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圆的标准方程


一、创设情境

引入新课

戒 指

水波

奥运五环

盘子

解 析 几 何 的 基 本 思 想

y

y




l : Ax ? By ? C ? 0



y0
0

P0 (x0,y0)

o

x

思考1、在平面直角坐标系中,两点确定一条直线,一点和倾斜角也确定一条直线, 那么在什么条件下可以确定一个圆呢?

圆在坐标系下有什么样的方程?
解 析 几 何 的 基 本 思 想

y

x O
思考2.直线可以用一个方程表示, 圆也可以用一个方程来表示吗? 怎样建立圆的方程是我们需要探究的问题.

安徽省凤阳中学 朱秀山

知识探究一:圆的标准方程

思考3、什么是圆?
圆可以看成是平面上的一条曲线,在平面几何中,圆 是怎样定义的?如何用集合语言描述以点A为圆心,r 为半径的圆?

P={M||MA|=r}
M

r
A

平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆.

思考4、确定圆有需要几个要素?

圆心--确定圆的位置(定位) 半径--确定圆的大小(定形)

思考5、已知圆心为A(a,b),半径为r,设圆上任一点M坐标为(x,y), 如何求该圆的方程?

求方程的一般步骤:
建系设点

y r A

M

找关系式列方程

O
化简方程

x

一.圆的标准方程 如图,在直角坐标系中,圆心C的位置用坐标 (a,b) 表示,半径 r的大小等于圆上任意点M(x, y)与 圆心C (a,b) 的距离. y M(x,y) 则 |MC|= R 圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = R } O C x

2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b)

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? R
2 ?R

圆心C(a,b),半径r

y

M(x,y)

O

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

C

x

圆的标准方 程 若圆心为O(0,0),则圆的方程为:

x ?y ?r
2 2

2

圆的标准方程:
2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 我们把方程 称为以

A(a,b)圆心,r为半径长的圆的标准方程
思考6、那么确定圆的标准方程需要几个 独立条件?
思考7、以原点为圆心,1为半径的圆称为 单位圆,那么单位圆的方程是什么?

x2+y2=1

随堂练习
1 (口答) 求圆的圆心及半径 (2)、(x+1)2+y2=1
y

(1)、x2+y2=4
y

-2 C(0、0)

0

2
r=2

x

-1

0

x

C(-1、0)

r=1

2、写出下列圆的方程: (1)圆心在原点,半径为3; (2)圆心在(-3、4),半径为 (1) x2+y2=9 (2) (x+3)2+(y-4)2=5

5 .

能力提升
1、方程

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

2 2

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2 2 2

( x ? a ) ? ( y ? b) ? m
,能表示圆吗

2。方程

与 y ? 4 ? ( x ? 1)2

表示的曲线分别是什么?

探究二:点与圆的位置关系
思考8:初中学过点与 圆有哪几种位置关系?如何确定点 与圆的位置关系?

A

A

A
O

O

O

|OM|<r 点在圆内

|OM|=r 点在圆上

|OM|>r 点在圆外

思考9、怎样判断点 M 0 ( x0 , y0 ) 在圆 ( x ? a) 内呢?圆上?还是在圆外呢?

2

? ( y ? b) ? r
2

2

y M2

M3

C

o

M1

x

二.点与圆的位置关系

点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外. M ( x0 , y 0 ) M ( x0 , y 0 )

M ( x0 , y 0 ) O ( a, b)

O(a, b)

O(a, b)

典型例题
例1 写出圆心为 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的方 程,并判断点 M1 (5,?7) , M 2 (? 5 ,?1)是否在这个圆上。 解:圆心是 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标准方 程是:

( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25

2 2 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25 把 M1 (5,?7)的坐标代入方程 左右两边相等,点 M 1的坐标适合圆的方程,所以点

M 1在这个圆上;
把点 M 2 (? 5 ,?1) 的坐标代入此方程,左右两边 不相等,点M 2的坐标不适合圆的方程,所以点 M 2不 在这个圆上.

练习1

点P( m ,5)与圆x2+y2=25的位置关系
( )

A在圆外 C在圆内

B在圆上 D在圆上或圆外

思考题: 集合{(x,y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2} 表示的图形是什么?
y r A o x

典型例题
例2 ?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, -3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.

解:设所求圆的方程是 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (1)
因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上,所以 它们的坐标都满足方程(1).于是

?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ( 7 ? a ) ? ( ? 3 ? b ) ? r ? ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?
所求圆的方程为

?a?2 ? ? ?b ? ? 3 ? r ?5 ?
待定系数法

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

y
L2

A(5,1) R
O
7

D

x B(7,-3)

L1

E
C(2,-8)

典型例题 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2), 且圆心C在直线 l:x -y +1=0上,求圆心为C的圆的 标准方程.
y A(1,1) O C 弦AB的垂 直平分线

D

x B(2,-2)

l : x ? y ?1 ? 0
圆心:两条直线的交点 半径:圆心到圆上一点

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程. 解1:∵A(1,1),B(2,-2)
3 1 ?2 ? 1 ? 线段AB的中点D( , ? ), k AB ? ? ?3. 2 2 2 ?1 1 1 3 ? 线段AB的垂直平分线CD的方程为:y+ ? ( x ? ). 2 3 2

?x ? y ?1 ? 0 ? x ? ?3 联立直线l , CD的方程: , 解得: ? ? ?x ? 3y ? 3 ? 0 ? y ? ?2

即:x-3y-3=0

∴圆心C(-3,-2)

? r ? AC ? (1 ? 3)2 ? (1 ? 2) 2 ? 5.

?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.
2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r , 解2:设圆C的方程为

∵圆心在直线l:x-y+1=0上

待定系数法

圆经过A(1,1),B(2,-2) ?a ? b ? 1 ? 0 ? a ? ?3 ? ? 2 2 2 ? ?(1 ? a ) ? (1 ? b) ? r ? ?b ? ? 2 ?(2 ? a ) 2 ? (?2 ? b) 2 ? r 2 ?r ? 5 ? ?
?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

变式演练
圆心为A(3,?1) 半径长等于5的圆的方程 (
A (x – 3 )2+(y – 1 )2=25 C (x – 3 )2+(y + 1 )2=5

)

B (x – 3 )2+(y + 1)2=25 D (x + 3 )2+(y – 1 )2=5

变式一 圆心在C(8,-3),且经过点M(5,1)的 圆的方程? 尝试高考(2012重庆高考题) 变式二 以点(2,-1)为圆心且与直线 3x-4y+5=0相切的圆的方程为 ( )
A (x – 2 )2+(y +1 )2=3 C (x – 2 )2+(y +1 )2=9 B (x + 2 )2+(y -1 )2=3 D (x + 2 )2+(y – 1)2=3

小结:
一、

( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 圆的标准方程
2 2

2

y

M

C
O

x

圆心C(a,b),半径r

x 特别的若圆心为O(0,0),则圆的标准方程为: 二、点与圆的位置关系: 2 2 2 ? x ? a ? y ? b ? r ?0 ? ? 0 ? (1)点P在圆上
2 ? x ? a ? y ? b ? r ? ? ? ? (2)点P在圆内 0 0 2 2 2 ? x ? a ? y ? b ? r (3)点P在圆外 ? 0 ? ? 0 ? 2 2

2

?y ?r
2

2

三、求圆的标准方程的方法:
1 代数方法:待定系数法求 2 几何方法:数形结合

作业布置

P120 P124

练习1、2、3 习题A组1、2

将标准方程展开,是一个什么形式? 它有什么特点?


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