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空间中的垂直关系


同校同学岂愿久居人后,

同班同学焉能甘拜下风!

高一数学《空间中的垂直关系——直线与平面垂直》学案
编号:40
制作人:马中明 审核人:郭明珍 制作时间 2013.12.10

学习目标: (1)理解线线垂直及线面垂直的定义; (2)理解并掌握线面垂直的判定及性质。 课前预习: 1、 两条直线互相

垂直的定义: ______________________________________________. 想一想: (1)两条直线互相垂直一定有垂足吗?(以正方体为例说明)

(2) 两条直线互相垂直可分为哪些种情况? (以正方体为例说明)

(3)在空间中直线 a 、 b 、 l ,满足 a ? l , b ? l ,那么直线 a 、 b 的位置关系如何? (以正方体为例说明)

(4) 在空间中线段 AB 的垂直平分线有多少条?线段 AB 的垂直平分线构成的集合是 怎样的图形?

(5) 线段 AB 的垂直平分线 l 以直线 AB 为旋转轴旋转,直线 l 的轨迹是怎样的图形?

2、直线和平面垂直的定义:________________________________________________ ____________________________________. 想一想:(1)日常生活中直线和平面垂直的现象。

(2)已知直线 l ? ? ,垂足为 o ,直线 m 为平面 ? 内的任意一条直线,试 判断直线 l 与直线 m 的位置关系并说明理由。

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(3) 根据(2)提炼一个结论:______________________________________ ________________________________. 3、根据哪些条件可以判定直线和平面垂直? 直线和平面垂直判定定理: ________________________________________________. 想一想: (1)如果一条直线与平面内的两条平行直线垂直,这条直线一定垂直这个 平面吗? (2)如果一条直线与平面内的无限多条直线垂直,这条直线一定垂直这个 平面吗? 推论 1 ___________________________________________ 已知:直线 l // m , l ? ? ,求证: m ? ? 。

推论 2

___________________________________________ 已知: 直线 l ? ? , 直线 m ? ? , 垂足分别为 A、B , 求证:l // m 。

精典范例: 例 1、过一点和已知平面垂直的直线只有一条。 已知:平面 ? 和一点 P ,求证:过点 P 与 ? 垂直的 直线只有一条。

例 2、 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行; (2)如何定义两平行平面的距离? 已知:直线 l ? 平面 ? ,直线 l ? 平面 ? ,垂足分别为 A、B ,求证 ? // ? 。

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例 3、有一根旗杆 AB 高 8m ,它的顶端 A 挂着两条长 10m 的绳子。拉紧绳子,并 把它的下端放在地面上的两点 C ,D(和旗杆脚不在同一条直线上) 。如果这两点都和 旗杆脚 B 的距离是 6m ,那么旗杆就和地面垂直,为什么?

例 4、已知:直线 l ? 平面 ? ,垂足为 A,直线 AP ? l 。求证:AP 在 ? 内。

课堂练习: 1、如果一条直线垂直于一个平面内的: (1)三角形的两条边; (2)梯形的两条边; (3)圆的两条直径。 试问这条直线是否与平面垂直,并对你的判断说明理由。 2、 已知: 在平面 ? 内有 ? ABCD , o 是它的对角线的交点, P 在 ? 外, PA ? PC , 点 点 且 PB ? PD 。求证: PO ? ?

3、已知:空间四边形 ABCD 中,AB=AC,DB=DC,求证:BC ? AD.

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4、已知:平面 ? // 平面 ? ,直线 l ? 平面 ? ,求证直线 l ? 平面 ? 。

巩固练习: 1、在正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 的中点,G 是 EF 的中点,现在沿 AE、 AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形, B、 D 三点重合, 使 C、 重合后的点记为 H, 那么在这个空间图形中必有 ( ) A、AH ?? EFH 所在平面 B、AG ?? EFH 所在平面 C、HF ?? AEF 所在平面 D、HG ?? AEF 所在平面

2、 已知: 空间四边形 ABCD 中, BC=AC, AD=BD, BE ? CD , 为垂足, AH ? BE 引 E 作 于点 H, 求证:AH ? 平面 BCD.

3、已知:P 是 ? ABC 所在平面外一点,PA、PB、PC 两两垂直,H 是 ? ABC 的垂心。 求证:PH ? 平面 ABC.

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高一数学《空间中的垂直关系——平面与平面垂直》学案
编号:41
制作人:马中明 审核人:郭明珍 制作时间 2013.12.10

学习目标: 1.理解并掌握面面垂直的有关性质定理与判定定理 2. 面面垂直的有关性质与判定定理的灵活运用 课前预习:

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课内探究: 探究一: 例 1: 给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也 不垂直. 其中,为真命题的是( A. ①和② ④ 探究二: 例 2. 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形, MA ? 平面 ABCD , PD // MA , E 、 G 、 F 分别 为 MB 、 PB 、 PC 的中点,且 AD ? PD ? 2MA . 求证:平面 EFG ? 平面 PDC ;
M

) B. ②和③ C. ③和④ D. ②和

P

F G D E C B

A

变式训练:如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,M、 N 分别是 AB、PC 的中点,PA=AD=a. (1)求证:MN⊥平面 PCD; (2)求证:平面 PMC⊥平面 PCD.

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巩固练习:

3、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC , △PAD 是 等边三角形,已知 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2 DC ? 4 5 . (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积.
D A M C P

B

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