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1.3函数单调性教师卷


1.3 函数的单调性与最值 一、基础理论:

1. 函数单调性的定义:

①如果函数 f ?x ? 对区间 D 内的任意 x1 , x 2 , 当 x1 ? x 2 时都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? , 则 f ?x ? 在 D 内是增函数;当 x1 ? x 2 时都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,则 f ?x ? 在

D 内时减函数。

f ? ? x? ? 0 ②设函数 y ? f ( x) 在某区间 D 内可导, 若 , 则 y ? f ( x) 为 x ? D 的增函数;


f ? ? x? ? 0

,则 y ? f ( x) 为 x ? D 的减函数.

2. 单调性的定义①的等价形式:

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ? f ?x ? ? a, b? 是增函数; x ? x ? ? x , x ? a , b 1 2 1 2 设 ,那么 在 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ? f ?x ? ? a, b? 是减函数; x1 ? x2 在

? x1 ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ??0 ?
3. 复合函数单调性的判断:同增异减法则 4. 函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.

f ( x) 在 ? a, b? 是减函数。

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ( x1 , x2 ? D ); 即若 f ( x ) 在区间 D 上递增(递减)且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 .( x1 , x2 ? D ). 若 f ( x ) 在区间 D 上递递减且
①比较函数值的大小②可用来解不等式.③求函数的值域或最值等 5.判断函数的单调性的方法有:?1? 用定义;? 2 ? 用已知函数的单调性;? 3? 利用函数的导数; (减) 函数, 那么 f ( x ) 在 D 的任一非空子区间上也是增 (减) ? 4 ? 如果 f ( x) 在区间 D 上是增 函数 ? 5 ? 图象法; ? 6 ? 复合函数的单调性结论: “同增异减”

? 7 ? 奇函数在对称的单调区间

内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.

?8? 在公共定义域内,增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数;减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是
减函数;增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数;减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数。

(9) 函数 y ? ax ?
? ?

? ? b? ? b b ?? , ? 或 , ?? (a ? 0, b ? 0) 在 ? ? ? ? ? ? 上单调递增; a? ? a x ? ?

在 ??

b ? ? b? ,0? 或 0 , ? ? 上是单调递减。 ? ? a ? a? ?

二、典型例题讲解: 题型一 函数单调性的判断 ax 例 1.讨论函数 f(x)= 2 (a>0)在 x∈(-1,1)上的单调性. x -1 思维启迪 可根据定义,先设-1<x1<x2<1,然后作差、变形、定号、判断.
1



设-1<x1<x2<1, ax1 ax2 - 2 x1 -1 x2 2-1

则 f(x1)-f(x2)=

2 ax1x2 2-ax1-ax2x1+ax2 a?x2-x1??x1x2+1? = = . 2 2 ?x2 ?x2 1-1??x2-1? 1-1??x2-1?

∵-1<x1<x2<1,
2 ∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x1 -1)(x2 2-1)>0.

又∵a>0,∴f(x1)-f(x2)>0, ∴函数 f(x)在(-1,1)上为减函数. 思维升华 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤:

跟踪训练一: 1.已知 a>0,函数 f(x)=x+ 上是增函数; (1)证明 设 x1,x2 是任意两个正数,且 0<x1<x2, a? ? a? 则 f(x1)-f(x2)=? ?x1+x ?-?x2+x ?
1 2

a (x>0),证明:函数 f(x)在(0, a]上是减函数,在[ a,+∞) x



x1-x2 (x x -a). x1x2 1 2

当 0<x1<x2≤ a时,0<x1x2<a,又 x1-x2<0, 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 所以函数 f(x)在(0, a]上是减函数; 当 a≤x1<x2 时,x1x2>a,又 x1-x2<0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在[ a,+∞)上是增函数. 题型二、求函数的单调区间 例 2. 判断下列函数的单调区间; (1)y=x -3|x|+2; (2)
2
2

解:(1)由图象对称性,画出草图

∴f(x)在 递增.

上递减, 在

上递减, 在



(2) ∴图象为

∴ f(x) 在 上递增. (3)求函数 y= x2+x-6的单调区间. 解 令 u=x2+x-6,y= x2+x-6可以看作有 y= u与 u=x2+x-6 的复合函数. 由 u=x2+x-6≥0,得 x≤-3 或 x≥2. ∵u=x2+x-6 在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而 y= u在(0,+ ∞)上是增函数. ∴y= x2+x-6的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞). 跟踪训练二: 【变式 1】求下列函数的单调区间:

(1)y=|x+1|; (2)

(3)

.

解:(1)

画出函数图象,
3

∴函数的减区间为

,函数的增区间为(-1,+∞);

(2)定义域为

,其中 u=2x-1 为增函数,

在(-∞,0)与(0,+∞)为减函数,则 为减函数;



(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 间为(0,+∞). 总结升华: [1]数形结合利用图象判断函数单调区间;

单调增区间为:(-∞,0),单调减区

[2]关于二次函数单调区间问题,单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析:先求函数的定义域;再将复合函数分解为内、外层函数; 利用已知函数的单调性解决.关注:内外层函数同向变化→复合函数为增函数;内外层函数 反向变化→复合函数为减函数.

题型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小 值)
例 3. 已知函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较 f(a2-a+1)与

的大小.

解:

又 f(x) 在 (0 , + ∞ ) 上 是 减 函 数 , 则

. 例 4. 求下列函数值域:

(1)



1)x∈[5,10]; 2)x∈(-3,-2)∪(-2,1);

(2)y=x2-2x+3; 1)x∈[-1,1]; 2)x∈[-2,2]. 思路点拨:(1)可应用函数的单调性;(2)数形结合.

解: (1) 位得到,如图

2 个单位, 再上移 2 个单

4

1)f(x)在[5,10]上单增,



2) (2)画出草图



1)y∈[f(1),f(-1)]即[2,6]; 跟踪训练三:

2)

.

1 1 1. 函数 f(x)= 在区间[a,b]上的最大值是 1,最小值是 ,则 a+b=________. 3 x-1 (2)易知 f(x)在[a,b]上为减函数, f?a?=1, ?a-1=1, ? ? ∴? 即? 1 1 1 f?b?= , ? 3 ? ? =3, b-1 ∴a+b=6. 1
?a=2, ? ∴? ?b=4. ?

2.已知函数

.
5

(1)判断函数 f(x)的单调区间; (2)当 x∈[1,3]时,求函数 f(x)的值域. 思路点拨:这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间,但对解析式稍作处理,即

可得到我们相对熟悉的形式. 域.

,第二问即是利用单调性求函数值

解:(1)

上单调递增,在

上单调递增;

(2)

故函数 f(x)在[1,3]上单调递增

∴x=1 时 f(x)有最小值,f(1)=-2

x=3 时 f(x)有最大值

∴x∈[1,3]时 f(x)的值域为

.

3.求 f(x)=x2-2ax-1 在区间[0,2]上的最大值和最小值. 【答题模板】 解 f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为 x=a. (1) 当 a<0 时,由图①可知,f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.[3 分]

(2)当 0≤a<1 时,由图②可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a.[6 分] (3)当 1<a≤2 时,由图③可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(0)=-1.[9 分]

(4)当 a>2 时,由图④可知,f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1. 综上,(1)当 a<0 时,f(x)min=-1,f(x)max=3-4a; (2)当 0≤a<1 时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=3-4a; (3)当 1<a≤2 时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=-1; (4)当 a>2 时,f(x)min=3-4a,f(x)max=-1.[12 分]
6

题型四 利用函数的单调性求参数 例 4.(1)如果函数 f(x)=ax2+2x-3 在区间(-∞,4)上是单调递增的, 则实数 a 的取值范围是 ( 1 A.a>- 4 解析 递增; 1 当 a≠0 时,二次函数 f(x)的对称轴为 x=- , a 因为 f(x)在(-∞,4)上单调递增, 1 1 所以 a<0,且- ≥4,解得 0>a≥- . a 4 1 综合上述得- ≤a≤0. 4
??2-a?x+1,x<1, ? f?x1?-f?x2? (2)已知 f(x)=? x 满足对任意 x1≠x2, 都有 >0 成立, x1-x2 ? a , x ≥ 1 , ?

)

1 B.a≥- 4

1 C.- ≤a<0 4

1 D.- ≤a≤0 4

(1)当 a=0 时,f(x)=2x-3,在定义域 R 上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调

那么 a 的取值范围是________. 思维启迪 利用函数的单调性求参数或参数的取值范围,解题思路为视参数为已知数, 依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参. (2)由已知条件得 f(x)为增函数, 2-a>0 ? ? ∴?a>1 , ? ??2-a?×1+1≤a 3 3 解得 ≤a<2,∴a 的取值范围是[ ,2). 2 2 思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:①若函数在区间

[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;②分段函数的单调性, 除各段要单调外,还要注意衔接点的取值. 跟踪训练 4. x-5 (1)函数 y= 在(-1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是( x-a-2 A.a=-3
x

)

B.a<3

C.a≤-3

D.a≥-3

a ?x>1?, ? ? (2)已知 f(x)=?? a? 是 R 上的单调递增函数, 则实数 a 的取值范 4- x+2 ?x≤1? ? 2 ? ? ? 围为
7

(

)

A.(1,+∞) 答案 解析 (1)C (2)B

B.[4,8)

C.(4,8)

D.(1,8)

x-5 a-3 (1)y= =1+ , x-a-2 x-?a+2?

由函数在(-1,+∞)上单调递增,
? ?a-3<0 有? ,解得 a≤-3. ?a+2≤-1 ?

(2)因为 f(x)是 R 上的单调递增函数,

? ?4-a>0, 所以可得? 2 a ? ?a≥4-2+2.

a>1,

解得 4≤a<8,故选 B.

题型五、 抽象函数的单调性和最值 x1? 例 5.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f? ?x ?=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0.
2

(1)求 f(1)的值; (2)证明:f(x)为单调递减函数; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值. 思维启迪 抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值,证明 f(x)为单调 减函数的首选方法是用单调性的定义来证.问题(3)用函数的单调性即可求最值. (1)解 令 x1=x2>0, 代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0. x1 (2)证明 任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1, x2 x1? ∵当 x>1 时,f(x)<0,∴f? ?x ?<0,
2

即 f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2), ∴函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)解 ∵f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数.

∴f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9). x1? 由 f? ?x ?=f(x1)-f(x2)得,
2

9? f? ?3?=f(9)-f(3),而 f(3)=-1,∴f(9)=-2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2. 思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相
8

f?x1? 应的条件,对任意 x1,x2 在所给区间内比较 f(x1)-f(x2)与 0 的大小,或 与 1 的大 f?x2? x1 小.有时根据需要,需作适当的变形:如 x1=x2· 或 x1=x2+x1-x2 等;(2)利用函数 x2 单调性可以求函数最值,若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(x)的最小值是 f(a),最大 值是 f(b). 跟踪训练五、 1.函数 f(x)对任意的 m、n∈R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2. 思维启迪 (1)对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义.应该构造出 f(x2)-f(x1)并与 0 比 较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入 点.要构造出 f(M)<f(N)的形式. 规范解答 (1)证明 设 x1,x2∈R,且 x1<x2,∴x2-x1>0, ∵当 x>0 时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1.[2 分] f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1,[4 分] ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0?f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为增函数.[6 分] (2)解 ∵m,n∈R,不妨设 m=n=1,

∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1?f(2)=2f(1)-1,[8 分] f(3)=4?f(2+1)=4?f(2)+f(1)-1=4?3f(1)-2=4, ∴f(1)=2,∴f(a2+a-5)<2=f(1),[10 分] ∵f(x)在 R 上为增函数, ∴a2+a-5<1?-3<a<2, 即 a∈(-3,2).[12 分]

课后巩固练习: 1.下图中是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),则下列关于函数 f(x)的说法错 误的是 ( )

A.函数在区间[-5,-3]上单调递增
9

B.函数在区间[1,4]上单调递增

C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减 D.函数在区间[-5,5]上没有单调性 [答案] C [解析] 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连

接.如 0<5,但 f(0)>f(5),故选 C.
2 ?x +1,x≥0, 2.函数 f(x)=? 2 的单调性为 ?-x ,x<0

(

)

A.在(0,+∞)上为减函数 B.在(-∞,0)上增函数,在(0,+∞)上为减函数 C.不能判断单调 [答案] [解析] D 画出函数的图象,易知函数在(-∞,+∞)上是增函数. D.在(-∞,+∞)上是增函数

3.定义在 R 上的函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,且在[0,+∞)上是增函数, 则下列关系成立的是 ( ) B.f(-π)<f(-4)<f(3) D.f(3)<f(-π)<f(-4)

A.f(3)<f(-4)<f(-π) C.f(-4)<f(-π)<f(3) [答案] [解析] D

∵f(-π)=f(π),f(-4)=f(4),且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,

∴f(3)<f(π)<f(4),∴f(3)<f(-π)<f(-4). 4.函数 y=x2+x+1(x∈R)的递减区间是 ( ) D.(-∞,+∞)

1 1 A.[-2,+∞) B.[-1,+∞) C.(-∞,-2] [答案] C [解析]

1 3 1 y=x2+x+1=(x+2)2+4,其对称轴为 x=-2,在对称轴左侧单调

1 递减,∴x≤-2时单调递减. b 5.已知函数 y=ax 和 y=-x 在(0,+∞)上都是减函数,则函数 f(x)=bx+a 在 R 上是 ( ) B.增函数且 f(0)<0 D.增函数且 f(0)>0

A.减函数且 f(0)<0 C.减函数且 f(0)>0 [答案] A
10

[解析]

b ∵y=ax 和 y=-x在(0,+∞)都是减函数,∴a<0,b<0,f(x)=bx

+a 为减函数且 f(0)=a<0,故选 A. 6. 函数 y=f(x)在 R 上为增函数, 且 f(2m)>f(-m+9), 则实数 m 的范围是 ( A.(-∞,-3) [答案] C [解析] 因为函数 y=f(x)在 R 上为增函数,且 f(2m)>f(-m+9),所以 2m> )

B.(0,+∞) C.(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞)

-m+9,即 m>3,故选 C. 7.若 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞, 4)上是减函数, 则实数 a 的范围是( ) A.a≤-3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3 8.函数 y=x+ 2x-1( ) 1 1 A.有最小值2,无最大值 B.有最大值2,无最小值 1 C.有最小值2,最大值 2 D.无最大值,也无最小值 9.已知 y=x2-2x+3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的范围是( ) A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞,2] D.[1,2] 2 10.已知函数 f(x)=3-2|x|,g(x)=x -2x,构造函数 F(x),定义如下:当 f(x)≥g(x) 时,F(x)=g(x);当 f(x)<g(x)时,F(x)=f(x),那么 F(x)( ) A.有最大值 3,最小值-1 B.有最大值 3,无最小值 C.有最大值 7-2 7,无最小值 D.无最大值,也无最小值 [画图得到 F(x)的图象: AB 及射线 BD 三段, 射线 AC、抛物线 ?

?y=2x+3, 联立方程组? 2 ?y=x -2x, 得 xA=2- 7, 代入得 F(x)的最大值为 7-2 7, 由图可得 F(x)无最小值,从而选 C.] 11.若函数 f(x)=4x2-kx-8 在[5,8]上是单调函数,则 k 的取值范围是________. [答案] [解析] (-∞,40]∪[64,+∞) k k k 对称轴为 x=8,则8≤5 或8≥8,得 k≤40 或 k≥64.

12.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间为________.
11

3 [答案] [0,2] [解析]
2 ?-x +3x?x>0?, y=-(x-3)|x|=? 2 作出其图象如图,观察图象知 ?x -3x?x≤0?,

3 递增区间为[0,2].

13.y=-x2+6x+9 在区间[a, b](a<b<3)有最大值 9, 最小值-7, 则 a=________, b=__________. ??2b-1?x+b-1,x>0 14.若 f(x)=? 2 在 R 上为增函数,求实数 b 的范围______. ?-x +?2-b?x,x≤0 [分析] 分别考虑两个分段 再根据整体的单调 → 解析式的单调性 性求b的取值范围

[解析]

?2b-1>0 由题意得?2-b≥0 ?b-1≥0

,解得 1≤b≤2.①

[方法探究]

解决此类问题,一般要从两个方面思考:一方面每个分段区间

上函数具有相同的单调性, 由此列出相关式子;另一方面要考虑端点处的衔接情 况,由此列出另一部分的式子. 15.函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,对任意的 x,y∈(0,+∞),都有 f(x +y)=f(x)+f(y)-1,且 f(4)=5. 导学号 22840336 (1)求 f(2)的值; [解析] (2)解不等式 f(m-2)≥3.

(1)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1,

又 f(4)=5,∴f(2)=3.

12

(2)f(m-2)≥f(2) ?m-2≤2 ∴? ,∴2<m≤4. ?m-2>0 ∴m 的范围为(2,4]. 16.已知函数 f(x)=x2-2x+2. 1 (1)求 f(x)在区间[2,3]上的最大值和最小值; (2)若 g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上是单调函数,求 m 的取值范围. 1 解 (1)∵f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[2,3], 1 5 ∴f(x)的最小值是 f(1)=1,又 f(2)=4,f(3)=5, 所以,f(x)的最大值是 f(3)=5, 1 即 f(x)在区间[2,3]上的最大值是 5,最小值是 1. (2)∵g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2, m+2 m+2 ∴ 2 ≤2 或 2 ≥4,即 m≤2 或 m≥6. 故 m 的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞). 17.若二次函数满足 f(x+1)-f(x)=2x 且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解 (1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由 f(0)=1,∴c=1, ∴f(x)=ax2+bx+1. ∵f(x+1)-f(x)=2x,∴2ax+a+b=2x, ?2a=2 ?a=1 ∴? ,∴? ,∴f(x)=x2-x+1. ?a+b=0 ?b=-1 2 (2)由题意:x -x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立, 即 x2-3x+1-m>0 在[-1,1]上恒成立. 3 5 令 g(x)=x2-3x+1-m=(x-2)2-4-m, 3 其对称轴为 x=2, ∴g(x)在区间[-1,1]上是减函数, ∴g(x)min=g(1)=1-3+1-m>0,∴m<-1. 18.已知函数 f(x)=ax2-|x|+2a-1,其中 a≥0,a∈R. (1)若 a=1,作函数 f(x)的图象; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式. 2 ?x +x+1, x<0 2 解 (1)当 a=1 时,f(x)=x -|x|+1=? 2 . ?x -x+1,x≥0
13

作图(如右所示). (2)当 x∈[1,2]时,f(x)=ax2-x+2a-1. 若 a=0,则 f(x)=-x-1 在区间[1,2]上是减函数, g(a)=f(2)=-3. 1 1 若 a>0,则 f(x)=a(x-2a)2+2a-4a-1, 1 f(x)图象的对称轴是直线 x=2a. 1 1 当 0<2a<1,即 a>2时,f(x)在区间[1,2]上是增函数, g(a)=f(1)=3a-2. 1 1 1 当 1≤2a≤2,即4≤a≤2时, 1 1 g(a)=f(2a)=2a-4a-1, 1 1 当2a>2,即 0<a<4时,f(x)在区间[1,2]上是减函数, g(a)=f(2)=6a-3.
6a-3, ? ? 1 综上可得 g(a)=?2a-4a-1, ? ?3a-2,a>1 2 1 0≤a<4 1 1 4≤a≤2

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