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动量守恒定律及其应用


动量守恒定律及其应用
动量和动量守恒定律 1.动量 (1)定义:运动物体的质量和速度的乘积叫做物体的动量,通常用 p 来表示. (2)表达式:p=mv. (3)单位:kg· m/s. (4)标矢性:动量是矢量,其方向和速度方向相同. 2.动量守恒定律 (1)内容:如果一个系统不受外力,或者所受外力为 0,这个系统的总动量保持不变,这就 是动量守恒定律. (2)表达式 ①

p=p′,系统相互作用前总动量 p 等于相互作用后的总动量 p′. ②m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2,相互作用的两个物体组成的系统,作用前的动量和等于 作用后的动量和. ③Δp1=-Δp2,相互作用的两个物体动量的增量等大反向. ④Δp=0,系统总动量的增量为零. 3.动量守恒定律的适用条件 (1)不受外力或所受外力的合力为零,不是系统内每个物体所受的合外力都为零,更不能 认为系统处于平衡状态. (2)近似适用条件:系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力. (3)如果系统在某一方向上所受外力的合力为零,则系统在这一方向上动量守恒.

?1?动量是矢量,动量守恒的表达式是矢量式,应用动量守恒一定要规定正方向. ?2?动量守恒的条件和机械能守恒的条件容易混淆. 【针对训练】 1.

图 13-1-1 如图 13-1-1 所示,一辆小车静止在光滑水平面上,A、B 两人分别站在车的两端.当两 人同时相向运动时( ) A.若小车不动,两人速率一定相等 B.若小车向左运动,A 的动量一定比 B 的小 C.若小车向左运动,A 的动量一定比 B 的大 D.若小车向右运动,A 的动量一定比 B 的大 【解析】 根据动量守恒可知,若小车不动,两人的动量大小一定相等,因不知两人的 质量,故选项 A 是错误的.若小车向左运动,A 的动量一定比 B 的大,故选项 B 是错误的、 选项 C 是正确的.若小车向右运动,A 的动量一定比 B 的小,故选项 D 是错误的. 【答案】 C 碰撞、反冲和爆炸问题 1.碰撞 (1)概念:碰撞是指物体间的相互作用持续时间很短,而物体间相互作用力很大的现象. (2)特点:在碰撞现象中,一般都满足内力远大于外力,可认为相互碰撞的系统动量守恒. (3)分类
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弹性碰撞 非完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞

动量是否守恒 守恒 守恒 守恒

机械能是否守恒 守恒 有损失 损失最大

2.反冲现象 在某些情况下,原来系统内物体具有相同的速度,发生相互作用后各部分的末速度不再 相同而分开.这类问题相互作用的过程中系统的动能增大,且常伴有其他形式能向动能的转 化. 3.爆炸问题 爆炸与碰撞类似,物体间的相互作用力很大,且远大于系统所受的外力,所以系统动量 守恒,爆炸过程中位移很小,可忽略不计,作用后从相互作用前的位置以新的动量开始运动. 【针对训练】 2.在光滑水平面上,一质量为 m、速度大小为 v 的 A 球与质量为 2m 静止的 B 球碰撞后, A 球的速度方向与碰撞前相反.则碰撞后 B 球的速度大小可能是( ) A.0.6v B.0.4v C.0.3v D.0.2v 【解析】 根据动量守恒定律得:mv=2mvB-mvA 化简可得,vA=2vB-v,因 vA>0,所 v 以 vB> ,故只有 A 项正确. 2 【答案】 A 动量守恒定律的理解和应用 1.动量守恒的适用对象和条件 (1)研究对象:相互作用的物体组成的系统. (2)守恒条件 ①理想守恒:系统不受外力或所受外力的矢量和为零,则系统动量守恒. ②近似守恒:系统受到的外力矢量和不为零,但当内力远大于外力时,系统的动量可近 似看成守恒. ③分方向守恒:系统在某个方向上所受外力矢量和为零时,系统在该方向上动量守恒. 2.动量守恒定律的“五性” (1)矢量性:速度、动量均是矢量,因此列式时,要规定正方向. (2)相对性:动量守恒定律方程中的动量必须是相对于同一惯性参考系. (3)系统性:动量守恒是针对满足守恒条件的系统而言的,系统改变,动量不一定满足守 恒. (4)同时性:动量守恒定律方程等号左侧表示的是作用前同一时刻的总动量,右侧则表示 作用后同一时刻的总动量. (5)普适性:动量守恒定律不仅适用于低速宏观物体组成的系统,而且适用于接近光速运 动的微观粒子组成的系统.

应用动量守恒定律解题步骤 (1)明确研究对象,确定系统的组成(系统包括哪几个物体及研究的过程); (2)进行受力分析,判断系统动量是否守恒(或某一方向上是否守恒); (3)规定正方向,确定初末状态动量; (4)由动量守恒定律列出方程; (5)代入数据,求出结果,必要时讨论说明.

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如图 13-1-2 光滑水平轨道上有三个木块 A、B、C,质量分别为 mA=3m、mB =mC=m,开始时 B、C 均静止,A 以初速度 v0 向右运动,A 与 B 碰撞后分开,B 又与 C 发生 碰撞并粘在一起,此后 A 与 B 间的距离保持不变.求 B 与 C 碰撞前 B 的速度大小.

图 13-1-2 【解析】 设 A 与 B 碰撞后,A 的速度为 vA,B 与 C 碰撞前 B 的速度为 vB,B 与 C 碰撞 后粘在一起的速度为 v,由动量守恒定律得 对 A、B 木块:mAv0=mAvA+mBvB① 对 B、C 木块:mBvB=(mB+mC)v② 由 A 与 B 间的距离保持不变可知 vA=v③ 联立①②③式,代入数据得 6 vB= v0.④ 5 6 【答案】 v0 5 碰撞问题分析探究方法 1.求解:两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和动能守恒.以质量为 m1、速度为 v1 的小 球与质量为 m2 的静止小球发生正面弹性碰撞为例,则有 m1v1=m1v′1+m2v′2 1 1 1 m v2= m v′2+ m v′2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 ?m1-m2?v1 2m1v1 解得:v′1= ,v′2= m1+m2 m1+m2 2.结论:①当两球质量相等时,v′1=0,v′2=v1,两球碰撞后交换了速度. ②当质量大的球碰质量小的球时, 1>0, 2>0, v′ v′ 碰撞后两球都沿速度 v1 的方向运动. ③当质量小的球碰质量大的球时,v′1<0,v′2>0,碰撞后质量小的球被反弹回来.

图 13-1-3 如图 13-1-3 所示,质量分别为 1 kg、3 kg 的滑块 A、B 位于光滑水平面上,现使滑块 A 以 4 m/s 的速度向右运动, 与左侧连有轻弹簧的滑块 B 发生碰撞. 求二者在发生碰撞的过程中. (1)弹簧的最大弹性势能; (2)滑块 B 的最大速度. 【解析】 (1)当弹簧压缩最短时,弹簧的弹性势能最大,此时滑块 A、B 同速. 由动量守恒定律得 mAv0=(mA+mB)v mAv0 1×4 解得 v= = m/s=1 m/s mA+mB 1+3 弹簧的最大弹性势能即滑块 A、B 损失的动能 1 1 Epm= mAv2- (mA+mB)v2=6 J. 0 2 2 (2)当弹簧恢复原长时,滑块 B 获得最大速度, 由动量守恒和能量守恒得 mAv0=mAvA+mBvm 1 1 1 m v2= m v2 + m v2 2 A 0 2 B m 2 A A 解得 vm=2 m/s. 【答案】 (1)6 J (2)2 m/s

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实验:验证动量守恒定律 1.方案一:利用气垫导轨完成一维碰撞实验 (1)测质量:用天平测出滑块质量. (2)安装:正确安装好气垫导轨. (3)实验:接通电源,利用配套的光电计时装置测出两滑块各种情况下碰撞前后的速度(① 改变滑块的质量.②改变滑块的初速度大小和方向). (4)验证:一维碰撞中的动量守恒. 2.方案二:利用等长悬线悬挂等大小球完成一维碰撞实验 (1)测质量:用天平测出两小球的质量 m1、m2. (2)安装:把两个等大小球用等长悬线悬挂起来. (3)实验:一个小球静止,拉起另一个小球,放下时它们相碰. (4)测速度:可以测量小球被拉起的角度,从而算出碰撞前对应小球的速度,测量碰撞后 小球摆起的角度,算出碰撞后对应小球的速度. (5)改变条件:改变碰撞条件,重复实验. (6)验证:一维碰撞中的动量守恒. 3.方案三:在光滑桌面上两车碰撞完成一维碰撞实验 (1)测质量:用天平测出两小车的质量. (2)安装:将打点计时器固定在光滑长木板的一端,把纸带穿过打点计时器,连在小车的 后面,在两小车的碰撞端分别装上撞针和橡皮泥. (3)实验:接通电源,让小车 A 运动,小车 B 静止,两车碰撞时撞针插入橡皮泥中,把两 小车连接成一体运动. Δx (4)测速度:通过纸带上两计数点间的距离及时间由 v= 算出速度. Δt (5)改变条件:改变碰撞条件,重复实验. (6)验证:一维碰撞中的动量守恒. 4.方案四:利用斜槽上滚下的小球验证动量守恒定律(1)用天平测出两小球的质量,并选 定质量大的小球为入射小球. (2)按照如图 13-1-4 所示安装实验装置,调整固定斜槽使斜槽底端水平.

图 13-1-4 (3)白纸在下,复写纸在上,在适当位置铺放好.记下重垂线所指的位置 O. (4)不放被撞小球,让入射小球从斜槽上某固定高度处自由滚下,重复 10 次.用圆规画尽 量小的圆把所有的小球落点圈在里面,圆心 P 就是小球落点的平均位置. (5)把被撞小球放在斜槽末端,让入射小球从斜槽同一高度自由滚下,使它们发生碰撞, 重复实验 10 次.用步骤(4)的方法,标出碰后入射小球落点的平均位置 M 和被碰小球落点的 平均位置 N.如图 13-1-5 所示.

图 13-1-5 (6)连接 ON,测量线段 OP、OM、ON 的长度.将测量数据填入表中.最后代入 m1 OP = m1 OM +m2 ON ,看在误差允许的范围内是否成立.

(1)若利用气垫导轨进行实验,调整气垫导轨时,注意利用水平仪确保导轨水平.
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(2)若利用摆球进行实验,两小球静止悬挂时球心应在同一水平线上,且刚好接触,摆线 竖直,将小球拉起后,两条摆线应在同一竖直面内. (3)若利用长木板进行实验,可在长木板下垫一小木片用以平衡摩擦力. (4)若利用斜槽进行实验, 安装实验装置时, 应注意调整斜槽使斜槽底端水平, m 入>m 撞. 且 某同学利用打点计时器和气垫导轨做验证动量守恒定律的实验. 气垫导轨装置如 图 13-1-6(a)所示,所用的气垫导轨装置由导轨、滑块、弹射架等组成.在空腔导轨的两个 工作面上均匀分布着一定数量的小孔,向导轨空腔内不断通入压缩空气,空气会从小孔中喷 出,使滑块稳定地漂浮在导轨上,这样就大大减小了因滑块和导轨之间的摩擦而引起的误差.

图 13-1-6 实验的主要步骤: ①安装好气垫导轨,调节气垫导轨的调节旋钮,使导轨水平; ②向气垫导轨通入压缩空气; ③把打点计时器固定在紧靠气垫导轨左端弹射架的外侧,将纸带穿过打点计时器与弹射 架并固定在滑块 1 的左端,调节打点计时器的高度,直至滑块拖着纸带移动时,纸带始终在 水平方向; ④使滑块 1 挤压导轨左端弹射架上的橡皮绳; ⑤把滑块 2 放在气垫导轨的中间; ⑥先________,然后________,让滑块带动纸带一起运动; ⑦取下纸带,重复步骤④⑤⑥,选出理想的纸带如图 13-1-6(b)所示; ⑧测得滑块 1 的质量为 310 g,滑块 2(包括橡皮泥)的质量为 205 g.完善实验步骤⑥的内 容. (2)已知打点计时器每隔 0.02 s 打一个点,计算可知两滑块相互作用以前系统的总动量为 ________kg· m/s;两滑块相互作用以后系统的总动量为________kg· m/s(保留三位有效数字). (3)试说明(2)中两结果不完全相等的主要原因是 ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 【解析】 (1)实验时应先接通打点计时器的电源,再放开滑块. (2)作用前系统的总动量为滑块 1 的动量 p0=m1v0. 0.2 v0= m/s=2 m/s, 0.1 p0=0.31×2 kg· m/s=0.620 kg· m/s 作用后系统的总动量为滑块 1 和滑块 2 的动量和, 且此时两滑块具有相同的速度 v, 0.168 v= m/s=1.2 m/s, 0.14 p=(m1+m2)v=(0.310+0.205)×1.2 kg· m/s=0.618 kg· m/s. (3)存在误差的主要原因是纸带与打点计时器限位孔有摩擦. 【答案】 (1)接通打点计时器的电源 放开滑块 (2)0.620 0.618 (3)纸带与打点计时器限位孔有摩擦
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