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空间向量与立体几何期末复习专题


空间向量与立体几何
1.如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形, EF ∥ AB , EF ? FB ,

AB ? 2 EF , ?BFC ? 90? , BF ? FC , H 为 BC 的中点。
E F C H B

(1)求证: FH ∥平面 EDB ; (2)求证: AC ? 平面 EDB



D

G

1题

(3)求二面角 B ? DE ? C 的大小。

2题

A

2.已知三棱锥 P ? ABC 中 , PA ? 面 ABC , AB ? AC , PA ? AC ? 分别 为 PB, BC 的中点.

1 AB , N 为 AB 上一点 , AB ? 4 AN, M , S 2

(Ⅰ)证明: CM ? SN ;(Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

E 、 F 分别是棱 BC , CC1 上的点, CF ? AB ? 2CE , 3.在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

AB : AD : AA1 ? 1: 2 : 4
(1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值; (2)证明 AF ? 平面 A 1ED ; (3)求二面角 A1 ? ED ? F 的正弦值。 5题 4题

4.如图,圆柱 OO1 内有一个三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , 三棱柱的底面为圆柱底面的内接 ?, 且 AB 是圆 O 的直径。 (I)证明:平面 A1 ACC1 ? 平面 B1 BCC1 ; (II)设 AB ? AA1 , 在圆柱 OO1 内随机选取一点,记该点取自三棱柱 ABC ? A1 B1C1 内的概率为 p 。 (i)当点 C 在圆周上运动时,求 p 的最大值;
0 0 (ii)记平面 A1 ACC1 与平面 B1OC 所成的角为 ? ( 0 ? ? ? 90 ) 。当 p 取最大值时,求 cos ? 的值。

5.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD, AP ? AB ? 2, BC ? 2 2, E, F 分别 是 AD, PC 的中点. (Ⅰ)证明: PC ? 平面 BEF ; (Ⅱ)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小。 6.四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 底面ABCD , PA ? AB ? 2 , 点 E 是棱 PB 的中点.
B M D

A

7题

C

(I)证明: AE ? 平面PBC ; (II)若 AD ? 1 ,求二面角 B ? EC ? D 的平面角的余弦值.

?BCD 与 ?MCD 都是边长为 2 的正三角形, 7. 如图, 平面 MCD ? 平面 BCD ,AB ? 平面 BCD ,AB ? 2 3 .
(1)求直线 AM 与平面 BCD 所成的角的大小; (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成的二面角的正弦值. 8.已知正方体 ABCD ? A? B?C? D? 的棱长为 1,点 M 是棱 AA? 的中点,点 O 是对角线 BD? 的中点. (Ⅰ)求证: OM 为异面直线 AA? 和 BD? 的公垂线; (Ⅱ)求二面角 M ? BC ? ? B? 的大小; (Ⅲ)求三棱锥 M ? OBC 的体积. 9.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,

PO ? 3 ,E、F 分别是 BC、AP 的中点.
(1)求证:EF∥平面 PCD; (2)求二面角 A—BP—D 的余弦值.

11 题 9题 10 题

10.某组合体由直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 与正三棱锥 B ? ACD 组成,如图所示,其中, AB ? BC .它的正 视图、侧视图、俯视图的面积分别为 2 2 ? 1,1,2 2 ? 1. (1)求直线 CA1 与平面 ACD 所成角的正弦; (2)在线段 AC1 上是否存在点 P, 使 B1 P ? 平面 ACD ,若存在,确定点 P 的位置;若不存在,说明理由. 11.如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中 , AA 1 ? 面 ABC, BC ? AC, BC ? AC ? 2, AA 1 ? 3, D 为 AC 的中点。 (Ⅰ)求证: AB1 // 面 BDC1 ;(Ⅱ)求二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值
? 12.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90 , AP ? BP ? AB , PC ? AC .

(Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 APB 的距离. A

P

D

B

C

参考答案
1. 【解析】选 A.∵点 A 关于 x 轴对称点的规律是在 x 轴上的坐标不变,在 y 轴,z 轴上的坐标分别变为相反数, ∴点 A(-3,1,-4)关于 x 轴的对称点的坐标为(-3,-1,4). 2. 【解析】选 B.以 A 为坐标原点,AC、AA1 分别为 y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系.设底面边长为 2a.侧棱长为 2b.

3.D 4.D 5.C 6.A 7.64 8.3 9. (1) (2) (4) 10.解: (1)证明:取 PD 的中点 G,连接 FG、CG

∵FG 是△PAD 的中卫县,∴FG 在菱形 ABCD 中,AD ∴CE

1 AD 2 ,

BC,又 E 为 BC 的中点,

FG,∴四边形 EFGC 是平行四边形,

∴EF∥CG 又 EF ? 面 PCD,CG ? 面 PCD, ∴EF∥面 PCD (2)法 1:以 O 为原点,OB,OC,OP 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如

图所示的空间直角坐标系。 则 0(0,0,0) ,A(0, ? 3 ,0) ,B(1,0,0) P (0,0, 3 )

AB =(1, 3 ,0) AP =(0, 3 , 3 )
设面 ABP 的发向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

? ?n ? AB ? 0 ? ? ?n ? AP ? 0

,即

? ?x ? 3 y ? 0 ? ? ? 3 y ? 3z ? 0



?x ? ? 3 y ? ?z ? ? y

取 n ? ( 3,?1,1) 又 OA ? OP ? 0 , OA ? OB ? 0 , ∴OA⊥面 PBD,∴ OA 为面 PBD 的发向量, ∴ OA =(0, ? 3 ,0)

cos ? n, OA ??

n ? OA | n || OA |

?

3 5? 3

?

5 5

.

5 所以所求二面角的余弦值为 5
法 2:在菱形 ABCD 中,AC⊥BD, ∵OP⊥面 ABCD,AC ? 面 ABCD, ∴AC⊥OP,OP ? BD=0, ∴AC⊥面 PBD,AC⊥BP, 在面 PBD 中,过 O 作 ON⊥PB,连 AN,PB⊥面 AON,则 AN⊥PB。 即∠ANO 为所求二面角的平面角 AO=ABcos30°= 3 在 Rt△POB 中,

ON ?

OP ? OB 3 ? BP 2 , 15 2

AN ? OA2 ? ON 2 ?


3 ON 5 ANO ? ? 2 ? AN 5 15 2 ∴cos∠ 。
5 所以所求二面角的余弦值为 5
11. 【解析】

解:(1)设BA ? BC ? BD ? a, BB1 ? b 1 ? ab ? a 2 ? 2 2 ? 1 ? ? ? ?a ? 2 2 由条件 ? ?? ? ?b ? 2 ? 1 a2 ? 1 ? ?2

以点B为原点,分别以BC、BB1、BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则 A(0, 0, 2), C ( 2, 0, 0), D(0, ? 2, 0), B1 (0, 2, 0), C1 ( 2, 2, 0), A1 (0, 2, 2) ? ? 2 ? 2 2 2 ? ? ??? 2 2? ? ?ACD的重心G ? , ? , ? a ? BG = , ? , ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 为平面ACD的法向量. 3 3 3 3 ? ? ? ? 2 2 ? ???? ? ???? 6 3 又CA1 ? (? 2, 2, 2), 则 cos a, CA1 ? ? 6 6 2 2? 3 ? 所求角的正弦值为 6 6

??? ? ???? ? (2)令 AP ? m AC1 ? 2m, 2m, ? 2m ???? ???? ??? ? ? B1 P ? B1 A ? AP ? 2m, 2m ? 2, 2 ? 2m ? ? a

?

?

?

?

? 2 ? ? 2m ? 3 ? ? 2 ? ? ? 2m ? 2 ? ? ? ? 无解 3 ? ? 2 ? ? 2 ? 2m ? 3 ? ? ? 不存在满足条件的点P.
12.解: (1)连接 B1C,交 BC1 于点 O,则 O 为 B1C 的中点, ∵D 为 AC 中点 ∴OD∥B1A

又 B1A ? 平面 BDC1,OD ? 平面 BDC1 ∴B1A∥平面 BDC1 (2)∵AA1⊥面 ABC,BC⊥AC,AA1∥CC1

∴CC1⊥面 ABC

则 BC⊥平面 AC1,CC1⊥AC

如图以 C 为坐标原点,CA 所在直线为 X 轴,CB 所在直线为 Y 轴, 标系 则 C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0)

CC1 所在直线为 Z 轴建立空间直角坐

C DB 的法向量为 n ? (x, y, z) ∴设平面 1

? ????? ? ???? n ? C 1 D, n ? C1B 得 由

? x ? 3z ? 0, 2 y ? 3z ? 0 ,取 z ? 2 , 则 n ? (6,3, 2) ???? ? CC 1 ? (0,0,3) 又平面 BDC 的法向量为
? C1C, n ? ?
cos

C1 C ? n | C1C || n |

?

2 7

2 ∴二面角 C1—BD—C 的余弦值为 7

【备课资源】
1.已知两条异面直线 a、b 所成的角为 40°,直线 l 与 a、b 所成的角都等于θ ,则θ 的取值范围是( (A)[20°,90°] (C)(20°,40°] 【解析】选 A. (B)[20°,90°) (D)[70°,90°] )

取空间任一点 O,将直线 a,b,l 平移到过 O 点后分别为 a′,b′,l′,则 l′与 a′,b′所成的角即为 l 与 a,b 所成的角.当 l′与 a′,b′共面时θ 最小为 20°.当 l′与 a′,b′确定的平面垂直时,θ 最大为 90°.故θ 的 取值范围为[20°,90°].

3.如图甲,直角梯形 ABCD 中,AB∥CD, ∠DAB=

,点 M、N 分别在 AB,CD 上,且 MN⊥AB,MC⊥CB,BC=2,MB=4,

现将梯形 ABCD 沿 MN 折起,使平面 AMND 与平面 MNCB 垂直(如图乙). (1)求证:AB∥平面 DNC; (2)当 DN 的长为何值时,二面角 D-BC-N 的大小为 30°?


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