一、平行线等分线段定理
(实例:楼梯、栅栏、百叶窗、作业纸等等)
看下面练习:
1、已知:直线l1∥l2∥l3 , 2、已知:直线 l ∥l ∥l ,AB=BC 1 2 3 AC∥A1C1 , AB=BC. 求证;A1B=BC1 求证;A1B1=B1C1
AB BC
l1 l2 l3
A
A1
l1 l2 l3
A1
A B
3 1 2 4
B
C
图1
? B1
?
C
? C1
?
C1
图2
图1
图2
练习
3、已知如图3,直线 l1∥l2∥l3 ,AB=BC. 求证; A1B1=B1C1
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ABB1E和□BCFB1
l1 l2 l3
A1
B C
A
3 ?1
E
B1
?
证明:过B1作EF∥AC,分别交l1、l3于点E、F
2 4
C1
∴EB1 =AB ,B1F=BC ∵AB=BC,∴EB1=B1F. 又∠1=∠2,∠3=∠4
l1 l2
图3
F
请同学们自己完成下面两图的证明
A B
A1 B1
l1 l2
A(A1) B C
图5
B1 C1
∴△A1B1E≌△C1B1F ∴A1B1=B1C1
l3
C
图4
C
1
l3
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得
的线段相等,那么在其他直线上截得
的线段 也相等.
? ? ? ?
图3 图4 图1
? ? ? ?
图2
? ?
图5
思考?
把问题转化为有关三 角形和平行四边形的 问题
1、在定理的证明过程中添加的辅助线起到了什么作用?
2、你还有其它的添加辅助线的方法吗?
3、如果一组平行线为三条以上,你还会证明此定理吗?
A B C A1 B1 C1
l1 l2 l3
思考
已知:直线l1∥l2∥l3∥l4 ,AB=BC=CD.
求证; A1B1=B1C1 =C1D1.
l1 l2
分析:
A
B
A1
?B1 ?C1 ?
∵直线l1∥l2∥l3 ,AB=BC. ∴A1B1=B1C1 ∵直线l2∥l3∥l4 ,BC=CD.
D1
l3
l4
C
D
∴B1C1 =C1D1
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得 的线段相等,那么在其他直线上截得 的线段也相等
l1 l2
A B C
A1
?B1 ?C1
符号语言
l3
∵直线l1∥l2∥l3 ,AB=BC.
∴ A1B1=B1C1
A
判断题
1、如图△ABC中点D、E三等分AB,DF∥EG∥BC,DF、
E
D
F G C D A M B A D E F
l1 l2 l3
EG分别交AC于点F、G,则点F、G三等分AC( ) B
2、四边形ABCD中,点M、N分别在AB、CD上若AM=BM、
DN=CN 则AD∥MN∥BC ( )
3、一组平行线,任意相邻的两平行线间的距离都相
N C
等,则这组平行线能等分线段。
(
)
)
4、如图l1∥l2∥l3且AB=BC,那么AB=BC=DE=EF (
B C
平行线等分线段定理
A E D
? F ? B
图4
如果一组平行线在一条直线 上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
A
E C
推论1
?F ? C
B
图5
推论2 经过梯形一腰的中点与底边
平行的直线,必平分另一腰. 符号语言: ∵在梯形ABCD,AD∥EF∥BC,AE=EB. ∴DF=FC
经过三角形一边的中点与
另一边平行的直线,必平分第三边. 符号语言
∵△ABC中,EF∥BC,AE=EB.
∴AF=FC
平行线等分线段定理的应用
定理作用:(1) 证明在同一直线上的线段相等;(2)把线段n等分.
例1 已知:线段AB=6cm,
C H G F M E D
求作:线段AB的五等分点.
问题1:求作一点P把线段
AB分成2:3,怎么办?
A
N
I
P
J
K
L
B
问题2:如果把△ABC的
面积分成2:3,怎么办?
C
E?
例2 如图,D,E分别是△ABC中BC边和AC边 1 的中点.求证:DE//BC且 DE ? BC. 2
证明:过D作DE? // BC. 根据推论1,E?为AC的中点,
而E是AC的中点,
A D F E
E?
C
故E与E ?重合, 即DE//BC.(同一法)
B
同样,过D作DF//AC,交BC于F,则BF=FC. ∵DE//FC,DF//EC,∴四边形DFCE是平行四边形. ∴ DE=FC.
1 1 又 ? FC ? BC ,? DE ? BC. 2 2
证明题
1、已知:如图,M、N分别为平行四边形ABCD 边AB、CD的中点.CM、AN分别交BD于点E、F. 求证:BE=EF=FD
平行四边形对边相等;一 组对边平行且相等的四边 形是平行四边形 分析:1、证CM∥AN 2、证BE=EF 3、证DF=EF
?
A F
M
? E ?
B
D
N
C
证明题
辅助线点滴:有线段中点 时,常过该点作平行线, 构造平行线等分线段定理 及推论的基本图形。
已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC, ∠ABC=900,M是CD的中点. 求证:AM=BM.
分析:过M点作ME∥AD交AB于点E 又∵在梯形ABCD中,MD=MC ∴AE=EB
A
E M D
C
B
易证ME是AB的垂直平分线
小结
辅助线点滴: 有线段中点时,常过该点作 平行线,构造平行线等分线 段定理及推论的基本图形.
1、平行线等分线段定理和两个推论 2、定理和推论的应用
A
E ? F ? C E B
(1)把线段n等分;(2)证明 在同一直线上的线段相等.
A
D ?
F ?
3、数学思想方法---转化思想. B
C
体会从特殊到一般的思考方法.
思考与练习
一、如图:有块直角三角形菜地,分配给张、王、李三家农民耕种,已知 张、王、李三家人口分别为2人、4人、6人,菜地分配方法按人口比例, 并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB,P处是三家合用的肥料仓库,所 以点P 必须是三家地的交界地
P
要求:用尺规在图中作出各家菜地的分界线
(保留作图痕迹,不写作法、标出户名)
张 王 李 F
二、推论2指出,经过三角形一边的中点 与另一边平行的直线必平分第三边(即经 过第三边的中点)。那么连结三角形两边 中点的线段与第三边有什么样的位置和数 A 量关系呢?
E B
A
E
B
?
F ? C