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湖南省醴陵市第二中学2014-2015学年高二下学期数学(文)练习题(10)


高二数学(文)练习题(10)
一、选择题:

1.若椭圆 ( )

x2 y2 ? ? 1 上一点 p 到椭圆一个焦点的距离 3,则点 p 到另一个焦点的距离为 16 25

A .2

B.3

C.5

D.7

2. ★★与椭



x2 y2 ? ? 1 共焦点且过点(5,-2)的双曲线标准方程是( 10 4

)

A.

x2 ? y2 ? 1 5

B.x 2 ?

y2 ?1 5

C.

x2 y 2 ? ?1 10 8

D.

y 2 x2 ? ?1 8 10

3.★★★ 若椭圆 mx 2 ? ny 2 ? 1 与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A, B 两点,过原点与线段 A, B 的中点 的直线的斜率为

2 n ,则 的值为( 2 m
B.



A.

2 2

2

C.

3 2

D.

2 9

4.★★★已知 F1 , F2 是双曲线的两个焦点, P, Q 是过点 F1 且垂直于实轴所在直线的双曲线的 弦, ?PF2 Q ? 90 0 ,则双曲线的离心率为( )

A. 2

B. 2 ? 1

C.

2 ?1

D.

2 ?1 2


5. ★★设 k ? 1 ,则关于 x, y 的方程 (1 ? k 2 ) x 2 ? y 2 ? k 2 ? 1 所表示的是( A.长轴在 y 轴上的椭圆 轴上的双曲线 6. ★★如果方程 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是( A. (0,?? ) B. (0,2) C. (1,?? ) D

B.长轴在 x 轴上的椭圆 C.实轴在 y 轴上的双曲线 D.实轴在 x



(0,1)

7. ★★双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点到一条渐近线的距离等于( 9 16



A. 3

B. 3

C. 4

D.

2

8. ★★★椭圆 A. x ? 2 y ? 0

x2 y2 ? ? 1 的弦被点 (4,2) 平分,则此弦所在的直线方程是( 36 9
B. x ? 2 y ? 4 C. 2 x ? 3 y ? 14 D. x ? 2 y ? 8



9. ★★★若方程

y2 x2 ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围是( | m | ?2 5 ? m
B. m ? 5 C. ? 2 ? m ? 2 或 m ? 5



A. ? 2 ? m ? 2

D.全体实数

10. ★★★过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 1350 的直线,交抛物线于 A, B 两 点,则 ?OAB 的面积为( ) C. p 2 D. 2 p 2

A.

2 2 p 2

B. 2 p 2

二、填空题: 11. ★★★已知斜率为 1 的直线过椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的焦点,且与椭圆交于 A, B 两点,则线段 4

AB 的长是______。
x2 y2 ? ? 1 的一个焦点为 F1 ,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴 12 3 上,则 M 点的纵坐标是______________。
12.★★★椭圆 13. ★★★给出如下四个命题:①方程 x 2 ? y 2 ? 2x ? 1 ? 0 表示的图形是圆;②椭圆椭圆

x2 y2 5 1 ? ?1 的 离 心 率 e ? ; ③ 抛 物 线 x ? 2y2 的 准 线 的 方 程 是 x ? ? ; ④ 双 曲 线 3 2 3 8 x2 y2 5 ? ?1 的 渐 近 线 方 程 是 y ? ? x 。 其 中 所 有 不 正 确 命 题 的 序 号 是 49 25 7 _______________________________。
三、解答题: 14 ★ ★ ★ 已 知 P 点 在 以 坐 标 轴 为 对 称 轴 的 椭 圆 上 , 点 P 到 两 个 焦 点 的 距 离 分 别 为

4 5 2 5 和 ,过 P 作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程。 3 3

15. ★★★★(本题满分 10 分)椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 为其上的动点,当 16 4

?F1 PF2 为钝角时,求 P 点的横坐标的取值范围。

x2 y2 ? ? 1 ,一个过点 P(2,?3) 的双曲线的长轴的端点 4 3 为椭圆的焦点,求双曲线的标准方程。
16. ★★★★已知椭圆的标准方程为:

17.★★★★★(本题选作)(本小题满分 12 分)直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1 相交于点
2 2

A, B ,问是否存在这样的实数 a ,使得 A, B 关于直线 y ? 2 x 对称?如果存在,求出实数 a ,
如果不存在,请说明理由。 答案部分:1.解析:D2.解析:A

y1 ? y2 m x ? ? ? 0 ? ?1 A( x1, y1), B( x2 , y2 ) , AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? , x1 ? x2 n y0 3 .解析:设 ,而

y0 2 m y0 2 ? ? ? x0 2 ,故 n x0 2 。故选 A 。
x2 y 2 b2 b2 ? ? 1 y ? ? PF ? 1 2 b2 a ,∴ a ,又 4 .解析:不妨设双曲线的方程为 a ,令 x ? ?c 得 b2 c2 ? a2 ? 2c ? 2c 2 2 F1F2 ? 2c , PF ? F1F2 , ?PF2Q ? 90 , 而 ∴ 1 ∴ a , ∴ a , ∴ c ? a ? 2ac ,
0
2 2 两边同时除以 a 得 e ? 2e ? 1 ? 0 , ∴ (e ? 1) ? 2 , 又∵ e ? 1 , ∴ e ?1 ?

2

2 ,∴ e ? 2 ? 1,

故选 B 。

5.解析:化曲线的方程为标准形式,因为 k ? 1 ,故选 C 。

2 ?2 6.解析:方程 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,所以 k ,解得 0 ? k ? 1 。故选 D 。
2 2

4 y ? x F ?5,0? 3 ,距离 7.解析:焦点为 ,渐近线为 k??
8.解析:利用点差法可求出直线的斜率为

d?

20 3 ?4? 1? ? ? ?3?
2

?4

。故选 C 。

1 2 ,再用直线的点斜式求出方程即可。选 D 。

10 . 解 析 : 方 程

x2 y2 ? ?1 m ?2 5?m

表示双曲线,所以

? m ? 2? ?5 ? m ? ? 0 , 解 得

?2 ? m ? 2 或m ? 5 。故选 C 。

11.解析:弦 AB 的方程

y ? ?x ?

p 2 2 ,把它与 y ? 2 px( p ? 0) 联立得关于 y 的一元二次方

程,注意到

S ?ABO ?

p y1 ? y2 4 ,用韦达定理可以求得结果。选 A 。

c ? 3, a ? 2, b ? 1, a2 ? 4 , b2 ? 1 , c2 ? 3 , 13. 解析: 不妨设 l 过右焦点, 则l : y ? x ? 3 ,
? ?y ? x ? 3 ? 2 2 2 ? x ? 4 y ? 4 ? 0 消 y 得: 5x ? 8 3x ? 8 ? 0 , 由?
?8 3 ? 8 2 3 ? ? ? 4? ? ? ? 5 5 ? 5 ?
2



x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1x2

=





AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2

2 3 2 6 2? ? 5 5 。 =

2 2 ? ?3,0? ,设点 P 的坐标为 ( x1, y1) , F 14.解析:∵ a ? 12 , b ? 3 , c ? 3 ,∴点 1 的坐标为

x1 ? m , y ? M 点的坐标为 ? 0, y ? ,则由中点坐标公式得
3

y1 3 2 ,把 x1 ? m 代入椭圆方程,得

y1 ? ?

3 3 y?? 2 ,所以点 M 的纵坐标为 4 。

15.解析:10。

16.解析:①②④。①表示的图形是一个点

?1,0? ;②

e?

7 3 y?? x 5 。 3 ;④渐近线的方程为

17.解析:设 AB 的方程为

x ? cot ? ?y ?

p 2 2 2 2 代入 y ? 2 px ,得 y ? 2 p cot ? ?y ? p ? 0 。设

2p 2 2 2 2 2 ? 2 p ?1 ? cot ? ? ? A(x1, y1), B( x 2, y 2) ,则 AB ? 1 ? cot ? ? 4 p cot ? ? 4 p sin 2 ? 。

18 . 解 析 : 设 两 焦 点 为

F1 , F2 , 且

PF1

2 5 4 5 PF2 ? 3 ,由椭圆的定义知: 3 ,

2a ? PF1 ? PF2 ?

4 5 2 5 ? ?2 5 PF1 ? PF2 ?PF1F2 为 3 3 , ∴a ? 5 。 ∵ , ∴由题意知

直 角 三 角 形 , 在

?PF1F2 中 ,

sin ?PF1F2 ?

PF2 PF1

?

1 2

, ∴

?PF1 F2 ?

?
6 , ∴

2c ? PF1 ? cos

?
6

?

10 2 15 15 b2 ? a 2 ? c2 ? c? 3 。因为焦点可以在 y 轴上, 3 ,∴ 3 ,∴

x2 3 y 2 3x 2 y 2 ? ?1 ? ?1 10 5 也可能在 y 轴上,∵椭圆的方程为 5 或 10 。

19.解析:设

P ? x0 , y0 ?
2

,椭圆的焦点的坐标为
2 2

F1 ?2 3,0

?

? , F ?2
2

3,0

? ,由余弦定理得

PF1 ? PF2 ? F1F2 cos ?F1PF2 ? ?0 2 PF1 PF2
2 2


2

? x ? 2 3? ? y ? ? x ? 2 3? ? y ? ?4 3? 2 ? x ? 2 3? ? y ? ? x ? 2 3? ? y ∴
2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0

?0




? x ? 2 3?
0

2

? y0 ? x0 ? 2 3 ? y0 ? 4 3
2 2

?

?

2

?

?

2

x0 2 y0 2 16 ? x0 2 2 ? ? 1 y ? 0 ?0 4 4 , , 又由 16 得

4 4 6 ? x0 ? 6 3 3 代入解得 。 ?

x2 y 2 ? ?1 3 20.解析:方法一:由椭圆的标准方程为 4 知:椭圆的长轴端点为 (?2,0) 和 (2,0) ,
所以,双曲线的焦点为

F1 (?2,0), F2 (2,0) ,焦点在 x 轴上且 c ? 2 。设所求双曲线的标准方程

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2a ? PF1 ? PF2 2 b 为 : a , 由 双 曲 线 的 定 义 知 ,

, ∴

2a ?

(?2 ? 2)2 ? (0 ? (?3))2 ? (2 ? 2)2 ? (0,(?3))2

= 5 ? 3 ? 2 。∴ a ? 1 ,又 c ? 2 ,∴

a 2 ? 1 , b2 ? c2 ? a2 ? 4 ? 1 ? 3 。∴双曲线的标准方程

x2 ?

y2 ?1 3 。方法二:由椭圆的标准

x2 y 2 ? ?1 3 方程是 4 , 知 椭 圆 长 轴 的 端 点 为 (?2,0) 和 (2,0) , 所 以 , 双 曲 线 的 焦 点 为 x2 y2 ? ?1 F1 (?2,0), F2 (2,0) ,焦点在 x 轴上且 c ? 2 。设双曲线的标准方程为: a 2 4 ? a 2 ,又双

曲 线 过 点 P( 2?,

4 9 ? ?1 2 2 4(4 ? a 2 ) ? 9a 2 ? a 2 ? 4 ? a 2 ? 3 ) a 4 ? a , ∴ , ∴ , ∴

a 4 ? 17a 2 ? 16 ? 0 ,∴ a 2 ? 1或a 2 ? 4 。又 a ? c ,∴ a 2 ? 4 舍去,∴ a 2 ? 1 ,∴双曲线的标

y2 x ? ?1 3 准方程 。
2

21 .解析:假设存在实数 a 满足题意,则直线 AB 与直线 y ? 2 x 垂直,故

a??

1 2 ,又设

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 在 双 曲 线 上 , 故 3x12 ? y12 ? 1, 3x22 ? y22 ? 1 , 两 式 相 减 得 :
y1 ? y2 3? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 1? ? y1 ? y2 ?

,设

M ? x0 , y0 ?

是 A, B 的中点,则

x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 y0 ? 1 2 2 ,则 M 在

2x x 3 1 3 a ? 3? 0 ? 3? 0 ? a?? a? y ? 2 x0 ,故 2 y0 y0 2 ,而 2且 2 是不可能的,所 直线 y ? 2 x 上,则 0
以假设不成立。即不存在。


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