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竞赛常用知识手册 (2)


2005 年第 9 期

49

竞赛常用知识手册
13   整点
2 2 2 此外 , 当 r 充分大时 , 区域 x + y ≤r 上的格点数 A ( r) 接近于πr .

在平面直角坐标系中 ,横 、 纵坐标均为整 数的点叫做整点 , 整点也叫格点 . 类似地 , 可 定义空间直角坐标系中的整

点 .
1. 整点多边形的面积公式

4. 不存在整点正三角形 . 5. 当 n ≥ 5 时 ,不存在整点正 n 边形 . 14   函数 [ x ] 1. 定义

顶点都在整点上的简单多边形 ( 即不自 交的多边形) , 其面积为 S , 多边形内的整点 数为 N ,多边形边上的整点数为 L ,则
S=N+ L

设 x ∈R ,则 [ x ] 表示不超过 x 的最大整 数.
2. 函数 [ x ] 的性质 (1) y = [ x ] 的定义域为实数集 R , 值域

2

- 1.

2. 正方形内的整点 ( 1) 各边均平行于坐标轴的正方形 ,如果

为整数集 Z.
( 2) x = [ x ] + r ,0 ≤r < 1. ( 3) x - 1 < [ x ] ≤x < [ x ] + 1. ( 4) y = [ x ] 是广义增函数 , 即当 x1 ≤x2

内部不含整点 ,它的面积最大是 1. ( 2) 内部不含整点的正方形面积 ,最大是
2. (3) 内部只含一个整点的最大正方形面

时 ,[ x1 ] ≤[ x2 ] 成立 .
( 5) 设 n ∈Z ,则 [ n + x ] = n + [ x ] .
n n

积是 4.
3. 圆内整点问题
2 2 2 设 A ( r) 表示区域 x + y ≤r 上的整点

( 6) [

i =1



xi ] ≥

i =1

[ x ]. ∑
i

数 , r 是正实数 ,则
A ( r) = 1 + 4[ r ] + 4
1 ≤s ≤r

( 7) 对正实数 x1 , x2 , …, x n 有

∑[
[
2

r - s ] r - s ]- 4
2

2

2

n

n

[
r
2

i =1



xi ] ≥

i =1

[ x ]. ∏
i n

或  A ( r) = 1 + 4[ r ] + 8

1 ≤s ≤


r

2

.

特别地 ,对正数 x 及正整数 n 有
n n n [ x ] ≥[ x ] ,[ x ] ≥[ x ] .

2

其中 ,[ x ] 表示不超过 x 的最大整数 .
4 4 3   Ζ 5 ( x5 + y5 + t ) ≥ 4( x + y + t + t )

( 8) 对正实数 x 、 y有
由 1 - 4t ≥ 0 知最后这一不等式成立 ,从而 ,
x
2 3

Ζ 5 (1 - 4 t + 5 t ) ≥ 4 (1 - 3 t + 2 t + t )
2 2 3

Ζ 4 t - 17 t + 8 t - 1 ≤ 0
3 2

x+ y

+

y
3

2

x + y

≥4 . 5

Ζ (4 t - 1) ( t2 - 4 t + 1) ≤ 0 Ζ (1 - 4 t ) [ t2 + (1 - 4 t ) ] ≥ 0.

综上所述 ,原不等式成立 . (宋   庆  南昌大学附中 ,330029)

≤[ y ] . [ x] ( 9) 设 n 为正整数 ,则
y x x n

=2

p- 1 p

+2

p- 2

+ …+ 2 + 1

= 2 - 1. 15   阶数与原根 1. 阶数定义 当 ( a , m ) = 1 ,有最小正整数 λ,使
λ a ≡ 1 ( mod m ) ,
k 且  a 1 ( mod m ) ,0 < k < m , 则 λ叫做 a 关于 m 的阶数 . φ( m ) ,λ 由欧拉定理得 λ≤ | φ( m ) .

=

[ x]
n

.

( 10) 对整数 x ,有 [ - x ] = - [ x ] ;

对非整数 x ,有 [ - x ] = - [ x ] - 1. (11) 对正整数 m 和 n ,不大于 m 的 n 的
m 倍数共有 个. n

(12) 函数{ x } 定义为实数 x 的正的纯小

数部分 ,即{ x } = x - [ x ] . y = { x } 还有如下一些性质 : ( i ) { x } ∈[0 ,1) . (ii ) { x } 是以 1 为最小正周期的周期函 数. ( iii ) { n + x } = { x } ( n 为整数) . λ ( 13) 设 p ∈N ,满足 2 | ( 2 p ) ! 的 λ 的最 大值为 M = 2 - 1. 由 ( 11) 知
M=
p

2. 原根定义 如果 λ= φ( m ) , 叫做 a 关于模 m 的阶

数是φ( m ) ,此时 , a 叫做 m 的原根 . 3. 阶数 λ的性质 ( 1) 如果 a 关于 m 的阶数是λ,那么 , a0 , λ- 1 1 a , …, a 中 ,任两数关于模 m 不同余 . ( 2) 若 λ是关于 m 的阶数 ,则满足 t a ≡ 1 ( mod m ) 的 t ,都有 λ | t.
( 本刊资料室)

2 2

p

+

2 2 2

p

+

2 3 2

p

+ …

( 上接第 12 页)

这样 ,最终需要证明的命题是 : 已知条件与原命题相同 . 求证式 ② 成立 . 下面用数学归纳法证明式 ②. 1 1 证明 : 当 k = 1 时 , a1 = + . 于是 , 2 4n
n +1 n < a1 < . 2n +2 - 1 2n - 1

>

n +1 , 2n - N +2

且  aN = aN - 1 +
< <
n

1
n

aN - 1

2

2n - N +1
n

1+

1 2n - N +1

2n - N

.



n +1 n < aN < . 2n - N +2 2n - N

命题成立 . 假设 k = N - 1 时命题成立 ,即
n +1 n < aN - 1 < . 2 n - ( N - 1) + 2 2 n - ( N - 1)

综上所述 , 式 ②对任意正整数 k 均成 立. 因此 ,原命题成立 .
参考文献 :
[1 ]   何念如 , 陈  艳 . 构造法在解数学竞赛题中的运用 ( 一) [J ] . 中等数学 ,2005 (8) . [2]   黄  翔 . 数学方法论选论 [ M] . 重庆 : 重庆大学出版

当 k= N时, 1 2 aN = aN - 1 + a N - 1
n n +1 1 n +1 > 1+ ? 2n - N +3 n 2n - N +3

社 ,1995 ,4.


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