数f(x) 在给定的区间D上 的单调性).

四、归纳小结
1.函数单调性的定义 2.会利用函数图像找出函数的单调区间

3.函数单调性的证明,证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 化简 → 判号 → 下结论

1.函数的最大值 (1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:

①对于
②存在

,都有f(x)≤M,
,使f(x0)=M.

那么称M是函数y=f(x)的最大值. 2.函数的最小值 (1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:

①对于
②存在

,都有f(x)≥M,
,使f(x0)=M.

那么称M是函数y=f(x)的最小值.

1.函数最大值、最小值的几何意义是什么? 【提示】 函数最大值或最小值是函数的整体

性质,从图象上看,函数的最大值或最小值是图

象最高点或最低点的纵坐标.

如图为函数y=f(x),x∈[-3,8]的图象,指出 它的最大值、最小值及单调区间.

利用单调性求函数的最值 x+2 求函数 y= x∈[2,3]上的最值. x-1 【思路点拨】 性―→求最值 定义法判断函数的单调

x+2 x-1+3 3 【解析】 函数 y= = =1+ x-1 x-1 x -1 设 2≤x1<x2≤3, 3 3 则 f(x1)-f(x2)= - x1-1 x2-1 3(x2-x1) = (x1-1)(x2-1)

∵2≤x1<x2≤3 ∴x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0 ∴f(x1)-f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2) x+2 ∴函数 y= 在[2,3]上是减函数 x-1 3+2 5 ∴f(x)的最小值为 f(3)= = . 3-1 2 2+2 f(x)的最大值为 f(2)= =4. 2-1

(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方
法,特别是当函数图象不好作或作不出来时,单调性

几乎成为首选方法.
(2)函数的最值与单调性的关系

①若函数在闭区间[a,b]上是减函数,则f(x)在[a
,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b);

②若函数在闭区间[a,b]上是增函数,则f(x)在[a
,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a).


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