《平行线等分线段定理》课件4

一、平行线等分线段定理
（实例:楼梯、栅栏、百叶窗、作业纸等等）

看下面练习:
1、已知：直线l1∥l2∥l3 ， 2、已知：直线 l ∥l ∥l ，AB=BC 1 2 3 AC∥A1C1 ， AB=BC. 求证；A1B=BC1 求证；A1B1=B1C1
AB BC

l1 l2 l3

A

A1

l1 l2 l3

A1

A B
3 1 2 4

B
C
图1

？ B1

？
C

？ C1

？

C1

图2

图1

图2

练习
3、已知如图3，直线 l1∥l2∥l3 ,AB=BC. 求证； A1B1=B1C1
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ABB1E和□BCFB1
l1 l2 l3

A1
B C

A
3 ？1

E

B1
？

证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于点E、F

2 4

C1

∴EB1 =AB ，B1F=BC ∵AB=BC,∴EB1=B1F. 又∠1=∠2，∠3=∠4
l1 l2

图3

F

请同学们自己完成下面两图的证明

A B

A1 B1

l1 l2

A（A1） B C
图5

B1 C1

∴△A1B1E≌△C1B1F ∴A1B1=B1C1

l3

C
图4

C
1

l3

平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得

的线段相等，那么在其他直线上截得
的线段 也相等.
？ ？ ？ ？
图3 图4 图1

？ ？ ？ ？
图2

？ ？
图5

思考?

把问题转化为有关三 角形和平行四边形的 问题

1、在定理的证明过程中添加的辅助线起到了什么作用？

2、你还有其它的添加辅助线的方法吗？
3、如果一组平行线为三条以上，你还会证明此定理吗？
A B C A1 B1 C1

l1 l2 l3

思考
已知：直线l1∥l2∥l3∥l4 ，AB=BC=CD.

求证； A1B1=B1C1 =C1D1.
l1 l2

分析：

A
B

A1
？B1 ？C1 ？

∵直线l1∥l2∥l3 ,AB=BC. ∴A1B1=B1C1 ∵直线l2∥l3∥l4 ,BC=CD.
D1

l3
l4

C
D

∴B1C1 =C1D1

平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得 的线段相等，那么在其他直线上截得 的线段也相等
l1 l2

A B C

A1
？B1 ？C1

符号语言

l3

∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC.
∴ A1B1=B1C1

A

判断题
1、如图△ABC中点D、E三等分AB，DF∥EG∥BC，DF、
E

D

F G C D A M B A D E F
l1 l2 l3

EG分别交AC于点F、G，则点F、G三等分AC（ ） B

2、四边形ABCD中，点M、N分别在AB、CD上若AM=BM、
DN=CN 则AD∥MN∥BC ( )

3、一组平行线，任意相邻的两平行线间的距离都相

N C

等，则这组平行线能等分线段。

（

）
）

4、如图l1∥l2∥l3且AB=BC，那么AB=BC=DE=EF （

B C

平行线等分线段定理
A E D
？ F ？ B
图4

如果一组平行线在一条直线 上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.

A
E C
推论1

？F ？ C

B

图5

推论2 经过梯形一腰的中点与底边
平行的直线，必平分另一腰. 符号语言： ∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB. ∴DF=FC

经过三角形一边的中点与

另一边平行的直线，必平分第三边. 符号语言

∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB.
∴AF=FC

平行线等分线段定理的应用
定理作用：(1) 证明在同一直线上的线段相等;(2)把线段n等分.

例1 已知：线段ＡＢ=6cm,

Ｃ H G F M E D

求作：线段ＡＢ的五等分点.

问题１：求作一点Ｐ把线段
ＡＢ分成２：３,怎么办？

Ａ
N

I

P
J

K

L

Ｂ

问题２：如果把△ABC的
面积分成２：３,怎么办？
Ｃ

E?

例2 如图，D,E分别是△ABC中BC边和AC边 1 的中点.求证:DE//BC且 DE ? BC. 2

证明：过D作DE? // BC. 根据推论1，E?为AC的中点，
而E是AC的中点，

A D F E

E?
C

故E与E ?重合， 即DE//BC.(同一法)

B

同样，过D作DF//AC，交BC于F，则BF=FC. ∵DE//FC,DF//EC，∴四边形DFCE是平行四边形. ∴ DE=FC.
1 1 又 ? FC ? BC ,? DE ? BC. 2 2

证明题
1、已知：如图，M、N分别为平行四边形ABCD 边AB、CD的中点．CM、AN分别交BD于点E、F． 求证：BE=EF=FD
平行四边形对边相等；一 组对边平行且相等的四边 形是平行四边形 分析：1、证CM∥AN 2、证BE=EF 3、证DF=EF
？

A F

M
？ E ？

B

D

N

C

证明题

辅助线点滴：有线段中点 时，常过该点作平行线， 构造平行线等分线段定理 及推论的基本图形。

已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC， ∠ABC=900,M是CD的中点. 求证：AM=BM.
分析：过M点作ME∥AD交AB于点E 又∵在梯形ABCD中，MD=MC ∴AE=EB
A
E M D

C

B

易证ME是AB的垂直平分线

小结

辅助线点滴： 有线段中点时，常过该点作 平行线，构造平行线等分线 段定理及推论的基本图形.

1、平行线等分线段定理和两个推论 2、定理和推论的应用

A
E ？ F ？ C E B

(1)把线段n等分;(2)证明 在同一直线上的线段相等.

A

D ？

F ？

3、数学思想方法---转化思想. B

C

体会从特殊到一般的思考方法.

思考与练习
一、如图：有块直角三角形菜地，分配给张、王、李三家农民耕种，已知 张、王、李三家人口分别为2人、4人、6人，菜地分配方法按人口比例， 并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB，P处是三家合用的肥料仓库，所 以点P 必须是三家地的交界地
P

要求：用尺规在图中作出各家菜地的分界线
（保留作图痕迹，不写作法、标出户名）
张 王 李 F

二、推论2指出，经过三角形一边的中点 与另一边平行的直线必平分第三边（即经 过第三边的中点）。那么连结三角形两边 中点的线段与第三边有什么样的位置和数 A 量关系呢？
E B

A

E

B

？

F ？ C